外接球与内切球解题方法

1、空间几何体的外接球与内切球一，有关定义1”球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球aZ外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.工内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面 体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。二、外接球的有关知识与方法1”性质:过球心的平面载球面所得圆罡大圆，大圆的半径与球的半径相等;性质宀经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得园是大 圆;性质3:过球心与小圆圆心的直线垂直干小圆所在的平面（类比：圖的垂径定理）;性

2、质牡球心在大圆面和小圆面上的射影是相应®的圆心:性庚5,在同一球中，过两相交圆的®心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.2”结论*结论I:长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中 点是球心;结论耳若由长方体切得的冬面体的所有顶点是原怅方体的顶点，则所得多面体 与原长方体的外接球相同;结论3,长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接形的外接圆是大圆;结论4：结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径,结论®直棱柱的外接球与该棱柱外接

3、圆柱体有相同的外接球;圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上;的直径;结论9：侧按相等的橈锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3终极利器！勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）;三、内切球的有关知识与芳法L若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。（与直线切圆的结论有一致性）N内切球球心到多面体各面的距离均相等*外接球球心到多面体各顶点的距离均 相等.类比；与多边形的内切圆）3正多面体的内切球和外接球的球心重合4.正橈锥的内切球和外接球球心都在高线上，怛不一定重合.构造三角形利用相似比和勾股定理;(2)体积分割是求内切球半径的通用做法(等体积法).方法：找三条两两垂直的线

4、段，直接用公式(2幻2二。'+护+才，即2R = Vu'+A'+c-,求出 k例1(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4*体积为16,则这个球的«面积是(C )A. 16打B.20 更C.24;rD.32;r解,r = £z-/j = 16, a = 2 .+ 4 += A' = 24.t , ffiCs(2)若三樟锥的三个侧面两两爭盲，目侧楼长均为屈、则其外接球的表面积是解：4/f-=3 + 5 + 3 = 9,、=4秋7=9肚；衽正三棱锥S-AHC中，血 屮分别星檯S仁处,的中点，且月"丄AA',若侧棣如2忑,

5、则正三棱锥£-肋外接球的表面积是J6;rSC解：引理：正三棱锥的对«互相垂直，证明如下：如图小取初/的中点"，心连接（几必交于丹，连接価，则H是底面正三角形AfiC的中心,/. SH丄平面ABC, A,ST/丄，初，V AC = BC, AD=BD, .CD1AB, :. Afi 丄平面 MF,AB丄同理：丄册，即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图卫,V丄MN , 5/i " MV ,:.九“丄 57J . V AC 丄 $" , /. SB L 平面 SAC ,二劝丄彭，丄 5匸，/ SB 丄 91, iiC LSA,.W 丄平面 SBC, :

6、.SAL SC,£CU)H 2 (解答 Em故三棱推S-A/iC的三棱条侧撥两两互相垂直,二(2罚上二(173)- + (2 Jjy + (2 JJ尸=36 ,即 4疋=36 *二正三搂锥S-彳风外接球的表面积是M/r.(4)在四面体 N-AM' 中.鹽丄 TfflfM口 ZHAC = 12OM = A('= 2,A/i =,则该四面体的外接球的表面积为（D）10八 4033解：在 A冲7?中，/¥C- = JC- +- 2/ffl /?r CM 120' = 7 , RC = f、鮎J?的/UMR"外接球直径为"*如41 141

7、二（2胖二27丫 +、才二（学r + 4二一，X二凹二 选 Dv3J34. 3,那么它的外（5）如果三楼锥的三个侧面两两垂直它们的面积分别为&、接球的表面积是, 解：由已知得三条侧橈两两垂直，设三条侧核长分别为ghfg&zRf 则口& = 12« 屉=S J if/c = 24 f /.= 3 f /f = 4 f c = 2 f (2疋)'=灯'+由'+ f' = 29 *ue = 6S - 4冰'=29打，（白）已知菓几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为I的等腰直角三角形和边长=迴r为1的正方形，则该几何体外接球的

8、体积为解：(2/f) = fr + A- = 3 , R- = , ii4%戒厂巫=迟“ 理 33 S 2第二步：设出长方体的长宽高分别为亦心An =类型二，对梭相尊模型（补形为长方体） 题设：三«锥（即四面体沖.已知三组对楼分别«等求外接眛半径（初=几AJ) = BC, AC = BI)来源：简单高中±OD:jiandanlOOcn 第一步：画出一个怅方体，标出三组互为异面直线的对棱;Afi = (7> = y A(' = z ,列方程组、J =x'-y = V n (2R z -n- +fr- + t? = 2 22 TV +a =:补充

