高三数学第一轮复习 三角函数的图象 新人教B版

1、名师伴你行名师伴你行名师伴你行三角函数三角函数的图象的图象(1)(1)能画出能画出y=sinx,y=cosx,y=tanxy=sinx,y=cosx,y=tanx的图象的图象. .(2)(2)了解函数了解函数y=Asin(x+)y=Asin(x+)的物理意义的物理意义; ;能能画出函数画出函数y=Asin(x+)y=Asin(x+)的图象的图象, ,了解参数了解参数A,A,对函数图象变化的影响对函数图象变化的影响. .名师伴你行 三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，高考对这部分内容的考查主要是三角函数的图的反映，高考对这部分内容的考查

2、主要是三角函数的图象的变换和解析式的确定以及通过图象的描绘、观察象的变换和解析式的确定以及通过图象的描绘、观察,讨讨论函数的有关性质，题型设计以选择题、解答题的形式论函数的有关性质，题型设计以选择题、解答题的形式出现，属低难度的题出现，属低难度的题. 1. “五点法五点法”作作y=Asin(x+)(A0,0)的简图的简图五点的取法是：设五点的取法是：设X=x+，由，由X取取 来求相应的来求相应的x值，及对应的值，及对应的y值，再描点作图值，再描点作图. 2.变换作图法作变换作图法作y=Asin(x+)（A0,0）的）的图象图象 (1)振幅变换：振幅变换：y=sinxy=Asinx ,2,22

3、23 3, , ,2 20,0,名师伴你行将将y=sinx的图象上各点的纵坐标变为原来的的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍倍(横横坐标不变坐标不变). (2)相位变换：相位变换：y=Asinxy=Asin(x+)将将y=Asinx的图象上所有点向左（的图象上所有点向左（0）或向右）或向右(0)平移平移 个单位个单位. (3)周期变换周期变换:y=Asin(x+)y=Asin(x+)将将y=Asin(x+)图象上各点的横坐标变为原来的图象上各点的横坐标变为原来的 倍倍（纵坐标不变）（纵坐标不变）. (4)由由y=sinx的图象变换到的图象变换到y=Asin(x+)的图象的图象.一般先作一般先作

4、变换，后作变换，后作 变换，即变换，即A | 1相位相位 周期周期 名师伴你行y=sinxy=sin(x+)y=sin(x+)y=Asin(x+).如果先作如果先作 变换，后作变换，后作 变换，则变换，则左右平移时不是左右平移时不是|个单位，而是个单位，而是 个单位个单位 , 即即y=sinxy=sin（x+）是左右平移）是左右平移 个单位长个单位长度度. 3. y=Asin(x+)(A0,0),x0,+)在物理在物理中的应用中的应用 A为为 ，T= 为为 ，f= 为为 ，x+为为 ，为为 . 周期周期 相位相位 振幅振幅 周期周期 频率频率 相相 位位 初初 相相 2 2 2T1 1 名师伴

5、你行 4. 4.图象的对称性图象的对称性 函数函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象具有轴对称和中的图象具有轴对称和中心对称的性质心对称的性质.具体如下：具体如下： （1）函数）函数y=Asin(x+)的图象关于直线的图象关于直线 成轴对称图形成轴对称图形. （2）函数）函数y=Asin(x+)的图象关于点的图象关于点 成中心对称图形成中心对称图形.（其中（其中xj+=k,kZ）x=xk (其中其中xk+= k+ ,kZ)(xj,0) 2 名师伴你行考点考点1 三角函数的图象三角函数的图象名师伴你行2010年高考山东卷年高考山东卷已知函数已知函数f(x)= sin2xsin+cos2xco

6、s- sin( +)(0),其图象过点其图象过点 .(1)求求的值的值;(2)将函数将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变纵坐标不变,得到函数得到函数y=g(x)的图象的图象,求函数求函数g(x)在在 上的最大值和最小值上的最大值和最小值.21212 21,621 4, 0 【分析】【分析】(1)化一角一函后代入点化一角一函后代入点 求求的值的值.（2）利用图象变换求出函数）利用图象变换求出函数g(x)的表达式的表达式. 21,6名师伴你行 【解析】【解析】 (1)f(x)= sin2xsin+ cos- cos= (sin2xsin+

7、cos2xcos)= cos(2x-).又又f(x)过点过点 , = cos( -),cos( -)=1.由由0知知= .2121x2cos 212121 21,621213 3 3 名师伴你行 (2)由由(1)知知f(x)= cos(2x- ). 将将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐纵坐标不变标不变,变为变为g(x)= cos(4x- ).0 x ,- 4x- .当当4x- =0,即即x= 时时,g(x)有最大值有最大值 ;当当4x- = ,即即x= 时，时，g(x)有最小值有最小值- .213 21213 4 3 3 32 3 3 12 21

8、32 4 41 本题考查三角函数的恒等变换、已知三角函数值求本题考查三角函数的恒等变换、已知三角函数值求角、三角函数的伸缩变换及三角函数的性质等知识，考角、三角函数的伸缩变换及三角函数的性质等知识，考查三角恒等变换能力、推理运算能力及利用所学知识综查三角恒等变换能力、推理运算能力及利用所学知识综合分析、解决问题的能力合分析、解决问题的能力.名师伴你行已知已知f(x)=2sin2x+2sinxcosx,xR.(1)求函数求函数f(x)的最的最小正周期和最大值小正周期和最大值;(2）在给出的直角坐标系中，在给出的直角坐标系中，画出函数画出函数y=f(x)在区间在区间- 上的图象上的图象.2,2 名

