有关导数的29个典型知识题

1、关于导数的29个典型习题12习题1设函数在X 0的某邻域内C1类（有一阶连续导数）,且 f(0)0, f (0)0.若 a f (h)bf(2h) f(0)在0时是比h高阶的无穷小，试确定 a,b的值。由题设知 limaf(h) bf(2h) f(0) (a b 1) f (0)h 00.f（0）0, a b 10.由洛比达法则知limaf(h) bf(2h) f(0)洛 limh 0解出a 2,b1.X g(x) e 习题2设f (X)X0,x(X)在(）上的连续性.（1）当X0时，用公式有(X) xg (X) e g(x)a f (h) 2bf (2h)(a 2b) f (0). f (0

2、)0,故a 2b 0.联立可X 0时，用定义求导数，有f(0)00g(x) e x 二次洛 g (0) X2因在X0处有洛lim f (X) limX 0X 00,其中g（x）有二阶连续导数，且g （0） 1, g （0）0xg (X) g(x) (X 1)e x(X)1.(1)求f（X）； （2）讨论g（X） xg（X） g（X）xg (X) g(x) (X 1)exX2g (0) 12 ,(X 1)e0.lim g (X) eXX2xg (0) 12f (0).而f（X）在X 0处连续,(X)C().习题3证明：若X2axby（圆），其中a,b,c为定数（a2b24c0),则d2yd2x定

3、数。证求导，2x 2yyby0,2-a.再导一次，2 2yy2y b2yby 0,y2)2y b3(1 y2)2y注 Ja2 b2 4c 恰是圆 x2 y2 ax21 2(2y b)j1 y21扁2 b2 4e.(定数)bye 0的半径.习题4证明：若f(X)在(a,)内可导,且 Jim f(x) f (x)0,则limxf(x) 0.证作辅助函数F(x) f(x)ex,G(x) e,应 Cauchy中值定理.lim f (x)xf (x) 0,0, A0, xf (x) f (x)x A ,由 Cauchy中值定理有F(x) F(A)G(x) G(A)(显然G()或 f(x) f(A)eAx

4、f(x)ex f (A)eAxeeAf( ) f ()因 lim eA xx于是，x A,f (A) eA x0,即 Af()A, x)(1eA xA x、e )(*)1 A X .,与 e 1.即 lim f (x)0.习题5设f (x)在a,)上有二阶导数，且(x) M2 (a).证明证 x a,)以及任意h0,xh (a,f (xh)f(x) f (x)hzf)h2,f (x)1.-f(x h) f(x) -f h2(),由题设知f (x)如 hM2, xh 2a,f (x) M。,f(x)|2JM0M)，则有x,x h.即x,x h.),h 0.下面求h,使g(h)学2m2为最小。为此

5、令g(h)召2 1M2 0,解出 h。h 2而 g (h)警 0,故知h3g(h)在h0处为最小.g(h0)'M 0M2.从而可知f (x) 2jM0M2,x a,).(h 0, f (x) g(h)，故 f(X) gg)习题6设函数f(x) C0,1.在(0,1)内可导，且f(0)0, f (1)1.试证 正数a,b,a b(O"使得 G R a b.证取数 (0,1).由介值定理知 e (0,1),使f(c) .在区间0,c与c,1上分别应用微分中值定理有1从而f(c) f(0)r0f(1) f(c)1(0,1),0,c,1,0.f ( ) 0,f ( ) 0.w.显然当

6、取,1(0,1).代入得b.2习题 7 求 f(x) x ln(1x)在x0处的100阶导数值。解由Taylor公式有f(x)100xz 100,o(x ).故98-f(100)(0)100!198f(100) (0)习题8b e2,证明 ln2 b ln2100!990 (97!).984a 2 (b a).ef(x)2In x,应用Lagrange 中值定理有ln2b lna),b.又设(t)ln tt(t)1 lnt 丁，当t(t)0,此时 (t)单减.从而,2、 ln(e ),即ln e2eln2b ln2e2(b a).习题10设 f (x),g(x)在()内有定义，f(x), f

