成人高等考试高数深刻复习资料

1、第一章函数、极限和连续§.1 函数 主要内容函数的概念1.函数的定义：y=f(x),定义域：D(f),值域：Z(f).Dif(x)2.分段函数:g(x)x3.隐函数：F(x,y)= 04.反函数：y=f(x) 7x= O(y)=f-1(y)y=f-1 (x)D2定理:如果函数：y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的;则它必定存在反函数:y=f -1 (x), D(f -1 )=Y, Z(f -1 )=X且也是严格单调增加(或减少)的。函数的几何特性1.函数的单调性：y=f(x),x D,xi、X2 D当 X1< X2 时，若 f(Xl)Wf(X2

2、),则称f(x)在D内单调增加();若 f(Xl) >f(X2),则称f(x)在D内单调减少();若 f(Xl) < f(X2),则称f(x)在D内严格单调增加();若 f(X1)> f(x 2),则称f(x)在D内严格单调减少()。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性:周期函数：f(x+T)=f(x), x (-+ m)周期：T最小的正数4.函数的有界性:|f(x)| <M , x (a,b)基本初等函数1.常数函数：y=c ,(c为常数)2.幕函数：y=x n ,(n为实数)3.指数函数：y

3、=a X,(a > 0、a M|)4.对数函数：y=loga x ,(a > 0、a =5.三角函数：y=sin x,y=con xy=ta n x , y=cot xy=sec x , y=cscx6.反三角函数:y=arcs in x, y=arcc on xy=arcta n x, y=arccot x复合函数和初等函数1. 复合函数：y=f(u) , u= © (X)X2. 初等函数 :y=f ©(X) , X X由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函§1.2 极 限主要内容极限的概念1

4、. 数列的极限 :linm ynn称数列yn以常数 A 为极限 ;或称数列yn 收敛于 A.定理 : 若yn 的极限存在yn 必定有界 .2.函数的极限：当 X时，f (X)的极限：limf (X)AX limf (X)Alim f(X) A X当xx0时,f(x)的极限:limx Xof(x)左极限:limx xof(x)右极限:lim f (x)x xo函数极限存的充要条件:lim定理：x xof(x)lim f(x) lim f(x) Ax xx xo无穷大量和无穷小量无穷大量:lim f(x)称在该变化过程中f(x) 为无穷大量。X再某个变化过程是指:xxo，xxo，xxo无穷小量：

5、lim f (x)称在该变化过程中 f(x) 为无穷小量。无穷大量与无穷小量的关系:lim f(x) 0定理：limf(x),(f(x) 0)4.无穷小量的比较:lim0,lim若，则称B是比a较高阶的无穷小量;若lim（c为常数），则称B与a同阶的无穷小量;若若定理:limlim若:则：lim两面夹定理,则称B与a是等价的无穷小量，记作：Ba；，则称B是比a较低阶的无穷小量。lim1 .数列极限存在的判定准则:设：ynXnZn(n=1、2、3 )且: lim y lim 召且- nn则：nim xna2 .函数极限存在的判定准则:设：对于点X0的某个邻域内的一切点（点X0除外）有:g（x）

6、f（x）h(x)且 ximog(x)limx Xoh(x) Alim u1(x) lim u2(x)lim un(x)则:讣）极限的运算规则若: limu(x) A,lim v(x) BAB (lim v(x) 0)则: limu(x) v(x) lim u(x) lim v(x) A Blim u(x) v(x) lim u(x) lim v(x) A B u(x) lim u(x)limJv(x) lim v(x)推论： lim ui(x) U2(x)Un(x) lim c u(x)c lim u(x)两个重要极限lim u(x)nlim u(x)n. sin Xlim 1 - x o X

7、dmsin (x)o(x)1 x2. Xim (1 x)Xmo(11X)】§1.3连续主要内容函数的连续性1.函数在 Xo 处连续:f(x) 在 Xo 的邻域内有定义,1O lXmo y Jmofglim f (x0X)X 0f (Xo)f(X0)左连续:lim f (x) f (Xo)X Xo右连续:lim f(x) f(Xo)X Xo2.函数在Xo 处连续的必要条件:定理： f(x) 在 Xo 处连续f(x) 在 Xo 处极限存在3.函数在X0处连续的充要条件:定理：xim；of(x)f(xo)lim f (x) lim f (x) f (x0)X XoX Xo4.函数在a, b

