导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问答

1、导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题第一部分：历届导数高考压轴题1.2006年全国2理设函数f(x) =(X +1)1 n(x+ 1)，若对所有的x>0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围.2.2006全国1理1 X已知函数 f X e ax1 X(I)设a 0，讨论y f X的单调性;(n)若对任意 x 0,1恒有f X 1，求a的取值范围.3.2007全国1理设函数f(x) ex ex(I)证明：f(x)的导数f(X)> 2 ；求a的取值范围.ax，求a的取值范围.(n)若对所有 x> 0都有f (x) > ax ,4.2008全国2理设函数f (x) Sin

2、X2 cosx(I)求f(X)的单调区间;(n)如果对任何 x > 0 ,都有f (x) <5.2008辽宁理In X设函数 f(x) ln X ln(x 1).1 X求f (x)的单调区间和极值；是否存在实数 a，使得关于x的不等式f(X)a的解集为(0,)?若存在,求a的取值范围;若不存在,试说明理由.6.2010新课标理设函数 f (x) = ex 1 x ax2.(I)若a 0,求f(x)的单调区间；(n)若当x>0时f (x)0,求a的取值范围7.2010新课标文已知函数f(x) x(ex 1) ax2.(I)若(n)当x 0时，f (x)0，求a的取值范围.8.2

3、010全国大纲理f (x)在x1时有极值，求函数 f (x)的解析式;设函数f (x)1 e(I)证明：当x1时,(n)设当x 0时,f(x)-xx1,求a的取值范围.ax9.2011新课标理已知函数-，曲线xf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 x 2y 30.(I)求b的值;Gn)如果当x 0，且x 1时,ln x kf(x) 一，“求k的取值范围.x 1 x10.自编3自编：若不等式sinx x ax对于x (0,)恒成立，求a的取值范围.第二部分：新课标高考命题趋势及方法1.新课标高考命题趋势近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作

4、为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度,又注重考查进入高校继续学习的潜能。 为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨,以高等数学为背景的命题形式成为了热点2.分类讨论和假设反证许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数法，一部分题用这种方法很奏效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路一一分类讨论和假设反证的方法3.洛必达法则0-型及一型函数未定式的一种解法0虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解,但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非

5、常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了 0 ”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.第三部分：洛必达法则及其用法1.洛必达法则洛必达法则：设函数f (x)、g(x)满足:lim f(X) lim g(x) 0 (1)xa / xa八/(2)在 U''(a)内，f (x)和 g(x)都存在，且 g(x) 0 ；lim 3A(3)xag(x)( A可为实数，也可以是lim 通 lim 3 A则xag(x) xag(x).(可连环使用)求极限得最值。2.2011新课标理的常规解法上L 上/ aInx 已知函数f (

6、x)-，曲线xy f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 x 2y 30.(I)求 a、b的值;(” n)如果当x 0，且x 1时,f(x)Inxn(I)略解得(n)方法一：分类讨论、假设反证法由(I)知 f (x)x 1丄，所以xf(x)(In x2k)亠(2lnx (k 1)(x1).x 1 x考虑函数h(x) 2ln x则 h'(x)(k 1)(x21) 2x(i)当 k0 时，由 h'(x)k(x21) (x 1)2知,1时,h'(x)0 .因为 h(1)0 ,所以当x (0,1)时，h(x)0，可得11 x2h(x)(1,)时，h(x) 0，可得h(x) 0

7、 ,从而当x1 x1时,f(x)In(7 1k-)x(ii )当0 k 1时，由于当(1,丄)时，(k1 k1)(x21)2x0,故 h'(x)0，而h(1) 0，故当x (1,丄)时,1 kh(x) 0,可得-1.h(x)与题设矛盾.(iii )当 k 1 时，h'(x)0,而 h(1)0 ,故当 x (1,)时，h(x) 0，可得h(x) 0，与题设矛盾综上可得，k的取值范围为(，0.1 x注：分三种情况讨论： k 0 :0 k 1 :k 1不易想到尤其是0 k 1时,许多考生都停留在此层面，举反例x (1,丄)更难想到而这方面根据不同题型涉及的解法1 k也不相同，这是高中

8、阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升3.运用洛必达和导数解2011年新课标理当x 0，且x1 时，f(x)In x1 ln x也即kx 12xln x1 x21，记 g(x)x x2xln x1 x2则 g '(x)2(x21)ln x 2(12 2x2)2(x2 1)(1 x )(122x )(In xV2) x2 1)记 h( x)In x，则 h'(x)4x从而h(x)在(0,)上单调递增,22x )1+x (1+x2)2x(1+x2)2(1且h(1)0，因此当x (0,1)时,h(x) 0,当 x (1,)时，h(x) 0 ;当 x (0,1)时，g'(x)0

9、,当 x(1,)时，g'(x)0 ,所以 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增.由洛必达法则有lim g (x) lim(x 1x 112xln x1) 12xl nxlim2x 1 1 x22x即当x 0，且x1时,g(x) 0 .因为k g(x)恒成立，所以k 0 .综上所述，当x 0，且 x 1 时，f (x)ln x k芦;成立，k的取值范围为(,0.注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k分离出来.然后对分离出来的函2x ln x数g(x) 仝罟 1求导，研究其单调性、极值1 x此时遇到了“当x=1时，函数g(x)值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困