7、(x)存在,且满足 f(x) f(x)g(x) f(x) 0.如果f(a)f (b)0 (a b),求证f (x)0, a x b.f(x)Ca,b,故a,b,使f()max f(X), f()m min f (x).欲证f(x)0,ax b.只需证明m 0.反证法，0,则(a,b)0,又f ()为极大，故0.但另一方面f ( )g( ) f()f()M 0,矛盾0.若m0,则仿上面的证明，有0, f ( )0.另一方面)f ( )g()f(m 0,矛盾。故m0.命题得证。习题11设f (x)Ca,b,在(a,b)内二阶可导，又设联结两点(a, f (a),(b, f (b)的直线与曲线 y

8、f (x)相交于点(G f(c)，求证：在(a,b)内至少存在一点,使 f ( )0.证 对 f(x)在a,c, c,b上分别应用Lagrange中值定理， 1(a,c),2(c,b),使f(c) f(a) f()f(b) f(c) f ( c abe2)由于三点(a, f (a), (c, f (c), (b, f (b)在同一直线上，所以f(c) f(a)f(b) f(c)b cf (1)f ( 2).再对y f (x)在2上应用Rolle定理可得:2),使 f ()0.习题 12设 a b c, f (x)在a,c有二阶导(x), 试证(a, c),f(a)(a b)(a c)f(b)

9、(b a)(bc)f(c)(c a)(c b)F(x) (x b)(xc)f(a)(a b)(a c)a(b a)(b c)a)(x c)f (b)a(c a)(c b)a)(x b) f(c)f(x)F(x)在a,c上二阶可导，且F(a)F(b) F(c) 0.对 F(x)在a,b, b,c上分别应用Rolle定理，1(a,b), 2(b,c),使 F ( 1)0,F (2)0.对 F(x),由于F(X)在1, 2上可导，再用1,Rolle定理，2(a,c),使得 F ()0而(x)习题2f(a)2f(b)2f(c)(a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b),即得所求证

10、的等式。13 设 f (x)二阶可导，且 f (0)f(1)0f (x)二阶可导,f(x) C0,1,且可导,f (x)m0nf(x)1.求证 maxf w 8.由闭区间上连续函数的性质,c (0,1),使 f(c)1为最小值,(c)0.再由 Taylorf(x)f(c) f (c)(x公式有c) if()(xc)211f()(xc)2,其中介于c与x之间，分别取x0,x1,得f(0)1f ( 0)c220, f (1)1r(1)(1c)2 0.当c (0,-时，由前式推出f (220)8;当cc 1,1)时，由后式推出2f (1)2 28,由此即得 max2x 0,1(1 c)f (x) 8

11、.习题14设0 x 1, P1.试证21 Pxp (1 x)p 1.证令f(x) xP(1 x)P,x 0,1.则 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且 f(X)pxp1 (1 x)p1.由f(X)0得唯驻点X1?由于 f(0)1,f(1)11,f (2)21 P ( 1). f (X)在0,1上的最大值为1，最小值为p.于是题15()(将f (a b)(2 )a b2(a b)f (a)一 a bf(2设习f证,则有Xf(b)(b)f(a)f2121 p4D2Xp (1X)p 1.相减得f(b)f(b)f(a)f(X)在f(b)a,b上二阶可导，f(a).a处展开，令a bf (a

12、)(丁a bf (b)(0,f(a)f(a)a)b)f (a)0, f (b)0,则在(a,b)内必存在一点，使f ( i).ba ba,即2f ( 1)(a2b 2 厂a)2f (1) f(2)(b 型，所以4)|f ( 2)| (b a)2(ba b1(a,)类似f(x)在X b处展开，令2a b(丁 b)1，当f (1)f (2)2,当f (1)f ( 2)，即在(a,b)内存在一点，使4(b a)2f(b)f(a).证将f (x)在X点展开，求出f(2),f(0)的值：f(2)f(x)f (X)(2X)f ( 1)2(2X)2,1 (0,2)f(0)f(x)f (x)(0X)f ( 2