8、上连续:f(x) 在a, b上每一点都连续。在端点a和b连续是指:limX af(x) f(a)左端点右连续;limx bf(x) f(b)右端点左连续。a+ o b-5.函数的间断点:若 f(x) 在 Xo 处不连续，则 Xo为 f (x) 的间断点。间断点有三种情况:io)x(f 在 Xo 处无定义;lim f (x)2。X Xo不存在;3o)x(f在 x0 处有定义，且 x x0lim f(x)存在，但问0心)f (x0) 。两类间断点的判断：1o 第一类间断点：lim特点： x x0f (x) lim和 x x0f(x)都存在。lim f (x)可去间断点： x x0存在，lim f

9、(x)f (x0)x x0，或 )x( f 在 x0 处无定义。2o 第二类间断点：lim f (x) lim特点： x x0和 x x0f(x)至少有一个为3无穷间断点：lim f(x)或 x x0振荡不存在。lim f (x) limx x0和 x x0f(x)至少有一个为3函数在 x0 处连续的性质1.连续函数的四则运算：1O XimXof(x)g(x)f (Xo) g(Xo)2o limf(x)2 X Xo|. f (x) lim3。x xo g(x)2. 复合函数的连续性：g(x)f (Xo) g(Xo)y f(u),f (Xo) g(Xo)(X),lim (x)X Xo则:!曾3.

10、反函数的连续性:(X)y f(X),lim f (x)X Xo函数在a, b上连续的性质1.最大值与最小值定理：lim g(x) oX Xoy f (X)lim f(u) f (Xo)u(Xo)flim(X) f (Xo)X Xof (Xo)1(x), y。f (Xo)yimi f 1(y) f 1(yo)y yof (X )在a,b 上连续f(X) 在 a,b 上一定存在最大值与最小值。 H H H Hm-M2.有界定理:f (x )在a,b上连续f(x)在a, b上-定有界。3.介值定理:f (x)在a,b 上连续在(a，b)内至少存在一点推论:f (x)在a,b上连续，且 f(a)与f(

11、b)异号在(a,b)内至少存在-点，使得：f ()0。4.初等函数的连续性:初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章一元函数微分学§2.1导数与微分一、主要内容导数的概念1 导数：yf (x)在Xo的某个邻域内有定义,limX 0 Xlim血X 0X) f(Xo)2 .左导数:limXX0X0右导数:f(x) f(X0)X Xof (X0)dydXX Xo(Xo)limX Xof(X) f(Xo)Xof (Xo)limX Xof(X) f(Xo)X Xo定理:f (X)在 Xo 的左(或右)邻域上连续在则:(或:其内可导，且极限存在;(Xo)(Xo)3.函数可导的必要条件:定理： f

12、 (X)在4.函数可导的充要条件:定理:yX Xo5.导函数：ylim fX Xolim fX XoXo处可导f (Xo)(X)f(X) 在Xo处连续存在f(X) 在 (a,b) 内处处可导。y6.导数的几何性质:(a,b)f (Xo)f (Xo)是曲线y f (X)上点M X o，yo处切线的斜率。0 xo求导法则1.基本求导公式:2.导数的四则运算:f (Xo)，1° (u v)2° ( u v)3°v2(v0)yf (u), u (X), yf (X)dydy dudxdu dx，或 f (x)f (X)注意f (X)与f (X)的区别:f(x) 表示复合函

13、数对自变量x求导；f (X )表示复合函数对中间变量(X )求导。4.高阶导数:f (X), f (x),或f()(X)f(m)(x) f(n 1)(x) , (n2,3,4)函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。微分的概念1.微分：f ( X)在X的某个邻域内有定义，yA(x) X °( X)其中：A(x)与X无关，0( X)是比X较高3.复合函数的导数:(x)lim 0( x)阶的无穷小量，即： x 0则称yf (x) 在x处可微，记作:dyA(x) xdyA(x)dx0)2.导数与微分的等价关系:定理： f(x) 在x处可微f(x) 在x处可导,且: f (x)A(x)3.微分

14、形式不变性:dy f (u)du不论u是自变量，还是中间变量，函数的 微分 dy 都具有相同的形式。§2.2中值定理及导数的应用一、主要内容 中值定理1.罗尔定理：f ( X )满足条件：o在(a,b)内至少存在一点10在a,b上连续；20在(a,b)内可导;30 f (a) f (b).2.拉格朗日定理：f ( X )满足条件：10在a,b上连续,2°在(a,b)内可导;在(a,b)内至少存在一点，使得：f ( ) f(b) f(a) b a0罗必塔法则：(0，型未定式) 定理： f(X)和 g(x) 满足条件:(或);lim f (x)0x a1。lim g(x) 0x