9、师伴你行 (1) f(x)=2sin2x+2sinxcosx =1-cos2x+sin2x =1+ ( sin2xcos -cos2xsin ) =1+ sin(2x- ). 所以函数所以函数f(x)的最小正周期为的最小正周期为，最大值为最大值为1+ . (2)由（由（1）知）知24 4 24 2xy11-11+22283 8 8 83 85 名师伴你行首先确定首先确定A.若以若以N为五点法作图为五点法作图中的第一个零点中的第一个零点,由于此由于此时曲线是先下降后上升时曲线是先下降后上升(类似于类似于y=-sinx的图象的图象),所以所以A0.而而= ,可由相位来确定可由相位来确定.名师伴你行

10、解法一解法一:以以N为第一个零点为第一个零点,则则A=- ,T=( )=,=2,此时解析式为此时解析式为y=- sin(2x+).点点N(- ,0),- 2+=0,= ,所求解析式为所求解析式为y=- sin(2x+ ). 3365 36 6 3 33 名师伴你行解法二解法二:由图象知由图象知A= ,以以M( ,0)为第一个零点为第一个零点,P( ,0)为第二个零点为第二个零点. +=0 =2 +=, =- .所求解析式为所求解析式为y= sin(2x- ). 365 3 3 65 32 解之得解之得列方程组列方程组332 名师伴你行 (1)与与是一致的是一致的,由由可得可得,事实上事实上y=

11、- sin(2x+ )=- sin(2x+- )= sin(2x- ),同样由同样由也可得也可得. (2)由此题两种解法可见由此题两种解法可见,在由图象求解析式时，在由图象求解析式时，“第一个零点第一个零点”的确定是重要的，应尽量使的确定是重要的，应尽量使A取正值取正值. (3)已知函数图象求函数已知函数图象求函数 y=Asin(x+)(A0,0)的解析式时的解析式时,常用的解题常用的解题方法是待定系数法方法是待定系数法,由图中的最大值或最小值确定由图中的最大值或最小值确定A,由由周期确定周期确定,由适合解析式的点的坐标来确定由适合解析式的点的坐标来确定,但由但由33 32 332 3名师伴你

12、行图象求得的图象求得的y=Asin(x+)(A0,0)的解析式一般不唯的解析式一般不唯一一,只有限定只有限定的取值范围的取值范围,才能得出唯一解才能得出唯一解,否则否则的值不的值不确定确定,解析式也就不唯一解析式也就不唯一. (4)将若干个点代入函数式将若干个点代入函数式,可以求得相关待定系数可以求得相关待定系数A,这里需要注意的是这里需要注意的是,要认清选择的点属于要认清选择的点属于“五点五点”中的哪一个位置点，并能正确代入式中中的哪一个位置点，并能正确代入式中.依据五点列表法依据五点列表法原理原理,点的序号与式子的关系是点的序号与式子的关系是:“第一点第一点”（即图象上升（即图象上升时与时

13、与x轴的交点）为轴的交点）为x+=0；“第二点第二点”（即图象曲线（即图象曲线的最高点）为的最高点）为x+= ；“第三点第三点”（即图象下降时与（即图象下降时与x轴的交点）为轴的交点）为x+=;“第四点第四点”（即图象曲线的最低（即图象曲线的最低点）为点）为x+= ;“第五点第五点”为为x+=2.23 2 名师伴你行如图所示，它是函数如图所示，它是函数y=Asin(x+)(A0,0),|的图象，由图中条件，写出该函数的解析式的图象，由图中条件，写出该函数的解析式.名师伴你行由图知由图知A=5，由，由 得得T=3,= .此时此时y=5sin( x+).下面介绍怎样求初相下面介绍怎样求初相.解法一

14、解法一：（单调性法）：（单调性法）点点(,0)在递减的那段曲线上，在递减的那段曲线上， +2k+ ,2k+ (kZ).由由sin( +)=0得得 +=2k+(kZ),=2k+ (kZ).|,= .2325 - -2 2T T322T 3232 2 2332 32 3 3 名师伴你行解法二解法二：（最值点法）：（最值点法）将最高点坐标将最高点坐标( ,5)代入代入y=5sin( x+)，得，得5sin( +)=5, +=2k+ (kZ),=2k+ (kZ).又又|0)和和g(x)=2cos(2x+)+1的图象的对称轴完全相同的图象的对称轴完全相同.若若x ,则则f(x)的取值范围是的取值范围是 .利用两图象对称轴完全相同得出两函数周期利用两图象对称轴完全相同得出两函数周期相同相同,则可求出则可求出.由对称轴完全相同知两函数周期相同由对称轴完全相同知两函数周期相同,=2,f(x)=3sin(2x- ).6 名师伴你行 2, 06 名师伴你行由由x 得得- 2x- ,- f(x)3.故填故填 . 2, 06 6 65 23 3 ,23 本题关键是求出本题关键是求出,再利用再利用x的取值范围求出的取值范围求出f(x)的取的取值范围值范围.名师伴你行将函数将函数y=sin2x的图象向右平移的图象向右平移(