高三数学第一轮总复习 8.4轨迹和轨迹方程（2）

1、1第 八 章第 八 章圆 锥 曲 线 方 程圆 锥 曲 线 方 程28.4 轨迹和轨迹方程轨迹和轨迹方程 第二课时第二课时题型题型3 代入法求轨迹方程代入法求轨迹方程 1. 设双曲线设双曲线 的右焦点为的右焦点为F，右准线，右准线为为l，P为双曲线上任意一点为双曲线上任意一点.以点以点P为圆心作圆为圆心作圆使之与直线使之与直线l相切，交线段相切，交线段PF于于Q点，求点点，求点Q的的轨迹方程轨迹方程.22-13yx3 解：解：设圆设圆P与准线与准线l相相切于切于M点点,则则 因为因为|PM|=|PQ|,所以所以|PF|=2|PQ|,即即Q为线段为线段PF的中点的中点. 设点设点Q(x，y),P

2、(x0，y0). 又点又点F(2,0),所以所以 解得解得 又因为点又因为点P在双曲线上，所以在双曲线上，所以|2.|PFePM 0022,2xxyy002 -2.2xxyy2200-1.3yx4 于是于是 故点故点Q的轨迹方程是的轨迹方程是 点评：点评：此题中动点此题中动点Q(x，y)是随着动点是随着动点P(x0，y0)的运动而运动的，而点的运动而运动的，而点P在已知曲线上，因在已知曲线上，因此只要将此只要将x0、y0用用x、y表示后代入曲线方程中，表示后代入曲线方程中，即可得点即可得点Q的轨迹方程的轨迹方程.这种求轨迹的方法称为这种求轨迹的方法称为代入法代入法(又称相关点法又称相关点法).

3、224(2 -2) -1.3xy 2244( -1) -1.3xy 5 求经过定点求经过定点A(1，2)，以，以x轴为准轴为准线，离心率为线，离心率为 的椭圆下方的顶点的轨迹方程的椭圆下方的顶点的轨迹方程. 解：解：设椭圆下方的焦点为设椭圆下方的焦点为F(x0，y0)， 由定义知由定义知 所以所以|AF|=1， 故点故点F的轨迹方程为的轨迹方程为(x0-1)2+(y0-2)2=1. 又设椭圆下方顶点为又设椭圆下方顶点为P(x,y),则则x0=x,y0= y, 所以点所以点P的轨迹方程是的轨迹方程是(x-1)2+( y-2)2=1.12|1,22AF32326 2. 如右图如右图,P是抛物线是抛

4、物线C： 上一点，直线上一点，直线l过点过点P 且与抛物线且与抛物线C交于另一点交于另一点Q. 若直线若直线l与过点与过点P的切线垂直，的切线垂直， 求线段求线段PQ的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程. 解：解：设设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x0,y0)， 依题意知依题意知x10，y10，y20. 由由 由得由得y=x, 题型题型4 参数法求轨迹方程参数法求轨迹方程212yx212yx7 所以过点所以过点P的切线的斜率的切线的斜率k切切=x1. 所以直线所以直线l的斜率的斜率 所以直线所以直线l的方程为的方程为 方法方法1：联立消去：联立消去y，得，得 因为因为M为为PQ的中点，

5、的中点， 所以所以111-lkkx切211111-( -).2yxx xx12212-2 0.xx xx12012010111-2,11-(-)2xxxxyxxxx8 消去消去x1，得，得 所以所以PQ的中点的中点M的轨迹方程为的轨迹方程为 方法方法2：由：由 得得 则则 所以所以 将上式代入式并整理，得将上式代入式并整理，得 所以所以PQ的中点的中点M的轨迹方程为的轨迹方程为20002011(0)2yxxx，2211(0).2y xxx21211202211222xxyxyxx，2212121212012111-()(-)(-)222yyxxxxxxx xx120121-1-lyyxkxxx

6、，101-.xx20002011(0)2yxxx，2211(0).2y xxx9 点评：点评：本题主要考查了直线、抛物线的基本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法础知识，以及求轨迹方程的常用方法.本题求解本题求解的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题数学知识分析问题、解决问题.本题先设本题先设P，Q两点的坐标为参数，然后利用抛物线方程、切两点的坐标为参数，然后利用抛物线方程、切线方程等得出横坐标的关系及中点线方程等得出横坐标的关系及中点M的坐标，的坐标，再把所求点再把所求点M的坐标的坐标(x0，y0)转

7、化为所设参数转化为所设参数x1的式子，然后通过消去所设参数，就得到的式子，然后通过消去所设参数，就得到x0,y0的方程，这就是参数法求轨迹方程的方程，这就是参数法求轨迹方程.应用参数法应用参数法的关键是找到各参数之间的关系及如何代入或的关键是找到各参数之间的关系及如何代入或整体消参整体消参. 10 已知双曲线已知双曲线x2-y2=2的左、右的左、右焦点分别为焦点分别为F1、F2，过点，过点F2的动直线与双曲线的动直线与双曲线相交于相交于A、B两点两点.若动点若动点M满足满足 (其中其中O为坐标原点为坐标原点)，求点，求点M的轨迹方程的轨迹方程. 解：解：由条件知由条件知F1(-2，0)，F2(