15、 a5。若函数是0型可采用代数变2。在点a的某个邻域内可导，且g(x) 0；lim 3BOX a() g (x)A,(或)lim 3则：X a( ) g(x)limx a(f (x)g(x)A,(或)注意：1。法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2。若不满足法则的条件，不能使用法则。0 _即不是0型或型时，不可求导。3。应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。4。若 f (x)和 g (x) 还满足法则的条件,可以继续使用法则,即:lim 3x a( ) g(x)limx a(f (x)g(x)limx a(f (x)g (x)A (或)形，化成o或型；若是

16、1 ,oo, o型可采用对数或指数变形，化成oo或型。导数的应用1.切线方程和法线方程:M (xo, yo)切线方程：yyof (x(yyo1法线方程：“f (x曲线的单调性：f (x)o x(a,b)f (x)o x(a,bf (x)o x(a,b)f (x)o x(a,b)3.函数的极值:极值的定义:2 .设：y f(x),)(XXo)-)(xo)Xo), (f (Xo)0)f(x)在(a,b)内单调增加;f (x)在(a,b)内单调减少;在(a,b)内严格单调增加;在(a, b)内严格单调减少。设f(x)在(a，b)内有定义，x0是(a,b)内的一点; x0x x0若对于 的某个邻域内的

17、任意点，都有：f (x0) f (x)或f(X0)f (x)则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极大值(或极小值) ，x0 f(x)称 0 为的极大值点(或极小值点) 。极值存在的必要条件：10.f (x)存在极值f (x0)20.f ( x0 )存在。f (x0) 0定理：x0 f (x)称为的驻点极值存在的充分条件：定理一：10. f(X)在x0处连续；2o.f (x0)0或f (x0)不存在;30. f(X)过x0时变号。f ( x0 )是极值；Xo是极值点。xx0f (x)当 渐增通过 时，由( + )变( - )；f(x0)则 0 为极大值；渐增通过当X渐增通过X0时， f (

18、X) 由(-)变(+);则 f(X0)为极小值。定理二：10.f (X0) 0;2°.f (x0)存在。f (x0 )是极值; Xo是极值点。(x0) 0，则 f (x0 )为极大值;(X0)0，则 f (X0 )为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4曲线的凹向及拐点：若 f (X)0,xa, b ;则f (X)在(a, b)内是上凹的(或凹的)，(U);若 f (X)0,xa,b f (X) (a,b)' ;则 丿在''丿内是下凹的(或凸的)，();X0, f (X0) 称 为f(X)的拐点。0，10.f2o.f(X)过Xo时变号。(x

19、0)5。曲线的渐近线：A 是 f(X)渐近线。水平渐近线：若 lim f (X)X或 lim f (X)X铅直渐近线：的铅直渐近线。若 lim f(x)xC或 lim f(x)xCx C 是 f(X)第三章 一元函数积分学§3.1 不定积分、主要内容重要的概念及性质：1原函数：设： f (x), F(x),xD若： F (x)f(x)F(x)则称是f (x)的一个原函数，并称F(x)C 是 f (x) 的所有原函数 ,其中 C 是任意常数。2 不定积分：f (x)函数 的所有原函数的全体，称为函数 f (x) 的不定积分；记作：f (x)dx F(x) C其中: f (x) 称为被积

20、函数；f (x)dx 称为被积表达式；x 称为积分变量。3. 不定积分的性质：或：f (x)dxf(x)d f (x)dx f (x)dxf (x)dx f (x) C或：df (x) f (x) f1(x) f2(x)fn(x)dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx分项积分法kf(x)dx k f(x)dx (k为非零常数)4.基本积分公式：换元积分法：1.第一换元法:又称“凑微元”法)f(x) (x)dx f (x)d (x) 凑微元f (t)dt F(t) C令 t (x)F（X） C回代t（X）常用的凑微元函数有：1dx d(ax)10 a1d(ax ab) (a,b 为常数，

21、a 0)xmdx 丄2m 1.m dx1a(m石d(axm 1 b)（m为常数）eXdx3°1d(ex)-d(aex b)aaXdx&d(ax), (a 0,aIn a1)4oXdXd(ln X)5o sindxd(cosx) cosxdxd(sin X)2 2sec XdX d(tan x) csc xdx d(cot x)1I 2 dx d(arcsin x) d(arccosx) 6° O1 X21 dx d(arctan x) d(arc cot x) 1 x2.第二换元法:f(x)dx令xf(t)(t)d (t)(t)f(t)dxF(t) CF反代t 1(

