坐标系教学的思考和实践

1、利用坐标系帮助学生高中物理（宁夏银川高级中学 田雯 750004）坐标系是用来描述物体运动的重要数学工具，借助于坐标系人们可以准确地确定运动物 体的位置和运动的位移。伽利略引入直角坐标系成了牛顿绝对时空观的数学基础，牛顿物理 学运用的是欧几里德空间，狭义相对论中时空的描述关键在于闵可夫斯基四维空间的运用, 广义相对论成功地运用了黎曼几何。可见，坐标系是物理学研究的基础和关键。现阶段高中物理教材（人教版）中关于坐标系的教学内容零星地散布在教材的不同角落: 必修1模块的第一章中，为确定研究对象的位置而引入一维坐标系；必修 2模块中，研究平抛运动确定研究对象的位置和确定两个方向的运动规律运用二维坐标

2、系；选修模块35中, 动量定理和动量守恒定律的应用，运用一维坐标系。我们在教学中和学生学习物理的过程中，坐标系都是非用不可了才用。三年的高中物理 教学和学习，教师和学生对坐标系的概念模糊、应用意识不强。另外一个原因是高中阶段主 要研究的是直线运动，大部分问题中的矢量方向用同向、反向就可以说明了，所以坐标系就 被老师和同学们不重视甚至忽略了。这样时间一长，就会对一些物理问题的理解存在困难和 困惑。比如：有的同学和老师在应用匀变速直线运动规律解题时，认为加速度为正，物体就-VO"如2、- =*7、做加速运动；加速度为负，物体就做减速运动。在往复的直线运动中，应用Vt=Vo+at、=v等物

3、理规律解题时，各物理量的正、负很难确定，很困惑。甚至有些情况就认为这些规律在往复运动的问题中不能应用。在理解匀速圆周运动的 向心加速度和向心力时，存在向心加速度和向心力的方向始终指向圆心，所以向心加速度和 向心力恒定的错误理解。高中阶段的坐标系教学，从以下几个方面进行，可以帮助学生学会描述运动、建立运动图 景、解决实际问题、突破学习难点、学习大学物理。经过实践检验，取得良好效果。、用坐标系帮助学生学会描述运动位移、速度、加速度 等的矢量性是高中阶段学生认识的一个难点。怎样使学生认识物理 量中除了用大小表示外，方向也是一个重要的要素。这使得认识的难度加大；以前我们的教 法是先告诉他们，位移等物理

4、量是矢量，除了大小，还要有方向，要两项同时说明才能准确 明白它们表达的意义，但是发现效果不好，而且极易形成有方向的物理量都是矢量的错误结 论和判断。本次教学中，从“位置”的教学开始，让学生开始认识到有些情况除了说明大小，还要说明 方向。在建立坐标系后，就可以明确物体所处的位置如图 1所示:-6-4-2024 Bx/.教师示范：说明物体在 A位置：XA=2m，然后让学生说明物体在 B位置：XB=6m。在此基础上提出问题：说明物体在 C位置：Xc =? 2m 。此时同学的认识中出现了分歧，“负号”到底要不要？要了表示什么？学生争论激烈，难分上下。此时我们反过来来问：如果写出 x=2m，请问物体是处

5、在A点还是C点，此时同学们都说是A。追问，为什么不是C?经过这样的讨论和引导，学生恍然大悟：噢！原来负号是必要的，它能表示物体所处的方位是在原点的左侧，这样为下面学习位移带来一定的基础和前提。在明确了负号可以确切地描述物体的位置后，教师示范求出物体由A到B的位移,Xab =Xb -Xa =6-2 =4m ;学生在教师的示范下，学生模仿求出物体由B到A的位移,Xba = Xa -Xb = 2 -6 = -4m ；在这里又遇到了“负号”学生此时表现得很谨慎，通过讨论“负号”,要！而且认识到：只有负号才表示物体的位移方向和坐标轴正方向相反。学生再求出C到A、A到D、C到D等的位移:物体由C到A的位移

6、，XcA = Xa -Xc = 2 一（一2） = 4m ;物体由A到D的位移,Xad =Xd Xa = / -2 = -6m ;物体由 C 到 D 的位移，Xcd = Xd -Xc =-4一（2） = 2m。学生理解了位移的矢量性，再配合位移的表示方法：有向线段。学生更加识别到位移这 个物理量的方向性。此时基础已经打下，之后的矢量教学会轻松一些。x速度的教学中：教师引出速度的定义 v=f后，学生从位移的学习中获得的经验，应用速度的定义式求出 A到C、D到A物体运动的速度Xac = -4m，v=-2m/s ； Xda =6m，v=2m/s。学生认识到速度也是具有矢量性的。在加速度的学习中，学生

