线性代数练习进步册附规范标准答案

1、.第1章矩阵X1 xcos y1 xsi nysi n ycos1.写出下列从变量X, y到变量xi, yi的线性变换的系数矩阵:X1 X y10 ；2.（通路矩阵）a省两个城市a1,a2和b省三个城市b1,b2,b3的交通联结情况如图所示，每条线2上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况4。b1 兀门二。b2 a2 七 b33.设A224，求 3AB-2A 和 ATB.54. 计算2(1)30.aii（X, y, i） ai2bia12a22b2bib2Xi5.已知两个线性变换X2X32yi2yi4yiy33y2 2y3 ,y2 5y3yiy2y3示式,并

2、求从z-, ,z2, z3到x1,x2, x3的线性变换.3zi2ziZ2Z2z3 ,写出它们的矩阵表3z36. 设 f (x)=aoxm+ aixm-1+ + am, A 是 n 阶方阵，定义 f (A)=aoAm+ aiAm'1+ + amE.当 f (x)=x2-5x+3 , A 21 时，求 f (A).337.举出反例说明下列命题是错误的(1) 若 A2= 0,则 A= O.(2) 若 A2= a，贝U A= O 或 A= E.7. 设方阵A满足A2-3A-2E=O,证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵.8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵:1(1) A

3、 21231.1 1 219.对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B和A之间的关系式.10 0 20332 =B.112 12 2r1C3 C1.110.设 P APA,其中11.设 A 00，求 A9.，矩阵B满足AB=A+2B，求B.12.设 A 22,利用初等行变换求A-1.D) P2P iA=B.复习题一(A) ACB = E；(B) CBA=E ；(C)BAC=E ；(D) BCA=E.3113123133213222.设 A321322323 , B3ii3i2'a313323 333313113323123330 1 01 00P10 0,P2010，则必有().0 0

4、 11 011.设A, B, C均为n阶矩阵，且 ABC=E,则必有().323ai3(A) APiP 2=B ；(B)AP2P i=B ；(C) PiP2A=B ;(ai3B ,再把B的第2列与第3列交3.设A为4阶可逆矩阵，将 A的第1列与第4列交换得换得C,设0Pi 01，P210000010010000，则 C-1=(01(A) A-1PiP2；(B) P1A-1 P2；(C) P2P 1A-1；(D) P 2A-1 Pi.4.设n阶矩阵A满足A2-3A+2E=O，则下列结论中一定正确的是(A) A-E不可逆;(B) A-2E不可逆;(C) A- 3E可逆；(D) A-E和A-2E都可

5、逆.5. 设 A=(i,2,3) , B=(i,i/2,i，令 C=AtB，求 Cn.6. 证明：如果 Ak=O，则（E-AyE+A+AJ+Ak"7.设A, B为三阶矩阵,A 0, k为正整数.0，且 A-1BA=6A+BA，求 B.08.设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求ai0a29.设X0(a®an 0 ), 求 X -1.anan 10.第2章行列式习题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组xi 2X2 X322x1 x2 3x31Xi X2 X300.2.当x取何值时,4x010 x.3.求下列排列的逆序数:(1) 315624 ；（2）13 （2n-1）24 （2

6、n）.4.证明:a3.2a b3a2b c5.已知四阶行列式Al中第2列元素依次为12-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A|.1110(1)6.计算下列行列式：0 11110 11110 1.xx3X2x2x3a1(5) Dna2,其中 a 132a*01 an7 .设n阶矩阵A的伴随矩阵为 A*，证明：|A*|=|A|n-1, (n列.8. 设A, B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A=2, |B|=1,计算|-2A*B-1|.29.设 A 2110 ，利用公式求A-1.11.复习题二1. 设A, B都是n阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A*、B*,证明：（AB）*

7、=B*A*.42.设A03.已知 Ai, A2, Bi, B2都是 3 1 矩阵，设 A=( Ai, A2, Bi,), B=( Ai, A2, B2), |A|=2, |B|=3,求|A+2B|.4 设a, B都是n阶方阵，试证:E AB .第3章向量空间习题1. 设 a1=(1,-1,1)T, a=(0,1,2)T, a=(2,1,3)T,计算 3 a-2 a+ a.2. 设 a=(2,5,1,3)T, a=(10,1,5,10)T, a=(4,1,-1,1)丁，且 3( a- x)+2( a+x)=5( a+x),求向量 x.3. 判别下列向量组的线性相关性：(1) ai=(-1,3,1

