2.1-多元函数微分学在几何上的应用ppt课件

1、多元函数微分学在几何上的应用多元函数微分学在几何上的应用第六节第六节一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面 )()()(tzztyytxxozyx其中的其中的 x(t), y(t), z(t) 均可导，均可导，M是是点点),(000zzyyxxM 的的点点，是是曲曲线线上上对对应应于于参参数数点点0000),(ttzyxM M 的参数方程为的参数方程为设空间曲线设空间曲线 的方程为的方程为则割线则割线MM zzzyyyxxx 000t t t 且其导数不同时为零且其导数不同时为零的的点点，曲曲线线上上对对应应于于参参数数ttt 0ozyxMM zzzyyyxxx 000t t t

2、 时，时，即即，当当0 tMM割线趋向于点割线趋向于点 M 处的切线处的切线故切线方程为故切线方程为称为曲线在称为曲线在 M 处的切向量处的切向量切线的方向向量切线的方向向量过点过点M 且与切线垂直的平面且与切线垂直的平面称为曲线在点称为曲线在点M 处的法平面处的法平面 .)()()(000000tzzztyyytxxx 0)()()(000000 zztzyytyxxtx )(),(),(000tztytxT 例例 1 求求曲曲线线: tuuduex0cos，ttycossin2 , 解解当当0 t时，时， ，210 zyx，又又textcos ，ttysincos2 ，tez33 ，1)0

3、( x，2)0( y，3)0( z故所求切线方程为故所求切线方程为，322110 zyx法平面方程为法平面方程为，0)2(3)1(2 zyx.0832 zyx即即tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程. ， )()(xzzxyy，)()(100000 xzzzxyyyxx . 0)()()(00000 zzxzyyxyxx法平面方程为法平面方程为特别地，如果空间曲线方程为特别地，如果空间曲线方程为处的切线方程为处的切线方程为则曲线上点则曲线上点),(000zyxM对于曲线的一般式方程对于曲线的一般式方程， 0),(0),(zyxGzyxF如何求切线及法平面方程我们在后面

4、介绍如何求切线及法平面方程我们在后面介绍二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线1. 曲面的切平面与法线的概念曲面的切平面与法线的概念，上上过过点点若若曲曲面面M nTM曲线的切线均落在同一平面上，曲线的切线均落在同一平面上， 过点过点M 且垂直于切平面的且垂直于切平面的 法线的方向向量法线的方向向量.n在点在点M 的切平面的切平面直线称为曲面在点直线称为曲面在点M 的法线的法线(即切平面的法向量即切平面的法向量)称为称为曲面在点曲面在点M 的法向量，的法向量， 记作记作有切线的任一有切线的任一且在点且在点 M则称此平面为曲面则称此平面为曲面2. 曲面的切平面与法线的求法曲面的切平面与法线

5、的求法设曲面方程为设曲面方程为，0),( zyxF，)(),(),(000tztytxT 则曲线在则曲线在M 处的切向量处的切向量 在曲面上任取一条通过点在曲面上任取一条通过点，： )()()(tzztyytxxnTM是曲面上一点，是曲面上一点，点点),(000zyxM，对对应应的的参参数数为为点点0000),(tzyxM又曲线在曲面上，所以又曲线在曲面上，所以 (*)0)(),(),( tztytxF在在(*)两端关于两端关于t 求导得求导得. 0)()()( tzFtyFtxFzyxM 的曲线的曲线 ，设其方程为设其方程为0)()()( tzFtyFtxFzyxnTM.0)()()(000

6、 tzzFtyyFtxxFMMM的的切切向向量量，在在点点是是曲曲线线又又MtztytxT )(),(),(000 ，令令),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx ，则则nT 的的切切线线在在点点所所以以曲曲线线M 为为法法向向量量且且以以落落在在过过点点nM的的又又由由曲曲线线 该平面即为曲面该平面即为曲面在点在点M 的切平面的切平面任意性知，任意性知，有有时时，特特别别地地当当0tt 的平面上，的平面上，综上所述，综上所述，设设有有曲曲面面0),( zyxF是曲面上一点，是曲面上一点，点点),(000zyxM的的则曲面在点则曲面在点 M切平面方程为：切平面方程为