10、境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效 方法.当然这一法则出手的时机：(1 )所构造的分式型函数在定义域上单调(2)是0型。04.运用洛必达和导数解2010新课标理x设函数f (x) e 1 x2 ax .(I)若a 0，求f(x)的单调区间;(n)当 x 0时，f(x) 0,求a的取值范围.应用洛必达法则和导数(n)当 x 0时，f(x) 0,即 ex 1 xax2.当x0时，a R；当x0 时，ex2x ax等价于axe 1 x2x记 g(x)x .e 1x2xx (0,+)，则 g '(x)(x 2)ex x 2记 h(x)x(x

11、 2)ex 2 x (0,+ ),则 h'(x) (x 1)ex当 x (0,+ )时，h ''(x)xex 0，所以h'(x) (x 1)ex 1在(0,+ )上单调递增，且h'(x)h'(0)0，所以h(x) (x 2)ex x 2在(0,+ )上单调递增，且h(x) h(0)0 ,因此当x (0,+ )时，g'(x)啤x0，从而g(x)ex1 x2一 在(0,+ )上单调递增.x由洛必达法则有,!叫 g(x)limx .e 1x2xxlim ex 0 2xxlim x 0 2即当x0时,g(x)-，所以当x2(0,+)时，所以g(x

12、)丄，因此a2综上所述,且 x 0 时，f (x)20成立.5.运用洛必达和导数解自编题(0,)恒成立，求a的取值范围.解：应用洛必达法则和导数当x (o,2)时，原不等式等价于sin x厂3sin x xcosx 2xx3 4 、 x sinxz 记 f(X)3，则 f '(x) x记 g(x) 3sin X xcosx 2x，贝y g'(x) 2cosx xsinx 2 .因为 g”(x) xcosx sinx cosx(x tanx),g'''(x)xsinx 0 ,所以 g''(x)在(0,)上单调递减，且g''(

13、x)0 ,2所以g'(x)在(0,)上单调递减，且g'(x)0.因此g(x)在(0,)上单调递减,2 2且 g(x) 0 ,故 f '(x)啤0，因此xf(x)x sin x在(0,)上单调递减.x3由洛必达法则有lim f(x) lim Xx 0x 0 x1 cosx lim 2 x 0 3xlimx 0 6xcosx limx 06即当x 0时，g(x)16，即有f (X)x (0,)恒成立.13故a 一时，不等式sinx x ax对于6通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足: 可以分离变量; 用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性; 出

14、现“ 0 ”型式子.6.运用洛必达和导数解2010年新课标文2010海南宁夏文(21) 已知函数 f(x) x(ex 1) ax2.(I)若f (x)在x 1时有极值，求函数 f (x)的解析式;(n)当x 0时，f(x) 0，求a的取值范围.解: (I)略(n)应用洛必达法则和导数0时，f(x) 0，即 x(e，求a的取值范围.ax 1解：(I)略(n)应用洛必达法则和导数由题设x 0 ,此时f(X)0. 1) ax2.当0 时，a R;当0 时，x(ex 1)ax2等价于ex1 ax，也即a记 g(x),x (0, x)，则 g'(x)(x 1)ex 1记 h( x)(x 1)ex

15、 1, x(0,)，则 h'(x) xex0,因此 h(x)(x1)ex 1 在(0,)上单调递增，且h(x)h(0)0，所以 g'(x)凹x0 ,从而g(x)在(0,)上x0 .单调递增.由洛必达法则有xelim 一x 0 1即当x 0时，g(x)所以g(x) 1，即有a1.综上所述，当a 1，xf (x)0成立.7.运用洛必达和导数解2010年大纲理2010全国大纲理(22)(I)证明：当x 1时,设函数f (x)1 e x.f(x) ；(n)设当 x 0时，f(x)x 1当a 0时，若x当a 0时，当X;0, f(x) ax 1xf(x)，即 1ax 1axX -不成立;

16、1X，1ax0,则a0,则14X等价于r旦ax 1X，即ax 1XXxe e 1Xxe XX记g(x)丝X .e 1Xxe X2x 2，则 g'(X)XX .! 2e 1(xeX/ XX7(eX22x e ).记 h( x) exX2 2 e x，则 h'(x)ex 2x e,h''(x)X x e +e因此，h'(x)ex 2x e x在(0,)上单调递增,且 h'(0)0 ,所以h'(x)即 h(x)在(0,)上单调递增，且h(0)0,所以h(x) 0.因此 g '(X)= x(xe x)Xe訥(X)0 ,所以g(x)在(0,

17、)上单调递增.由洛必达法则有lim g(x) limx 0x 0xXxe e 1Xxe XX00二 lXm0 2e-XXe xeXXi xe1，即当x 0时,21 1g(x)2，即有 g(x)1所以a -综上所述，a的取值范围是2(E.8.运用洛必达和导数解2008年全国2理设函数f (x) sinX2 cosx(I)求f(X)的单调区间;(n)如果对任何f (x) < ax，求a的取值范围.解：(I) f(X)(2 cosx)cosx sin x( sin x)2(2 cos x)2cos X 1(2 cosx)当 2k n X3当 2k n 3 X32k n2k n¥( k Z )时,34 n(k Z )时,3cosxcosx1-,即卩f(X)21,即卩f(X)2因此f(x)在每一个区间 2k2 冗,2k n32 n三匸(k Z )是增函数,3f (x)在每一个区间 2knjn3(k Z )是减函数.(n)应用洛必达法则和导数f(x)sin x2ax cosx则 sinx2 cosxax等价于asin xx<2，即 g(x) cosx)sin xx(2 cosx)g'(x)2xcosx 2sin X sin xcosx x2 2x (