8、)T, a=(2,-6,-2)T, a=(5,4,1)T Bi=(2,3,0)t,M-1,4,0)T, 33=(O,O,2)t .4. 设01= ai, 3=01+ a, 03= ai+ a+a3，且向量组 a, a, a线性无关，证明向量组 0, 3, 0线 性无关.5. 设有两个向量组ai,a,a和0= ai-a+a3,32=01+ a-a,俊=-ai+a+ a,证明这两个向量组等价.6.求向量组 a=(1,2,-1)T, a=(0,1,3)T, a=(-2,-4,2)T, a=(0,3,9)T 的一个极大无关组，并将其 余向量用此极大无关组线性表示.7. 设al, a,an是一组n维向量

9、，已知n维单位坐标向量 £1,龟,31能由它们线性表示, 证明：a1, a,an线性无关.8. 设有向量组a ,02,03,a4,a, 其中a1,a,a线性无关，a4=a a1+b a, a5=C a+d a3（a,b, c, d均为不为零的实数），求向量组a, a, a, a的秩.9. 设矩阵 A= (1,2,n), B=(n,n-1,1),求秩 R(ATB).110.设矩阵A411.已知矩阵A4，求A的秩，并写出A的一个最高阶非零子式.42，若A的秩R(A)=2，求参数t的值.412.设 A 04，求a的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组313.设A为n阶矩阵,阶单位矩阵，证

10、明：如果 A2=A,则E为R(A)+R(A-E)= n.14.已知向量空间3R的两组基为-1求由基 a1, 02, a 到基复习题三1.设矩阵A 111，已知A的秩为3,求k的值.12. 设向量组A: a,a与B:仏,9，若A组线性无关且 B组能由A组线性表示为(9,9) = ( a,as)K,其中K为S r矩阵，试证：B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩 R(K)= r.3 .设有三个 n 维向量组 A : a, a, a; B: a, a, a, a; C: a, a, a, a .若 A 组禾口 C 组 都线性无关，而B组线性相关，证明向量组 a, a, a, a a线性无关.4.设向

11、量组 A： ai=(1,1,0)T, a=(1,0,1)T, a=(0,1,1)T 和 B： 3=(-1,1,0)T,色=(1,1,1)T,色=(0,1,-1)丁3证明：A组和B组都是三维向量空间 R的基;求由A组基到B组基的过渡矩阵；已知向量a在B组基下的坐标为(1,2,-1)T,求a在A组基下的坐标.第4章线性方程组习题x1 x251.写出方程组 2x1 x2 x3 2x41 的矩阵表示形式及向量表示形式5x1 3x2 2x3 2x432.用克朗姆法则解下列线性方程组bx ay 2ab2cy 3bz be,其中 abc 0ex az 0XiX2X33.问，取何值时，齐次线性方程组XiXiX

12、22 X2X3X34.设有线性方程组多解？无解?Xi-XiX2kX2k X3XiX2X32x34k2，讨论当00有非零解?k为何值时，（1）有唯一解？ （2）有无穷x1 8X210X3 2X45.求齐次线性方程组 2x1 4x2 5x3 x43xi 8x2 6x3 2x4的一个基础解系.6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为ni=(2,3,4,5)T, n+n=(1,2,3,4)T，求此方程组的的通解.3,已知ni, n, n是它的三个解向量，且7 .求下列非齐次线性方程组的通解:x1 X252x1 x2 x3 2x415x1 3x2 2x3 2x48.设有向量组A: a 20(31及向量

13、问向量3能否由向量组 A线性表示?9.设证明：（1）（2）n*是非齐次线性方程组 AX = b的一个解，&, ，知是它的导出组的一个基础解系,n*, Ei,印-r线性无关；n*, n*+ &, n*+ 匕,n*+ Hr 线性无关.11.设 A 0复习题四a ，且方程组 AX=0的解空间的维数为 2,贝U a=1aixi+a2X2+anXn=O,且ai,a2,an不全为零，则它的基础解系所含向2. 设齐次线性方程组量个数为 .n线性表示；B能由向量组n线性表示，且表示式唯一；B能由向量组n线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式.3. 设有向量组n a1=(a,2,10)T, a

14、=(-2,1,5)T, %3=(-1,1,4)丁及向量 3=(1,b,-1)T,问 a, b 为何值时，(1) 向量B不能由向量组(2) 向量(3) 向量4.设四元齐次线性方程组x1x20x2x40x1 x2 x30(n) 123X2 X3 X40方程组（I）与（n）的基础解系；（2）方程组（I）与（n）的公共解.5.求非齐次线性方程组 Ax= B的通解.设矩阵A=( ai, a, 03, a), 其中 a, a, a线性无关， ai=2 a- a, 向量 护 ai+ a2+ as+ a,6.设a1bic1a2 -b2-c2,证明-直线a3b3c311 : a1xb1yc10l2 :a2xb2