7、：其中其中的法向量的法向量是曲面在点是曲面在点 M的法线方程为：的法线方程为：曲面在点曲面在点 M.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx )(,()(,(00000000yyzyxFxxzyxFyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx .0)(,(0000 zzzyxFz例例 2 求求曲曲面面32 xyezz在在点点)0 , 2 , 1(处处的的切切平平面面 解解，32),( xyezzyxFz，4)0,2, 1( xF，2)0,2, 1( yF，0)0,2, 1( zF令令故切平面方程为故切平面方程为法线方程为

8、法线方程为，0)0(0)2(2)1(4 zyx，042 yx，001221 zyx那那么么，yFx2 ，xFy2 ，zzeF 1或或 0032zyx)1993(及法线方程及法线方程，如如果果曲曲面面方方程程的的形形式式为为),(yxfz ，zyxfzyxF ),(),(则令则令那么曲面在点那么曲面在点 M 处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在点曲面在点 M 处的法线方程为处的法线方程为，0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx ，故故1, yxffn ，的的法法向向量量可可取取曲曲面面1,),( yxffn

9、yxfz若规定法向量的方向是向上的，若规定法向量的方向是向上的，为为锐锐角角，轴轴正正向向间间的的夹夹角角与与即即 zn,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ，其其方方向向角角为为 ,则此时曲面法向量则此时曲面法向量 的方向余弦为的方向余弦为:n例例 3 求求旋旋转转抛抛物物面面122 yxz在在点点)4 , 1 , 2(处处的的 解解，122 yxz)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn，1, 2, 4 ，xxz2 ，yyz2 切平面方程为切平面方程为，0)4()1(2)2(4 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx，06

10、24 zyx例例 4 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面 解解设设 为所求切平面的切点，为所求切平面的切点，),(000zyx切平面方程为切平面方程为. 0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得，664412000zyx .2000zyx 在在曲曲面面上上，),(000zyx，10 x所求切点为所求切点为，)2 , 2 , 1(，或或)2, 2, 1( ，02164 zyx或或故所求切平面方程为故所求切平面方程为 ：.02164 zyx064 zyx的的切切平平面面方方程程. )03(考题类

11、同考题类同与与 最后，我们再讨论由一般式最后，我们再讨论由一般式(交面式交面式)方程方程，：设设有有曲曲面面0),(1 zyxF，：0),(2 zyxG处处上上点点：求求其其交交线线),(0),(0),(000zyxMzyxGzyxF 的的切切平平面面上上，在在点点因因为为所所求求切切线线既既在在曲曲面面M1 的的切切平平面面上上，在在点点又又在在曲曲面面M2 故所求切线是故所求切线是处的切平面的交线处的切平面的交线曲面在点曲面在点 M所给出的曲线的切线与法平面的求法所给出的曲线的切线与法平面的求法的切线与法平面方程的切线与法平面方程 0)()()()()()(000zzzFyyyFxxxFM

12、MM处处上上点点：从从而而曲曲线线),(0),(0),(000zyxMzyxGzyxF 的切线方程为的切线方程为0)()()()()()(000 zzzGyyyGxxxGMMM处处的的切切线线方方程程为为在在点点：曲曲线线MzyxGzyxF 0),(0),(法平面方程为法平面方程为 0)()()()()()(0)()()()()()(000000zzzGyyyGxxxGzzzFyyyFxxxFMMMMMM，MyxyxMxzxzMzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx000 或或. 0)()()(000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFMyxyxMxzxzMzyzy例例 5 求曲线求曲线6222 zyx，0 zyx 解解，6),(222 zyxzyxF令令，zyxzyxG ),(，则则zFyFxFzyx222 ，1 zyxGGG 0)1()2()1(0)1(2)2(4)1(2zyxzyx故所求切线方程为：故所求切线方程为：即即 0052zyxzyx或或，112111111211121 zyx法平面方程为法平面方程为，0)1()2(0)1( zyx，310231 zyx.0 zx在在点点)1, 2, 1( 处处的的切切线线及及法法平平面