22、x)1(x)(0 t 7)4。第二换元法主要是针对含有根式的被积函数,0 x tn, n为偶数时,t 0（当被积函数中有 J x时）acosx), 0 t2o xasin t,(或xJa2（当被积函数中有 w d2 x时）30 xa tan t,(或xacott), 0 t 三,其作用是将根式有理化。般有以下几种代换:(0 t 7)t12 2(当被积函数中有a x 时)x a sect,(或 x acsct), 0（当被积函数中有 Vx分部积分法:1.分部积分公式:udvu v vduu vdxu vdx2.分部积分法主要针对的类型:P(x)sin xdx,P(x)cosxdxP(x)exdx

23、P(x)ln xdxP(x)arcsin xdx,P(x)arccosxdxP(x)arctan xdx,P (x)arc cot xdxeax sin bxdx,eax cosbxdx其中：P(x)aoXna1xn 1an（多项式）3 .选u规律:在三角函数乘多项式中，令P（X） u，其余记作dv;简称“三多选多”。在指数函数乘多项式中，令P( X ) u其余记作dv;简称“指多选多”。在多项式乘对数函数中，令 In x其余记作dv;简称“多对选对”。在多项式乘反三角函数中，选反三角函数为U，其余记作dv;简称“多反选反”。在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为U，其余记作dv;简称“指三任

24、选”。简单有理函数积分:1.f (x)有理函数：P(x)Q(x)其中P(x)和 Q(x)是多项式。2.简单有理函数:f(x)P(x)f(x)P(x)x2f(x)P(x)(x a)(x b)f(x)P(x)(x a)2 b§3.2定积分f(x)主要内容（一）.重要概念与性质1.定积分的定义:O a X1 X2 Xi-18 Xi Xn-1bf(X)dXaf(i 1XiXi i,Xi定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于 X轴，曲线y=f(x).直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。X轴上方的面积取正号,X轴下方的面积取负号。2.定积分存在定理:设：y f（X

25、）a,b若:f（X）满足下列条件之一：1 .f（X）连续，a,b ;2 . f（X）在a,b上有有限个第一类间断 点;3.f（X）在a,b上单调有界;则：f（X）在a,b上可积。若积分存在，则积分值与以下因素无关:bb即 f (x)dx f (t)dt;aa2与在a,b上的划分无关，即a, b可以任意划分；3与点i的选取无关，即i可以在1与积分变量形式无关，Xi i,Xi任意选取。积分值仅与被积函数f(x)与区间a,b有关。3.牛顿一一莱布尼兹公式:若F(x)是连续函数f(x)在a,b上的任意一个原函数:a F(b) F(a)b则：f(x)dx F(x)a*牛顿一一莱布尼兹公式是积分学中的核心

26、定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。4.原函数存在定理:若f (x)连续，x a,b ,x则：(X) f(t)dt, x a,ba(x)是f (x)在a,b上的一个原函数,x(x) (a f(t)dt) f(x)5.定积分的性质:设f(x),g(x)在a,b上可积，则:bb1 kf(x)dx k f (x)dx aabaa f(x)dxb f(x)dxba f(x) g(x)dxaaf(x)dxbaf(x)ca f(x)dx1dxbabxbabbaf(x)dxag(x)dx7 f (x)g(x),bba g(x)dx(a则 f (x)dxabf (x)dx

27、(a c b)cg(x)f(x)I1»ab xx b)m(b a)其中m, M分别为f(X)在b X 0 a EXMmy9积分中值定理: 若f (x)连续X 使 bf(x)dxaa,b ,则：必存在一点f( ) (b a)a,b ,8估值定理：bf (x)dx M (b a)aa, b上的最小值和最大值。(二) 定积分的计算:1. 换元积分设f(x)连续，X a,b，X (t)2.且当t从变到()a,(b则：f (x)dxa时，(t)单调地从a变到b,b,f (t)(t)dt分部积分bvduabudva3.广义积分4.f (x)dxf(x)dx of(x)dx定积分的导数公式i(xf