15、yC202aiI3：a3Xb3yc30bi20, i 1,2,3相交于一点的充分必要条件是向量组,线性无关，且向量组，线性相关.第5章矩阵的特征值和特征向量习题1.已知向量ai=(1,-1,1)T，试求两个向量a, a,使ai, a, a为R 3的一组正交基.2.设A, B都是n阶正交矩阵，证明 AB也是正交矩阵.3. 设A是n阶正交矩阵，且 AF-1，证明：-1是A的一个特征值.2124. 求矩阵 533的特征值和特征向量.5.已知三阶矩阵6.设矩阵a的特征值为1,2,3，计算行列式|A3-5A2+7E|.0 相似，求x, y ；并求一个正交矩阵 P，4使 p -1ap = a.7.将下列对

16、称矩阵相似对角化:(1) 2(2)08.设入是可逆矩阵A的特征值，证明：（1）是A*的特征值.（2）当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时，求A*的特征值.9. 设三阶实对称矩阵A的特征值为入 1=6,炉启=3，属于特征值入 1=6的特征向量为pi=(1,1,1)T，求矩阵 A.复习题五1.设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是则行列式|A + E|=2. 已知3阶矩阵A, A-E, E+2A都不可逆,13.设 A a，已知A与B相似，则a, b满足4.设A为2阶矩阵, 征值为 .a,a为线性无关的2维列向量，A 01=0, Aa=2 a+, a,贝U A的非零特25.已知矩阵A 3x可

17、相似对角化，求x .56. 设矩阵A满足A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能是1或2.3 的特征值 的一个特征向量.227.已知P 1=(1,1,-1)T是对应矩阵 A 5(1)求参数a, b及特征值;(2)问A能否相似对角化？说明理由.8设 A 3223，求(A)=A10-5A9.1.写出下列二次型的矩阵表示形式:x1 x| x： x4 2x1x22.写出对称矩阵A 1123.已知二次型 f (Xi, X2, X3)2Xi第6章二次型习题4x1x3 2x1x4 6X2X3 4X2X4122所对应的二次型.3x； ax； 4x1X2 6X2X3 的秩为2,求 a 的值.2 2 24.求一个

18、正交变换将f(Xi,X2,X3) 2xi 3x2 3x3 4X2X3化成标准形.2 2 25.用配方法将二次型 f Xi 3x2 5X3 2x1x2 4x1X3化成标准形，并写出所用的可逆线性变换.6.设二次型f 2x2 3x2 3x3 2ax2X3（a 0），若通过正交变换x Py化成标准形f y1 2y2 5yl，求 a 的值.7. 判别下列二次型的正定性:(1) f2x1 6x1 4x3 2x1x2 2x1x3(2) f2X12 2 23x2 9X319X4 2x1x2 4x1x3 6X2X412X3X48.设fx2X； 5x3 2ax1x2 2X4X3 4X2X3为正定二次型，求 a的

19、取值范围.复习题六1.设A为mn矩阵，B= ?E+AtA，试证：入0时，矩阵B为正定矩阵.2.设a1000002100，写出以a, a-1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形.1223.已知二次曲面方程xi柱面方程y22y2a, b的值.2 2- - _ _X2 ax3 2bx1X2 2x1X3 5，通过正交变换X=PY化为椭圆14.设矩阵0，B （kE A）2，其中k为实数，求对角矩阵 A使B1与A相似，并讨论k为何值时，B为正定矩阵.测试题一一、计算题:1.计算行列式Dn，计算A3Bt .设A、B都是四阶正交矩阵,设三阶矩阵A与B相似，且A*为A的伴随矩阵,计算行列式，计算行列式3

20、B2 2E .2BAA* .2，且A的秩为2,求常数a, b的值.b二、解答题:6.设 i(1,ti，ti2,ti3)T i 1,2,3,4，其中t1,t2,t3,t4是各不相同的数，问4维非零向量能否由X12x2X3X407 .求齐次线性方程组3x16x2X33x405x110 x2X35x40X1X2kx318 .问k取何值时，线性方程组X1kx2X3kkx1X2X3k2(1)有唯一解； 有无穷多解；(3)无解.9.已知四阶方阵A =( 1,2 ,3,4)，其中1:的一个基础解系.2 ,4线性表示？说明理由.1 ,2 ,3 ,3线性无关，42 3 3，求方程组Ax 1234的通解.10 .