7、会找出运动中速度、加速度的方向和 物体运动的关系，并能找出速度变化量方向和加速度方向的关系。在这次学习中，学生对变速运动中加速度这个重要的物理量形成正 确的认识。如图2所示的“速度一一时间”图像。根据图像按时间段填下面的表格一。表格一:时间运动状态速度方向速度变化量加速度02s匀减速负向3 =vt -vo =0 -（一4） =4m/s = = 2m/s2At 224s匀加速正向3 =vt -vo =4 - 0 =4m/sa- 2m/sAt 246s匀减速正向3 = vt -vo =0-4 = -4m/sv 42a 一- -2m/ sAt 268s匀加速负向加=w -v0 = 4- 0 = -4

8、m/s也 v 42a- -2m/sAt 2学生在速度、加速度等物理量中的计算，完成了表格中给出的内容。由于表格的对比清晰,可以帮助学生在完成计算后清楚地看到其中的规律。 在对比后明确了加和a的计算方法,并确定Av和a方向相同，通过引导和讨论确定了a、v同向时，物体做加速运动，a、v反向时，物体做减速的运动规律。通过以上的教学，应用坐标系帮助学生学会了描述物体运动的三个矢量：位移、速度、 加速度。并能在坐标系中恰当地表示这三个量。二、用坐标系帮助学生建立运动图景高中生学习物理普遍存在：一听就懂，自己做却感到无从下手；不会审题。经过多年的 观察和研究，我们发现学生存在以上问题的原因主要是：从文字表

9、述向物理模型的转化存在 困难，而这个转化困难形成的原因在于学生不会用示意图来表示物体的运动过程。这实际上 就表现出学生对坐标系这个重要的工具不会使用或意识淡漠。审题过程光用脑子在思，没有 形成正确的物理图景。在高一年级就利用坐标系培养学生从文字到运动图景，从运动图景到 图像，直到可以画出完整运动图像，形成正确的运动图景。(1)从文字到运动图第一步：根据文字描述的运动画出简单示意图： 公共汽车的运行非常规律，先由静止开始加速启动，当速度达到一定值时再做匀速运动，进站前开始制动做减速运动，在到达车站时刚好停下。公共汽 车在每个站台停车时间均相同。请根据上述描述，画出公共汽车运行过程中的运动示意图。

10、Ud口 a 口(4)根据图3中公共汽车运动过程中位置变化判断。第一幅画面中，公共汽车没有运动，或者说处于静止状态；第二幅图中，公共汽车在加速运动；第三幅图中，公共汽车在匀速运动；第 四幅图中，公共汽车在减速运动。可以看出，上面的示意图描述公共汽车的运动过程是不完整的，存在缺陷(运动方向靠汽车的大小和形状来表示，运动的位置和时间不清等)。下面通 过练习逐步完善，引导学生逐渐画出正确的运动图像，形成正确的运动图景。公共汽车从静止开始启第二步：根据文字描述的运动画出含有时间和速度信息的示意图:动，经10s加速，速度达到10m/s，后匀速运动50s，进站之前开始刹车，经10s停下。在车站停车 25s。

11、根据上述公共汽车运动的描述，完善其运动示意图。V=10lTl/s10v=10iti/s>T* 17095t/s60这时的示意图增加了质点、时间、速度及速度的变化，图4中描述了公共汽车运动的时间和各段时间内运动状态。前10秒就，速度越来越大，中间50秒速度不变,停止前10秒速度减小，最后25秒静止。第三步：根据文字描述的运动画出含有运动时间、空间和速度的示意图:公共汽车从静止开始启动，经10s运动100m,速度达到10m/s，后匀速运动50s，此后开始刹车，经 在车站停车25s。根据上述公共汽车运动的描述，完善运动示意图。10s运动100m停下。甘10 2v=10m/s*100&0

12、0700这时就形成了完整的运动图景，在图5中有运动的时间、空间和运动状态。经过上面的 引导、训练，学生就能从文字描述的运动，转化成运动图景。其中适时、恰当地建立坐标系 是帮助学生建立运动图景的关键。(2)从坐标系到图像根据上面描述的公共汽车的信息，将其运动的速度和时间信息转化成如下的二维表格。公共车运动的位移 速度 时间信息0123456789t051020304050606570v0510101010101050根据上述信息，画出公共汽车运动的速度时间图像，如图6所示。图6实践表明，通过以上循序渐进的引导和训练，利用坐标系帮助学生建立了正确的运动图 景，理解了速度一一时间图像描述运动的意义。

13、这样训练后的重要意义还在于帮助学生利用 正确的图景和图像分析物理过程，解决实际问题。三、用坐标系帮助学生解决实际问题高中物理习题中，往复运动中经常是学生学习感觉困难的问题。 对于这类问题, 我们一般的处理都是分段计算，学生也容易理解。可是我们发现，结果是给学生 的学习留下了隐患。好多学生认为竖直上抛运动不是匀变速直线运动，因为匀变 速直线运动规律没法应用。到更深层次的学习带来很大困难（比如在“用坐标系帮 助学生延伸学习物理”中提到的问题）。其实只要正确地使用坐标系，问题可以得到解决，而且学生也不会产生以上的学习困难。例如：以30m/s的初速度竖直上抛一个小球，忽略空气阻力。（g=10m/s2）