28、(t)dt)x af(x)(x)f(t)dtxf (x)a(x)2(X)心 f(t)dtx f 2(X)2(x) f i(x) i(x)x a, x b,(a b)1(y), X2(y),(与y c, y d所围成的图形的面积ds (y) (y)dyu4 .求平面图形面积的步骤：g)(三) 定积分的应用 1. 平面图形的面积：1 由 y f(x) 0,与x轴所围成的图形的面积yf(x)bs f(x)dxa2由yif(x), y2 g(x), (f与x a, x b所围成的图形的面积bs a f(x) g(x)dx3由x .求出曲线的交点，画出草图; .确定积分变量，由交点确定积分上下限; .应

29、用公式写出积分式，并进行计算。2.旋转体的体积f(x) 0，与 xa, xb及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积:Vx2(x)dxc, y d 及y轴所围成图形绕y轴旋转所2由曲线x(y) 0,与 y得旋转体的体积:Vy2(y)dy第四章多元函数微积分初步§4.1偏导数与全微分一.主要内容:.多元函数的概念3.二元函数的定义:f (x,y) (x,y) D定义域： D(f )4.二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。 (而一元函数是平面上的曲线).二元函数的极限和连续：1.极限定义：设 z=f(x,y) 满足条件：1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。点( x0, y0

30、)可除外)2 lim f (x,y) Ax x0y y0则称z f (x,y)在(X0，y0)极限存在，且等于A。2. 连续定义:设 z=f(x,y) 满足条件:1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。2 lim f (x,y) f (xo,yo) x xo y yo则称 zf (x,y)在(X0, y0)处连续。偏导数:定义：f(x,y),在(Xo，yo)点fx(Xo，yo)叽丄x,yo) f (xo,yo)f) iimof(xo，yoy) f(xo，yo)y oyfx(Xo，yo), fy(Xo，yo)分别为函数 f (x, y)在(x。) 处对x,y的偏导数。z f （x, y）在D内任

31、意点（x,y）处的偏导数记为:fx(x,y)f(x,y)Zxfy(x,y)f(x,y)yZy全微分:1.定义：Z=f(x,y)若 Z f (xx,yy)f(x,y)B y o(其中，A、B与X、 y无关，o（）是比X、x2y2较高阶的无穷小量贝 y: dz df(X, y) Ax By是 z f(x,y) 在点(x,y)处的全微分。3. 全微分与偏导数的关系定理：若 fx(x,y), fy(x,y)连续,x,y) D.则:z f (x, y)在点(x, y)处可微且dzfx(x, y)dx fy(x, y)dy.复全函数的偏导数:1.设：zf (u,v),u u(x, y),v v(x, y)

32、u(x,y),v(x,y)则:二x2.设y f (u,v),u u(x),vv(x)dy y du ydx u dx vdvdxy fu（x）,v（x）.隐含数的偏导数:1.设F (x, y,z) 0,zf(x,y),且 Fz 0Fzf(x),且 Fy 0则二H二xFzy2.设F (x, y) 0, y则dxFy.二阶偏导数:2()xxx2z(z、2)yyy2z( yzx yx2z(xzy xy2fxx(x, y)fyy(X,y)fxy(x, y)fyx(x,y)结论：当fxy(x,y)和fyx(x,y)为x, y的连续函数时，则： fxy(x, y) f yx(x, y).二元函数的无条件极

33、值1. 二元函数极值定义：设z(x, y)在(xo, yo)某一个邻域内有定义,若z(x, y) z(Xo, yo),或z(x, y) z(Xo, y。) 则称z(xo,yo)是z(x , y)的一个极大(或极小)值,称(xo, yo)是z(x , y)的一个极大(或极小)值点。 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。2.极值的必要条件：若z f(x,y)在点(Xo,yo)有极值，且在(Xo,yo)两个一阶偏导数存在，则：fx(xo, yo) o fy(xo, yo) of (x, y)的驻点。1 使 fx(xo，yo) fy(xo，yo) 0 的点(Xo，yo), 称为 z2 定理的结论是极值存在 的必要条件， 而非充分条件。22 例： z y2 x2xo o yo o0 解出驻点0zx2xzy2yz(0,0) 1Alzx 0,y0时，Alz当 x 0,y驻点不一定是极值点。0时，z(o, y) y2 1 1 z(x,o) x2 1 15. 极值的充分条件：设：函数 yf (x, y)在(x0, y0)的某个领域内有二阶偏导数，且 (xo, yo )为驻点，2若： p f xy (x0, y0) f xx (x0,y0) f yy(x0,y0)当：p0