13、)2(0X)2,2(0,2)相减f(2)f(0)2f (X)bf(1)(2X)2f (1)X ,因此习题16设f (X)在0,2上二阶可导，且 f(X)f (X)1,证明 f(X)2.1,2f (X)f(0)f(2)1Rf ( 1)(2 X)2f ( 1) X ,因为f(x)| 1,|f(x)| 1,故有 2|f(x)| 2 £(2 X)2 X2 (X 1)2 3,2.当 0 X 2 时，(X 1)2 3 4, 2 f (x)|4,即 I f (x)习题17设f(x)在0,1上二阶可导，且其最大值在(0,1)1内达到：ma,Xf(x)4-Jf (x)1.试证f(0)f(1) 1.证(

14、类似方法处理，先将f(x)在某点展开，再将0,1分别代入X)设X a(1)是f (x)的最大值点，则有f (a)0且f(a) 1.应用4Taylor公式有f (0)f (a) f (a)(0 a)f ( 1)2(0a)2f (1)f (a) f (a)(1a)f ( 2)(1因此a)2(1f(0)f(1)1414f ( 1)2f ( 2)2(1a)21 22a ,1 1(142a)2,于是f(0)习题22设f(1)a2(1 a)21a2a 1, 0 af(x) C30,1,且 f(0)1,f(1)2, f (1)0.证明2(0,1),使I f ( )|24.(提示：用三阶 Taylor公式，将

15、f (x)在x 1处展开，然后分别用0,1代X,相减，利用条件便有148f ( 1) f ( 2)1.即 f ( 1)f ( 2)48.于是2max f ( 1), f ( 2)f ( 1) f ( 2)48，即max f ( 1), f (2)24.在(0,1)内至少存在一点，使f ()24.)第七节函数的连续性与间断点、函数的连续性1 .增量：变量X从初值到终值x2 ,终值与初值的差叫变量X的增量，记作X，即X =为一x2。(增量可正可负)。例1 分析函数y x2当x由x0 2变到x0x 2.05时，函数值的改变量。2 .函数在点连续的定义定义1:设函数y = f (X)在点Xo的某个邻域

16、内有定义，如果自变量X的增量x= X Xo趋向于零时,对应的函数增 y = f(x) f(X0)也趋向于零，则称函数y = f(x)在点Xo处连续。定义2:设函数y = f (x)在点Xo的某个邻域内有定义，如果函数f (x)当Xlim f(x)f(Xo)，则称函数y = f(x)在点Xo处连续。X XoXo时的极限存在，即，总存在正数使得对于适合不等式X Xo的一切X，所对应的函数值f(x)都满足不等式:f(x) f(xo)，则定义3 :设函数y = f(X)在点x0的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数称函数y = f(X)在点Xo连续。注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数f(

17、x)在点Xo连续，必须同时满足下列三个条件:lim f(x)存X Xo(1)函数y = f (x)在点Xo的某个邻域内有定义(函数y = f (x)在点Xo有定义)，(2)在；(3) lim f(X)f(Xo)。X Xo3 .函数y = f(X)在点Xo处左连续、右连续的定义:(1)函数y = f(X)在点Xo处左连续f(X)在 Xo,xo内有定义，且limo f(x)X Xof (Xo)(即f(Xo o)f(Xo)。(2) 函数y = f (X)在点Xo处右连续f (x)在xo,xo内有定义，且limo f(x)X xf (Xo)(即f(Xo o)f(Xo)。显然，函数y = f (x)在点

18、Xo处连续 函数y = f (x)在点Xo处既左连续又右连续。(3) 、函数y = f (X)在点Xo处连续是lim f (x)存在的充分条件，而非必要条件。X3、函数在区间上连续的定义定义4 :如果函数y = f (x)在某一区间上每一点都是连续的(如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续)，则称函数y = f (X)在该区间上是连续的。例1:讨论下列函数在区间(，)内的连续性(1) f(x)X2(2) f(x)cosx(3) f(x)sin 2x例 2 :设 f(x) XX2 a Xo，试确定b的值，使函数f(X)在X o处连续。 o、函数的间断点(一).间断点概念：设函数f(