9、：图 2J 中、F问=abc jhd = abe . 63斗P匚宀亡产紀斗亡4,求岀思考：如何求棱长为M的正四面体怎积，如何求其外接球体积?例2(1)如下图所示三棱锥占n,其中理* =上*D =则该三棱锥外接球的表面积为 解：对橈相等.补形为长方体，如图2-1,设长宽高分别为口上、_2(a + A" 4-c) = 25 + 36 + 49 = I 10 ,十+ />' +云= 55, 4H'=55, S = 55?rJ>(2) 在三棱A-HCf)中，Aii = Ct) = 2 , An = fiC = , AC = fii)4，则三棱锥A-itCD外接球的

10、表面积为29,用2解！如图21,设补形为也方体，三个&度为三对面的对角线故，设也宽高分别 为仏収S则Lf + Z?" = 9 ,u' =162(/+/>' + 亡2) = 9 + 4 + 16二292口左 + 尸 + 亡)=9 + 4十16 = 29 ,八卄宀冬4宀兰，."2 2 2正四面体的各条棱长都为近则该疋面体外接球的体积为解：正四面体对樓相等的模式，放入正方体中，r=£（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三甬形（正四面体的«面）的面积是（4）題解粹图解:如解答图，将

11、正四面体放入正方体中，截面为面积是血.题设：如图:图类型三.汉堡模型（直梭柱的外接球，圆柱的外接球）图口值三梭柱内接于球（同时直梭柱也内接于圆柱W棱柱的上下底面可以是任意三角形) 第一步：确定球心0的位置"q是zu/f的外心，则oq丄平面肋； 第二步：算出小圆q的半径AO, = r , W, =-AA, -hAA, =h也星圆柱的高； 第三步：勾股定理：加三口屮+卯尸二/ M (少+厂二/?言02卡几解出 例3(1)-个正六棱柱的底面上正六边形，其侧»垂直于底面，已知iS六棱柱的顶Q点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为？，底面周长为3,则这个球的体积8赂设正六边形边长为正

12、六雌的高为占，底面外接圆的半径为则“亍 正為梗柱的底面积为i孚y 晳严“屮4心氐 也可心=(争 +申十 /e=i,球的体积为r=y直三橈柱ABC -人巧的各顶点都在同一球面上，若AH = AC = AA = 2 .HAC =,则此球的表面积等于2 /VS = 20肚；解；BC - 2-7? , 2a = = 4 , r = 2 , R =、sin I2(r(3) 已知所在的平面与矩形A /id)所在的平面互相垂直 i EA = EH 二3, Af) = 2,- 6(/ »则多面体E-ABCh的外接球的表面积.16用if解：折叠型E法:NEAR的外接圆半径为f二氐 06, = 11 A

13、二= 2 ;Ifl法二：q/=上§ » F、= 0、D =也、=+H = 4 R = 2 *= I b;r s2244*法三！补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：(2尺卩=(2朽尸十，=1右5 = I6;r ;在直三棱柱ABC-A,By,中，-/i = 4,C = 6,J = -,Z4=4 ,则直三棱柱 3月处'-的XG的外接球的表面积为罟疗解:法:= 16 + 36 2 - 4 - 6 = 28 , fiU = 2护,2r =、r =,2V3 v3 V 3T233 托 3法二：求圆柱

14、的轴裁面的对角线长得球直径，此略-类型四.切瓜模型(两个大小®面互相垂直且交于小圆直径一正弦定理求大圆直径星通法U.m4-21如图弘匚平面阳丄平面玖且血?丄/?门即川为小圆的直径h且严的射影是A4加的外心O三棱锥P-AfiCffi三条恻棱相等Q三棱尸-刖的底面 九4肮在圆锥的底上，顶点戶点也是圆锥的顶点.解题步骤;第一步：确定球心。的位置，取M/tc的外心q,则pg三点共线;第二步：先算出小圆0的半径A< = r .再算出棱锥的高Pq =趴也是圆锥的高);第三步：勾股定理："屮二C+qfXnRJ(A-町+宀 解出R;事实上，4血屮的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求