8、2，0). 设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)， 则则 由由 得得 即即1111FM FA FB FO 11111221(2, ),(2,),(2,),(2,0).FMxy FAxyFBxyFO1111,FM FA FB FO 121226,xxxyyy1212-4.xxxyyy11于是线段于是线段AB的中点坐标为的中点坐标为当线段当线段AB不与不与x轴垂直时，轴垂直时，即即又因为又因为A、B两点在双曲线上，两点在双曲线上，所以所以x12-y12=2，x22-y22=2，两式相减得两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)，即即(x1-x2)(x-4

9、)=(y1-y2)y.1212-2,-4-8-22yyyyxxxx-4(, ).22xy1212-(-).-8yyyxxx12 将将 代入上式，代入上式， 化简得化简得(x-6)2-y2=4. 当直线当直线AB与与x轴垂直时，轴垂直时，x1=x2=2，求得，求得M(8，0)，也满足上述方程，也满足上述方程. 所以点所以点M的轨迹方程是的轨迹方程是(x-6)2-y2=4.1212-( -)-8yyyx xx13 设椭圆方程为设椭圆方程为 过点过点M(0，1)的直线的直线l交椭圆于点交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点是坐标原点，点P满足满足 点点N的坐标为的坐标为 当当l绕点绕点M旋转时旋转时,求

10、求 的最小值与最大值的最小值与最大值. 解法解法1：直线直线l过点过点M(0,1),设其斜率为设其斜率为k， 则则l的方程为的方程为y=kx+1. 记记A(x1，y1)，B(x2，y2). 题型题型 轨迹思想的应用轨迹思想的应用221,4yx 1(),2OPOA OB 11(,).22|NP 14 由题设可得点由题设可得点A、B的坐标的坐标(x1，y1)、(x2，y2) 是方程组是方程组 的解的解,将代入并化简将代入并化简, 得得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以，所以 于是于是 设点设点P的坐标为的坐标为(x，y)，则，则 消去参数消去参数k得得4x2+y2-y=0.22114ykxyx

11、1221222-4.84kxxkyyk1212221-4()(,)(,).22244xxyykOPOA OBkk 22-4,44kxkyk15 当当k不存在时，线段不存在时，线段AB的中点为坐标原点的中点为坐标原点(0，0)，也满足方程，也满足方程， 所以点所以点P的轨迹方程为的轨迹方程为4x2+y2-y=0. 所以所以 又又 即即 所以所以 所以当所以当 时，时， 当当x= 时，时，|NP|min= .222222222111|( -)( -)-2221117-4-3-3().22612NPxyxxyyxxxxxx 2221114-( - ),244xyyy21,16x 1 1-, .4 4

12、x1-6x m ax721|;126NP141416 解法解法2：设点设点P的坐标为的坐标为(x，y).因为因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，在椭圆上， 所以所以 由由-得得 所以所以 当当x1x2时时,有有 22111,4yx22221.4yx 222212121-(-)0,4xxyy121212121(-)()(-)()0.4xxxxyyyy12121212-1()0,4-y yxxyyx x17 并且并且 将代入并整理得将代入并整理得4x2+y2-y=0. 当当x1=x2时，点时，点A、B的坐标分别为的坐标分别为(0，2)和和(0，-2)，此时点，此时点P(0，0)也满足也

13、满足. 所以点所以点P的轨迹方程是的轨迹方程是4x2+y2-y=0. 以下同解法以下同解法1.121212122.2- 1-xxxyyyyyyxxx18 1. 求轨迹方程是解析几何的基本内容，必求轨迹方程是解析几何的基本内容，必须理解各种方法在什么情况下使用须理解各种方法在什么情况下使用.常用方法：常用方法：定义法、直接法、代入法、参数法定义法、直接法、代入法、参数法.在解题时考在解题时考虑顺序使用往往是寻求解题方法的思维程序虑顺序使用往往是寻求解题方法的思维程序. 2. 求轨迹方程与求轨迹是有不同要求的，求轨迹方程与求轨迹是有不同要求的，若是求轨迹则一般先求出方程，然后说明和讨若是求轨迹则一

14、般先求出方程，然后说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚位置、大小都需说明、讨论清楚.19 3. 某些最值问题常常化归为轨迹问题来某些最值问题常常化归为轨迹问题来解决，即先研究动点的轨迹或轨迹方程，再解决，即先研究动点的轨迹或轨迹方程，再在此基础上求相关最值，这就是轨迹思想在此基础上求相关最值，这就是轨迹思想. 4. 利用参数法求动点轨迹也是解决问题利用参数法求动点轨迹也是解决问题的常用方法，应注意如下几点：的常用方法，应注意如下几点： (1)参数的选择要合理，应与动点坐标参数的选择要合理，应与动点坐标x、y有直接关系，且易用参数表达有直接关系，且易用参数表达.可供