21、三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3.矩阵A的属于特征值 1,2的特征向量分别是1 ( 1, 1,1)T，2(1, 2,1)T ,求A的属于特征值3的所有特征向量,并求A的一个相似变换矩阵P和对角矩阵,使得三、证明题：11.设223 ,34331，且3线性无关，证明:3也线性无关.12.设A为实对称矩阵,且满足A2 A 2E O，证明A 2E为正定矩阵.测试题二一、填空题：1、若规定自然数从小到大的次序为标准次序，则排列134782695的逆序数为2、已知A为三阶正交矩阵，且3、设方阵A=4、设 P 1AP，其中5、“若向量组线性表示”.、计算下列各题1、计算行列式2、设 A 2 ,3A &l

22、t;0,则AA* =，若A不可逆，则0，则 a6=3线性无关,该命题正确吗?Dn3、利用初等行变换求矩阵极大线性无关组.三、设非齐次线性方程组向量组4线性相关，则4 一定能由，且CAB，求 C5 的秩，并写出矩阵 A的列向量组的一个X1 X23x1 x2x1 5x23X3X311X3X49x413X4.(1)求它相应的齐次线性方程组的一个基础解系;(2)求原方程组的通解.四、求一个可逆变换将二次型2xi23x23x1 4X2X3化为标准形，并判别其正定性.1五、设11 ,1问a为何值时，可由3线性表示,且表示式不唯一？并说明不唯一的理由.六、已知矩阵A与B相似，其中22 ，计算行列式2B3七、

23、证明题：1、已知1 ,2 ,3是齐次线性方程组 Ax0的一个基础解系，证明1也是它的一个基础解系.A E A ,证明2、设A、B均为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且B EBE1铲.221测试题三一、填空题：XiX2.已知齐次线性方程组.已知A为三阶矩阵，且已知两个线性变换X12x14x13x29x2A =2，则X2¥1 2y2¥2 5y3从Zi , Z2到Xi , X2的线性变换为.若二次型 f (x1, x2, x3) 2x12 x2k的取值范围是.设A为实对称矩阵,二、计算下列各题1.计算行列式Dn2 .设 P 1AP，其中三、解答题:设向量组(1)求向量组的秩,X30a

24、x3 0有非零解，则a应满足的条件是a2x30AA* =3y32X3为非零向量，且¥1和¥2y32z13乙2z13z24z2，则Z22xi X2kX2X3是正定的，则，则T，计算A11 .并写出它的一个极大无关组;.5的通解.(2)令 A ( 1, 2,3,4),求方程组 Ax四、解答或证明下列各题1 .命题一：“若方阵A满足A A，则AO或A命题二：“若方阵A满足A2 A，则IA以上两个命题是否正确？若正确给出证明，若不正确举例说明之.2是对应的齐次线性方程组的解空2 .设 是四元非齐次线性方程组 Ax b的一个解,间的一组基，证明2线性无关.(2)令 B A2 2A 3

25、E求一个对角矩阵 ，使B与相似;(3) 求以A 五、解答题：设矩阵A(1)求矩阵A的特征值;为矩阵的二次型.测试题四一、填空题：1.设 A=(-1,0,1),B= (1,2, 3)，则(AtB)6=2.行列式a2a3abb2b315.设矩阵A 1(A ) (X1，,Xn)TXi R 且 X什+Xn = 1；(B) (X1，,Xn)T 1 Xi R 且 X什-(0,X2，,Xn)T 1 Xi R ；(D) a-1 a=力 a1 + - + ?s as,入 R, a 为n维向量.a11a12a13a21a22a23a232 .设Aa21a22a23,Ba11a12a13a13，a31a32a33a

26、31a32a33a330 10100P1 00,q010 ,则 A=().0 01011(A)Q-1B P'1(B)P-1bq-1.(C) QBp；(D)p bq.2 a线性无关的充分必要条件是().a二、选择题：1.下列集合中不能构成向量空间的是().+Xn=0 ；( C )3. n (n>3)维向量a, a a中任意两个向量线性无关；a, a a全是非零向量；对于任何一组不全为零的数k1, k2, k3,都有k1 a1+k2a+k30;a1, a a能由单位坐标向量 £1, 2, 线性表示.n阶方阵A、B满足AB = O ,则下列命题中错误的是().(A)(B)(C

27、)(D)4 .设3. 设四阶方阵 A、B 满足 AB+2B+E =O，且|A+2E| = 2,贝U | B| =;4. 设A为n阶方阵，且I A|=2,| 3E A| =0,则A的伴随矩阵A*必有一个特征值是x ,已知齐次线性方程组 AX=0的解空间的维数为 2,则x=2(A)若| A| 丰 0,贝U B=O;(B)若 R(A)=r，则 R(B) < n-r;(C) | A|、| B|中至少有一个为零；(D)若B丰0,则A=O .5设A是mxn矩阵，非齐次线性方程组 AX=b的导出组为AX=0 .如果mv n,则().(A) AX=b必有无穷多解；(B) AX=b必有唯一解；(C) AX