15、解岀疋一Z如图丄2,平面PAC丄平面AHC ,且/IB丄HC (HP AC为/卜圆的直径,且丄AC,则利用勾股定理求棱锥的外接球半径：= /<4» + （2尸）=O 2R 二M +a：卡用=厂2O H 二 工如图43 平面PACL平面AHC,且曲丄府(即X为小圆的直径)4题设：如1|44,平面丄平面AHC ,且AH 1 fiC (即才为小圆的直径) 第一步：易知球心门必是的外心 即ATM的外接圆是大圆，先求出小圆 的直径AC = 2r；来源：简单高中生(DRandan 100伽)第二步：在中，可根据正弦定理= - = 2/e.求出乩SL11A Sin/ sin (例4正四

16、74;锥的顶点都衽同一球面上，若该棱锥的高为I,底面边长为27?.则该球的表面积为 解；法一；由正弦定理(用大圆求外接球直径)；法二：找球心联合勾股定理,2怡二7,二斗；eK'=4勺；T ；(2) 正四棱锥X三川心 的底面边低和各侧棱诠都为d ,各顶点都在同一球面上,则此球体积为 解:方法一；找球心的位置，易SEflrl , /r = ,/t = r,故球心在正方形的中心A/iC/)4jr处，fi = , r=y方法二:大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊、皿M 的斜边是球半径，212* /e-l> F=#（3）个正三棱锥的四个顶点都在半径为I的球面上，其中底

17、面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积量（u4】2解高m、底面外按圆的半径为/?-!,直径为2用2,设底面边长为7, 2R = sin 60鸟=爲* $=亘宀巫、三棱锥的体积44（4）在三棱锥P-A/iU中，PA = P=吆=氐测楼阳与底面川"所成的角为60-,则该三棱锥外接球的体积为（C4.TD空3*?：选D,由线面甬的知识，得me的顶点AJkC在以¥为半径的圆上,在圆锥中求解，/?=!;已知三梭锥的所有顶点都在球“的求面上上川颱是边长为I的正三3解：q =角形,W为球门的直径但心2、则此棱锥的体积为（）A品，価“1亠1 73人広 721 fl = , r ,

18、4. = = * =3333 斗 36类型五.垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设；如图5, 7M1平面ABC,求外接球半径.解题步骤;第一步：将AJ目画在小®面上:彳为小圆直径的一个端点，作小圆的直径彳6连接円打则PD必过球心第二歩：(片为山"的外心所以(心丄平面AiiC .算出小圆q的半径q,進隼形的外接圆直径算法用用正弦定圉得壮=岛.盍二小第三步：利用勾膛定理求三棱锥的外接球半径：©12/；/ = PA + (2r)'Jf'.护+ (2尸；用三/，+ 0() O尺一护+ 00： 一2题设：如图51至58这七个图形，尸的射影是AJ府的外心

19、O三棱锥戶一曲的三条侧棱相等O三棱锥P-MC的底面41处在圆锥的底上*顶点厂点也是圆谁的顶点第一步：确定球心"的位聲 取A4阳的外心q,则尸cq三点共线;第二步：先算出小圆q的半径AO,= F,再算出棱锥的高M严h （也是E锥的高h 第三步！勾股定理二"/'+0"=尺=（舟-旳'十宀 解岀用 方法二！小圆直径参与构造大圆，用正弦罡理求大圆直径得球的直径.例,一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）CD”以上都不对OWWffl法一：勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上,睿I i好+=尺,尺=丁, = 4秋2=丁金v3

20、3法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形曲的外接圆是大匾于是2R二為令诃类型六、折fi模型第一步：先画出如图6所示的图形，将八肌门画在小圆上，找出Mid）和A/T刮） 的外心肝|和比;第二步i过讯和分别作平面/?和平面月力”的垂线，两垂线的交点即为球 心0,连接0E,0C ； 第三步；解AOT/.,算出在RZK'Ht中，勾股定理：0胃 -OL 注：易知。比,£円2四点共面且四点共圆，证略”例6（1）三橈锥户-曲中（平面丄平面ARJ A PAC和初均为边长为2的正三甬形，则三棱锥P-AHC外接球的半径为2421解：如虱2q4严丽厂百 L产万*

21、 3=7?2'3333法二：弘r Z衽直角梯形 Afi(i)中，AH/fCn, Z=W» Z= 4厂 M = /f” = ,沿对角线折成四面体使平面才月"丄平面fici),若四面体A-fiCf)的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为斗TT解：如图，易知球心在肚的中点处，片二祝;在四面体S-AHC中，初丄艮、二面角的余弦 值为-半，则四面iS-ABC的外接球表面积为jC解：如图 1 法一：cosZSOB 二彳a 十兰)二1,或52% Z叫普* Ri = I + 丄=,$ = 4戒2=6岸；2 2法二:延长甘q到Q使pq三由余弦定理得=, S7J = V2 ,大圆(4

