双曲线中焦点三角形的探索

1、双曲线中焦点三角形的探索2a。基本条件：1:该三角形一边长为焦距 2c，另两边的差的约对值为定值2|PFi M PF2I2：该三角形中由余弦定理得 cosNR PF2 = 1 PF1 F2 1二1 RF2 1结合定义，有2 2 2 2| PF1 |2 +| PF2 |2 = (| PF1 | | PF2 |) +2 | PF1 | q PF2 | = 4a2 +2 IPF1 | PF2 |性质一、设若双曲线方程为22X _1P _ 72 -1.a b ( a 0, b 0),222在 F1PF2中，由余弦定理得：r1和2 -2r1r2COs日=(2c).22配方得：(1 -2)+ 2订2 -2

2、r1r2cos9 =4c .即 4a2 +2口2(1 -cos日)=4c2.2(c2 -a2)2b2二 r1r2 =1 cos 日 1 cos0由任意三角形的面积公式得:S庄PF =1r1r2si=b2乐PJ2 1 21 - cose992 sin -cos-2 =b2 2日2si n2 -2ecot-2特别地，当日=90时,0cot 2 = 1,所以SF1PF2 = b2y2同理可证，在双曲线a2 x22 1b2( a 0, b 0)中，公式仍然成立.例4 若P是双曲线2 2x Z=13664 -上的一点，F1、F2是其焦点，且NRPF2 =60。，求RPF2的面积.x2解法一：在双曲线64

3、2_y_36=1中,a =8山=62 =10,而 0 = 60 记 1 PR h r1，1 PF2 h r2.寫点P在双曲线上,/.由双曲线定义得:ri -2=2a = 16.在 FjPF2中，由余弦定理得:222r1 +2 -2r1r2 co = (2c).配方，得：（口 72）2 + 吋2 =400400 r1r2 = 256.从而 r1r2 =144.1113s店1p十尹*日=2沢144沢于二363.2 2e =60红=12解法二：在双曲线6436 中，b =36tan|=36cot3 = 3/3考题欣赏（2010全国卷理）（9）已知Fi、F2为双曲线C:X2-y2=1的左、右焦点，点

4、P在C上,/ F1PF2 = 6O073则P到X轴的距离为（A）2(B)r(C) 灵(D)462【答案】B（2010全国卷1文）（8）已知F1、F2为双曲线C: x2y2 =1的左、右焦点，点 P在C上,= cos600PF1ITP F2 沪2 PFP FTF1F22IPF1IIPF2I21=-222 +2| Ph PF2 -(272$2IPF1IIPF2I/ F, P F2 = 6O0，则 |P F1 L| PF2 戶(A)2(B)4(C) 6(D) 82|P F1II PF2I【答案】B【解析1】.由余弦定理得cos/ RP卩2 = 円 1 +|PF21 TRF| PFi U PF2 |=

5、4【解析2】由焦点三角形面积公式得:29260S 恒 PF? =b cot 3=1 cot近iPF20 11-=4z=- PF, PF2 sin6O0 = PF, PF?2 22| PFi U PF2 1 = 4性质一推论：在双曲线=1匚 匚(a 0, b 0)中，左右焦点分别为卜，、卜2，当点P是双曲线左支上任意一点，若/PF1F2,，则=b2csin 日a + ccos8 .特别地，当0 S_b2cNPF1F2 =90时，有 鉀2a。当点P是双曲线右支上任意一点，若NPF1F(日S 岛 PF2双曲线渐近线的倾斜角)，则b2cs in 9ccosT - a证明：i、当P为左支上一点时，记I

6、PFi 1= ril PF2 1= r2( ri 2 ),由双曲线的定义得_ b2 r1 -求得r, 一2 =2a,r2-2a2 2 2 在 FiPF2 中，由余弦定理得：ri +4c FiCCOsT = Q .2 2 2 代入得 r1 +4c -4r1cco =( -2a).求得ri_b2CCOS日-a。S 店1PF21c1=一 ri Fi F2 sin 0 =2b2Cb2csi n 日fcsin 9 = ccosQ -ac cos日一 a得证例5(1)若P是双曲线求 FjPF2的面积.(2)若P是双曲线 F1PF2的面积.x2642厶=136左支上的一点,右支上的一点，Fi、=1(1)解法

7、一：在双曲线6436 中，|PFi |=ri,| PF2|=r2.点P在双曲线上,二由双曲线定义得：r2 -几=2a =16.2 =16 + riFi、F2是其焦点，且N卩吋2=60F2是其焦点，且NPF1F2 =6。，求a=8,b=6，c = i0，而 9 = 60.记2 2 2 在厶F1PF2中，由余弦定理得：ri +4c FiCCOS日=r2 .2 2ri +400 -40ri cos60 = (16 +ri)2.解得:ri3613s 缶PF2rilFi Fsin20 =丄咒213_180 .T解法二:S 止iPF2在双曲线64236 中,a8,匕二6, c=10, b2=36，而日=6

8、0b2cs in 日_36咒108n60 _180 血13a+ccos 日 8+i0cos60x解法一：在双曲线4T 中，而 9 =60.记(2 )|PFi |=ri,| PF2|=r2.T点p在双曲线上, 二由双曲线定义得：ri -r2 =2a =2.r2 = ri -22=r2 .22在 FFF2中，由余弦定理得：ri + 4c -Agccos日 r12 + 20-475 COS60O = 5 -2)2.解得：ri=8（+2）S 应1PF21=ri F1 F2 sin 0 =21x8/5 +2)x2j5x2l2 2=20 晶 +815解法二:2 x在双曲线64236 中，3=8, bn6,

9、 c=10, b2=36，而日=60*.S 店1PF2b2cs in9_4xj5xsi n60ccosQ-a75cos60-1;I 20j3+8i5性质二、双曲线的焦点三角形PF1F2 中,NP FF2 =a,N PF2F1 =P,当点P在双曲线右支上时,atan 2cod2e-1e+1；e1e+i当点P在双曲线左支上时,有IFF2Ia + P)acot 一 tan -2IF2P |-|FiP|_由等比定理，上式转化为siz sin P sin（2a2c: r sin a -sin P sin(a + P)a +P sin(a+P)2si n28Sa+PsinsinPcos22.a - Psin2.a+Psin2_.a