28、=0必有非零解；(D)AX=0必有唯一解.三、设A为三阶方阵，且|A|=3，计算行列式|(2A)-1 A*|.四、设A的一个极大无关组.五、设矩阵A设向量组，求矩阵A的秩，并分别写出 A的列向量组和行向量组已知方程组X1 a1 + X2七、，且AB=2A B,求矩阵a2+X3 03= a有无穷多解，求m, n的值,并求该方程组的通解.设 A10 11 0,A212，已知3是矩阵AO O的一个特征值.O A2求参数k的值；求A-1，并写出以A-1为矩阵的二次型. 计算行列式I B2 3E|，其中B与A相似. 八、设三阶实对称矩阵(1)1, -1.已知属于特征值1的两个线性无关的特征向量为121

29、，求矩阵A及a12 .21 22, 2811X1a12X2a13X30九、设方程组321X1a22 X2a23X30的系数行列式 det(aij)=0,而A11M 0,a31X1a32 X2a33X30A的特征值为1 ,证明(A11,A12,A13)T是该方程组的一个基础解系.其中Aj是元素aij的代数余子式.复习题与测试题参考答案或提示复习题一101. ( D).2. (C).3. (C).4. (C).5.3n7.9.1.2.提示:3.72.4.提示:0131利用325利用01a2A*= |A|A-1.425121-213238.6.提示:kk2EkAk(E A)(E A A2Ak-1).

30、1an0(a1a2an0).复习题二E-AB复习题三1 . k= -3.2.必要性利用定理3.7及其证明方法.3.12 (2),充分性利用定理3.利用线性无关的定义及定理3.2.(1)证明A组及B组线性无关；(2)1212121 ；(3) a在A组基下的坐标为(0,1,2)T.复习题四a=1.2. n-1(1) a=-4且b工0时,不能线性表示;(2) a工一4时，能唯一线性表示;.(3) a = - 4且 b= 0 时，表示式不唯一，且B=ka1- (2k-1)a+a.4. (1)方程组(I )的一组基础解系为E1=(-1,1,0,0)t, ?=(0,0,1,0)t.方程组(n )的一组基础

31、解系为n1=(0,1,1,0)T,n 2=(1,1,0,-1)t. 公共解 x=k(-1,1,2,1)T, k为任意实数.5 利用方程组的向量表示式及解的结构，可得通解为X=k(1,-2,1,0)T+(1,1,1,1)T，k为任意实数.复习题五1. n,0,0.2. 1.3. a=b=O .4. A的非零特征值为1.5. x =3.16.说明A的任意特征值的取值范围.7. (1)a = -3, b= 0, X= -1 ;(2)A不能对角化，因为 A没有3个线性无关的特征向量.8.(A)复习题六1.提示:证明二次型 xtBx正定.2.xT Ax2x(2X42X1X22X3X4 ,其标准形为 fy

32、i3y23. a=1, b=0.k24. A2 23X32 23X42X1X2-X3X4，其标准形为，32y12y31 23y4.(k2)0,k2时，B为正定矩阵.(k2)2测试题一一、1.n! (11). 2.i.3.-16. 4.-14. 5.a=2, b=1二、6.a1,a, a, a线性表示.7.8.9.40161 (当k詢且k工2时，有唯一解；当 k=1时，有无穷多解；当 k=-2时，无解. (1,1,1,1)T是原方程组的特解，通解为2,1,0,0)T ,2(1,0,1,0)T(0,1, 3, 1)T是导出组的基础解系10.属于3的所有特征向量为ka=k(1,0,1)T，1丄1品J

33、 61732為0 ，111m3胡6,则 P-1A P= A .三、12. A2-A-2E=(A+E)(A-2E)=O，所以A的特征值只能取-1或2,因此A+2E的特征值只能取1或3,故A 2E为正定矩阵.测试题二一、1 . 10.2. -1.3. -4.4.5 .正确.二、1. Dn=n!.2. C5=A(BtA)4B =10412 .3. R(A)=3,极大无关组为(1,0,2,1)t, (1,2,0,1)t, (2,1,3,0)t.一个基础解系为(1,2,1,0)T, (-2,3,0,1)t ,通解为 x=k1(1,2,1,0)T+k2(-2,3,0,1)T+(4,-1,0,0)T四、(X1 ,X2,X3)00X1X2,