22、) 在边长为2的菱形A肚门中，m初丸，滔对角线晰折成二面角A-fif)-C为I2(r的四面体AfiH),则此四面体的外接球表面积为#?；如图，取*D的中点M,和ACfiD的外接圆半径为/;=口 = 2, MRD 和A（加的外心到弦肋的距离（弦心距）为/ =心=1, 法一：四边形 gg 的外接圆直径0 A/ = 2 . Rm护，25 ；法二：()0, = 75, R =万;法三：作出 MD的外接圆直径（兀则= XC£ = 4, AYA =1 ,cos ZAEC = -2 V7-42V7(5) 在四IStS Ai( /)中，Z7#m = 12O ZBJX' = 15O Af) =

23、 /t/) = 2, Ci) = 7?,bl角A-Hf）-C的平面角的大小为12（r,则此四面体的外接球的体积为1=1解：如图.过两小圆圆心件相应小圆所在平面的垂线确定球心AIS = 2 昭 1 4 = 2 ,弦距 0曲二忑 fiC = 4, r, = Vb ,弦 距 二 23 ,；S: A R- = ()0-=肿 + OM- = 29 ,尺=殛、二="严法二:OO：二OXf -OjA厂=25 ,二疋=OD- = £ + ()()1 =29 , R =何,” _116何用球=- 类型七，两直角三角形拼接奁一起（斜边相同¥也可看作矩形沿对角线折起所得三 樓锥）模型题

24、设；如图人 厶牡咁三厶（爭=9求三棱锥肋外接球半径（分析：取公共的斜边的中点S 连接,则（M=（）ii=（?c=>r=-A/, ：.o为三棱锥 2P-ABCV接球球心，然后在O尸中求岀半径h当看作矩形沿对角线折起所得 三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不星平角球半径都为定值.例7（1）在拒形ABCI）中，AB = 4, /#C = 3,沿0?将矩形AifCD折成一个直二面角R-AC-/）,则四面体A/iCn的外接球的体积为（.125口 125广 125_ 125A”TTB.打C.农D,TT12963解：)2R = AC = 5 . R = -, 叔=4空=空,选C23386衽矩形初门

25、中，曲二2, JSr = 3,沿血将矩形曲0折貧连接.4C,所得三棱锥A-ficn的外接球的面积为解；用）的中点是球心（人2R二RDm 吊、£ = 4；7/?'=J3;r.类型八，锥体的内切球何S1.题设：如图三棱正三棱锥，求其内切球的半径.第一步:先现出内切球的截面图，比H分别是两个三角形的外心;第二炽求/)H=-Bn , g = PH-r、 PD是侧面肋的高i第三步:由AK出相1以干建立等式： ro77)解出/2.题设：如图 Z 四棱锥椒' 是正四棱锥、求其內切球的半径C第一步：先现出内切球的截面图,f(H三点共线;第二步；求FH =-刖，= /W-r. PA是侧

26、面AT“的 2咼；第三步：由A/VX；相似于M'FH、建立等式！ 竺-竽 H卜 Ph解出*題设：三按锥尸-A賦是任意三按锥，求基的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一涉：先画出四个表面的面积和整个锥体体积;步：设内切球的半径为尸，建立等式：F-AJtC O-.1BC +OTrUJ + O-PAC 十n卩 F-一皿 亍'丄価"4亍'pM "尸 + 亍尸"亍"pJfL F = T("也换 + 'hPAS + “FA 匸 4 'aBc'* FAJK 十打 FA& + fJt + 吸例长为B的正四面体的内切球表面积是解：设正四面体内切球的半径为r将正四面体放入棱长为令的正方体中（即补形为正方体h如图，则Jr弓际讣磊二命,又T r=4丄=4丄.返/丁=/尸,F 3343竿保"丘，"切球的表面积为片=4时'=兰-（注：还有别的方法¥此賂）6（却正四的底面边长为2,侧橈长为3,则其内切球的半径为.771 + 22解：如图，正四棱推的高"万，正四棱锥的体积为侧面斜高/?严275 ,正四棱锥A - M的表面积为片= 4