几种特殊类型行列式及其计算

1、1行列式的定义及性质1.1定义n级行列式a113,2La21a22LMMan1an2La1na2nMann等于所有取自不同行不同列的个n元素的乘积a1 j, a2 j2 Lanjn(1)的代数和,这里 jljzL jn 是1,2,L , n的一个排列，每一项（1）都按下列规则带有符号：当j&L jn是偶排列时,（1）带正号，当jlj2L jn是奇排列时,（1）带有负号这一定义可写成这里jjL jn表示对所有n级排列求和.311312L31na21a22La2nMMMan1an2Lann,mL jn,1a1j1 a2j2 LanjnML jn1.2 性质性质1.2.1行列互换,行列式的值

2、不变.性质1.2.2某行例）的公因子可以提到行列式的符号外.性质1.2.3如果某行例）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两行列 式的和;这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行例）与原行列式相同.性质1.2.4两行（列）对应元素相同，行列式的值为零.性质1.2.5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零.性质1.2.6某行例）的倍数加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变.性质1.2.7交换两行（列）的位置,行列式的值变号.2行列式的分类及其计算方法2.1箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第1行（列）或第n行（列）及主（次）对角线上元素外的其他

3、元素均 为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上（下）三角形行列式来计算.即利用对 角元素或次对角元素将一条边消为零.例1 计算n阶行列式Dn解将第一列减去第二列的Dna111L1a20L0i 倍,aii 2a3L0LLLLL第三列的a200L0a1100Lan倍La3ana20L0i 2 ai1第n列的丄倍，得ana3L0LLLLan2.2两三角型行列式这类行列式的特征是对角线上方的元素都是 C,对角线下方的元素都是b的行列式，初看,这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当b c时可以化为上面列举的爪形来计算，当c时则用拆行（列）法9来计算.

4、例2计算行列式Dna1bbLbDna1bbLbba2bLba2 b Lba3Lba3LbLLLLLLLLLLanbbbLan将第2行到第行n都减去第1行，则Dn化为以上所述的爪形，即Dnqb a1b a1Lbaiba2 b0L0b0a3 bL0LLLLLb00Lan用上述特征1的方法，则有aiDna1ib a1b a1Lbaiai2 aiaia20L0a3L0LLLL00Lan bb aiL an b .当b c时，用拆行（列）法9，则DnX1bbLb化简得Dn而若一开始将Xn拆为aDn由 1Xn b2XnxibX1bLb0XnX2bLbX3LbLLLLLXnbbLbX2bLbXiXiX3Lb

5、X2Lb a0a x2，则得b X2DnX1bbLX2 b L bX3LbLLLLLX2bLX3LLLLLaL'Xn b000LXnbLLLLLXnXnXnDn 1 .XnDnXn 1XnDnnXjj 1有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列式进行计算.例3计算行列式DnLLLLLX解 将第一行a，第一列a，得bDnbeaa2dbeaLLLL即化为上21情形，计算得Dnadn 2be X a而对于一些每行（列）上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公 共因子的，则用升阶法8来简化.例4计算行列式Dn1X12X2NLX1X21X22

6、LXnXiXnX2LLLLXnL12Xn解将行列式升阶，得Dn100L0X1X2X1LX2X1X21 X22LXnX1XnX2LLLLLXnX1XnX2XnL2Xn将第i行减去第一行的Xi i2,L ,n倍，得DnX1X2LXn10L0X201L0LLLLLXn00L1这就化为了爪形，按上述特征1的方法计算可得XiXiX2XnDni 100Ln2X .i 12.3两条线型行列式这类行列式的特征是除了主（次）对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个 顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元 素全为0的，自然也直接展开降阶计算例5计算行列式Dna1L

7、LL bna2LLLL b>LLLdn 1LLLLbn 1andi a? LbL bn.解按第一行展开可得a2b2LLLbLLLLLa3baLLa2b2LLLLLLLLa 11 nLLLLLLLLan 1bn 1LLan 1bn 1LLLLLanLLLan 1bn 11dnDna1n 1例6计算行列式anb.an 1D2nad1Cn 1dnCndn解方法1直接展开可得D2nanan 1a1C1bl d1NObn1 0bn1 2n10an 1Obl d1NObn 1ONNa1Clcn 1dn 1Cn 1d n 10dnCn0andnan 1NObn 1bA2n 111an 1Od1NObn

8、 1Ob4Na1GNa1C1Cn 1dn 1Cn 1dn 1andnbnCnD2 n 1D2nandnbnCnD2 n 1and nbnCnan 1dnbn 1Cn 1D2aidibi Ci.i 1方法2 （拉普拉斯定理法3）按第一行和第2n行展开得anCnbndn1 2n 1 2n1a1bld1CnandnbnCnD2 n 1 .bn 1NOdn 1其余的同法1.2.4 Hesse nberg 型行列式这类行列式的特征是除主（次）对角线及与其相邻的斜线，再加上第1或第n行外，其他元 素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行 （列）元素化简到只有一个非零元素,以便于这一行或列的展开降

9、阶计算例7计算行列式Dn110LL0212LL0302LL0LLLL Ln 100L2n00L01解将各列加到第一列得Dnn200LL012LL002LL000L200L01 n按第一列展开得Dn12LL00L200L01 n2.5三对角型行列式DnaDn 1bcDn 2形如Dn的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其他元素均为零，这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展 开，将所得的n 1阶行列式再展开即得递推公式.对这类行列式用递推法例8计算行列式Dn解按第一列展开有解特征方程x2 ax bc 0得Xia Ja2 4bc2,X2Ja2 4bc2DnnX

10、1n 1X2,X1X2.例9计算行列式Dn解按第一行展开得Dn9Dn 1200.解特征方程得Xi4,X25.Dn肿1a4.n 1b5分别使n 1,2得a 16,b 25,则Dn5n14n12.6各行（列）元素和相等的行列式这类行列式的特征是其所有行（列）对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行 （列）加到第一行（列）或第n行（列），提取公因式后，再把每一行都减去第一行（列），即可使行列式 中出现大量的零元素.例10计算行列式Dn1 a1a2La11 a2LananLLLLan11解将第2行到第n行都加到第1行,Dna1 L a2 Lana1 L1 a2LanananLLLLa1 Lana2

11、L1 anaiana2Lana1an10L0a1an2.7相邻两行（列）对应元素相差1的行列式11 a2Lan11L0LLLLLLLL10L1这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行a2L1an（列）元素相差1的行列式，对这类行列式，自第一行（列）开始，前行例）减去后行（列），或自第行n （列）开始，后行例）减去前行（列），即可出现大量元素为1或1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素若相邻两行 例）元素相差倍数k，则前（后）行例）减去后（前）行例）的k倍,可使行列式出 现大量的零元素.例11计算行列式Dn012Mn 2n 1101Mn 3n 2210Mn 43234 M 01123M10解依次用前行减去后行，可得Dn111M1n 1111M1n 2111M1n 3111M1111110现将第1列加到第2列至第n列，得Dn例11计算阶n行列式Dn002M2000M22n2n2n 4000M011an 1an 2Ma2a1an 1Ma32aa2a1Ma43a解 这是相邻两行（列）相差倍数a ,Dn1 an002.8范德蒙德型行列式这类行列式的特征是有逐行蒙德行列式来计算.例12计算行列式anananM1n 1aan 1an 2an 3M可采用前行减去后行的01 an0001 ana倍的方法化简得M