14、求:(1)4S末的速度；（2）运动7S过程中位移。解：以出发点为坐标原点，初速度方向为正方向，建立如图7所示的坐标系。由Vt =Vo+at得：（矢量的方向都以建立的坐标系为参考，在上面已经学会）V4 =30 +(10)X4 =TO(m/s)（计算结果表明：其中的符号表示 4S末的速度和参考系方向相反，计算结果正确。） 由 x=v0t+2at2 得X =30咒7 +-x(-10)x72 =35(m)( 2)2（计算结果表明：-35m表示7s内从运动起点到终点的有向线段方向和参考系方向相反。） 由 2 ax ：= Vt Vo 得:又因为 7s 末的速度为 Vt =V0 +at =30+(-10)x

15、7 = /0(m/s)2 22yi0)x=()一30x= 35mV0+Vt 30心0) 一5(m/s)（计算结果表明：2ax =Vt2 -V；这个运动规律也是适用的。）同样的，计算从出发到7s末的过程中小球运动的平均速度, 利用 V =f =于=5(m/s)。可以看到，匀变速直线运动规律在竖直上抛这样的往复运动中，应用得非常好，计算结 果非常准确。利用坐标系对矢量方向进行规范，帮助学生解决实际问题。通过练习增加学生 应用坐标系解决实际问题的能力和意识，减少后期学习的困难。四、用坐标系帮助学生突破学习难点我们在教学实践中发现，学生在学习匀速圆周运动的内容时，对向心加速度和向心力的 方向理解存在困

16、难。学生认为：向心加速度和向心力的方向始终指向圆心，所以向心加速度 和向心力恒定（即大小不变，方向不变）。接下来就是更加错误的认识：匀速圆周运动是匀变 速运动。我们认为利用坐标系可以帮助学生消除上面的错误认识，突破学习的难点。教学中，我们从匀速圆周运动是变速运动开始，引导学生利用坐标系认识匀速圆周运动的速度是变化的。例如，质点沿圆周逆时针转动，经过A、B、C、D四点，速度分别如图8所示。经过A点时的t速度方向沿x轴正向，经过B点时的速度方向沿y轴的正向，经过C点时的速度方向沿x轴负向，经过D点时的速度方向沿y轴的负向。前边的学习学生已经 知道速度是矢量，速度方向发生了变化，因此匀速圆周运动是变

17、速运动。这样就为匀速圆周运动向心力方向和向心加速度的学习奠定 了基础。我们从匀速圆周运动向心加速度的推导过程，结合上述 内容理解向心加速度的方向。由图9得:0v =2vs in-2a . e A2vs i n-Av2a =At聖当心tT 0eT 0,2即 a-VR当0T 0,也V指向圆心，称为向心加 速度v由于速度变化量是由于速度方向变化引起的，所以向心加速度表示的是速度方向变化快 慢的物理量。由图8中我们可以看到经过A点时的加速度方向沿y轴正向，经过B点时的加 速度方向沿x轴负向，经过C点时的加速度方向沿y轴负向，经过D点时的加速度方向沿x 轴的正向。通过以上在坐标系中对速度、加速度的分析和

18、引导，学生理解的了匀速圆周运动是变速 运动，是变加速运动。四、用坐标系帮助学生延伸学习物理（第六版）F面展示大学物理教材中一个例题（选自程守洙、江之永主编普通物理学 上册）：设电梯中有一质量可以忽略的滑轮，在滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为 m和m的重物 A和B,已知m> m2。当电梯（1）匀速上升，（2）匀加速上升时，求绳中的张力和物体 A相 对于电梯的加速度a。SrJ解（1）取地面为参考系，如图（a）所示。把A和B隔离开来，分别画出它们的受力示 意图如图（b）。可以看出，每个质点都受到两个力的作用：绳子的向上拉力和质点的重力。 当电梯匀速上升时，物体相对于电梯的加速度等于它们相对于地面的加速度。选取oy轴的由牛顿第二定律得:Ft -mig =Fiar(1)Ft m2g =m2ar由上列两式消去Ft,（2）解得：-m2gar=m1+m2把ar代入式(1),得2mim2Ft m, +m-g2（4）（2）当电梯以加速度a上升时,a2=ar+a,A相对于地面的加速度为ai=ar-a , B相对于地面的加速度为因此Ft mig=卡佝=m1(a -ar)(5)正方向向上，贝U B以ar向上运动，而A以ar向下运动。因绳子的质量可忽略，所以轮子两侧 绳的向上拉力相等。= m2a2 =m2(a +ar)由此解得(7)ar =m1 m2