标量场及其梯度74367

1、第二节第二节 标量场及其梯度标量场及其梯度1、标量场定义及图示、标量场定义及图示 对于区域对于区域v内的任意一点内的任意一点r，若有某种物理量的一个确定，若有某种物理量的一个确定的数值或标量的数值或标量(r)与之对应，我们就称这个标量函数与之对应，我们就称这个标量函数(r)是定是定义于义于v内的标量场。内的标量场。 orf (r)v标量场有两种：标量场有两种： 与时间无关的恒稳标量场，用与时间无关的恒稳标量场，用(r)表示；表示； 与时间有关的时变标量场，用与时间有关的时变标量场，用(r , t)表示。表示。 形象描绘场分布的工具形象描绘场分布的工具-场线场线标量场标量场-等值线等值线( (面

2、面) )。constzyxf)( ,其方程为其方程为f = -1 f = 1 f = 0 f = 2 f = 3 图1-9 标量场的一组等值线作图原则：任意两相邻等值面间标量场的差值保持为一常数。作图原则：任意两相邻等值面间标量场的差值保持为一常数。 2 2、梯度、梯度 点位移导致点位移导致 的改变的改变(x , y , z)(x+dx , y+dy , z+dz)+ddlyzxo线元矢量：线元矢量： dl = dx ex+dy ey+dz ez 标量场的相应微增量标量场的相应微增量d则为：则为：zzfyyfxxffddddleeed)(dzyxzfyfxff)(gradzyxzfyfxfff

3、eee(1)(1)梯度的导出梯度的导出 右图中，由右图中，由(x,y,z)点到邻近的点到邻近的(x+dx,y+dy,z+dz)点的点的微分位移微分位移dl 将导致场函数有一微分增量将导致场函数有一微分增量df 标量场标量场(x,y,z)在在(x,y,z)点的梯度点的梯度(gradient) 定义为：定义为：lddff因此因此)(dzyxzfyfxffeee（dx ex+dy ey+dz ez）(2)(2)方向导数与梯度的关系方向导数与梯度的关系偏导数偏导数 、 、 分别叫做分别叫做 在在x、y、z方向上的方向导数，用梯度表示为方向上的方向导数，用梯度表示为 xfyfzfzzyyxxffzfff

4、yfffxfeee)()()(推广到推广到(x,y,z)在某点沿任意矢量在某点沿任意矢量l 方向的方向导数，则应表为方向的方向导数，则应表为llfflfe)(式中，式中，el 是是l 的单位矢量。的单位矢量。 （3 3）梯度的物理意义）梯度的物理意义 梯度的方向为该点最大方向导数的方向梯度的方向为该点最大方向导数的方向, ,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数 的增加方向的增加方向. . 梯度的大小为该点标量函数梯度的大小为该点标量函数 f 的最大变化率，即该点最大方向导数；的最大变化率，即该点最大方向导数； 标量场的梯度是一个矢量标量场的梯度是一个

5、矢量,是空间坐标点的函数；是空间坐标点的函数；例例1 1 电位场的梯度电位场的梯度电位场的梯度电位场的梯度 与过该点的等位线垂直；与过该点的等位线垂直； 指向电位减少的方向。指向电位减少的方向。 数值等于该点的最大方向导数；数值等于该点的最大方向导数； 电位场的梯度电位场的梯度（4 4）哈密顿算子）哈密顿算子 （读作（读作deldel或或nablanabla）直角坐标系中的具体形式为直角坐标系中的具体形式为zyxzyxeee 单独存在没有任何意义；单独存在没有任何意义； 算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必须视为矢量，并令它具有矢量算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必须视为矢量，并令它

6、具有矢量的一般特性，即的一般特性，即 ， 。 在不同坐标系中，在不同坐标系中， 算符有不同的表达形式。算符有不同的表达形式。 20使用使用 算符时注意几点：算符时注意几点： uufufuvvuuvvuvuuccuc0梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式掌握：掌握：1、如何求梯度；、如何求梯度；2、梯度的性质；、梯度的性质；3、梯度的数学应用。、梯度的数学应用。（5 5）梯度运算的几个基本关系式）梯度运算的几个基本关系式 相对坐标标量函数相对坐标标量函数 f(rr)ff证明证明 ：在直角坐标系中在直角坐标系中f (r r) = f (x x，y y，z z ) 令令 x x = x，yy = y

7、，zz = z，应用复合函数求导法则可得应用复合函数求导法则可得 x)(xxxfxxxfxfxfx)(xxxfxxxfxfxf即有即有 xfxf同理可得同理可得 zfzfyfyf,)(zyxzyxzfyfxfzfyfxfeeeeee上式重写为上式重写为zfzfyfyfxfxf,等式若成立，则应有等式若成立，则应有证毕。证毕。 相对位置矢量相对位置矢量r = rr的模的模r = rr rrrer231rrrrer在直角坐标中在直角坐标中 zyxzzyyxxeeer)()()(1/2222)()()(zzyyxxrrxxrxxzzyyxxxzzyyxxxr)()(221)()()()()()(22

8、21/222221则则 同理有同理有 于是于是 ,ryyyr)(rzzzr)(rzyxzyxrzzyyxxrzryrxrrereeeeee)()()(1根据算符的微分特性可得根据算符的微分特性可得 222111rrrrrrrer（r 0） 例例 2 2 求求 f = 4e 2x y+ z 在点在点p1（1，1，1）处的由该点指向处的由该点指向p2（3，5，6）方方 向上的方向导数。向上的方向导数。 )(24e)(24e)(e4)(4e 2222zyxx-y-zx-y-zx-y-zx-y-zzyxfeee)4(2)(24e 1121zyxzyx-pfeeeeee974481744744)(1)(6) 1(5) 13(1/