第五章矩阵的特征值和特征向量

1、第五章 矩阵的特征值和特征向量习题一 矩阵的特征值和特征向量一、填空题1A为n阶方阵，Ax=0有非零解，则A必有一特征值为_2若0为A的特征值，则Ak(k为正整数有特征值为_3若为A的特征向量，则_为P-1AP的特征向量4阶矩阵与_有相同的特征值二、计算题1.设A=(1 试求矩阵A的特征值；(2 利用(1的结果，求矩阵E+A-1的特征值，其中E是三阶单位矩阵         求矩阵A=的实特征值及对应的特征向量        

2、三、证明题1设A满足A2-3A+2E=0，证明其特征值只能取值1或2   2若阶矩阵，存在自然数，使得，则的特征值是  3如果可逆，是的特征值，则是的特征值   4证明：    习题二 相似矩阵和矩阵可对角化一、填空题1若AkE，则A=_2若n阶方阵A与B相似，且A2=A，则B2=_3已知A=，B=且AB，则=_4可对角化当且仅当 5阶矩阵有个互不相同的特征值是可对角化的_6判别矩阵可对角化的方法是 二、 1设A=aij为三角矩阵，且对角线元素互不相等试指出A是否有与它相似的

3、对角矩阵，并说明理由       2矩阵A=能否对角化？若能，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵                三、判别下列矩阵是否可对角化           四、矩阵A=和B=是相似矩阵求x与y；    &#

4、160;     习题三 实对称矩阵的对角化一、求正交矩阵，使为对角矩阵                           二、设实对称矩阵A=，求可逆矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵         三、已知

5、三阶方阵A的特征值为1，-1，2，设矩阵B=A3-5A2试求：(1 矩阵B的特征值及与其相似的对角阵；(2 行列式|B|和|A-5E|         四、设A=，求(1 A的所有特征值与特征向量；(2 判断A能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵P，使A化为对角形矩阵；(3 计算Am      综合复习题一、空题与选择题1矩阵2设其中可逆，则为非负整数）， .（表示数域的全体多项式，表示全体阶矩阵）3相似矩阵有_秩，有相同秩的矩阵_相似4设的三

6、个特征值为则5设是方阵的特征多项式，则若,则= _.6下面四个命题中原命题和逆命题都正确的是（ ）（A）相似矩阵有相同的特征多项式；（B）设是数域上向量空间的一个线性变换是关于的一个基的矩阵，如果是的特征根，那么是的特征根；（C）维向量空间的一个线性变换关于的两个基的矩阵是相似矩阵；（D）设，若在数域内有单根，则可对角化7下列三个矩阵中 ； ； ； 中两两都不相似（A） 正确； (B 正确； (C 正确 ； (D 正确8设是阶矩阵，那么 在复数域上一定与某一对角矩阵相似； 在上一定与某一上三角矩阵相似； 在上一定与某一下三角矩阵相似（A） 正确； (B ，正确； (C ， 正确 ； (D ，正

7、确9下列矩阵中，不可对角化的仅是（）；(B ； (C；（）10设且在上均可对角化，则 可对角化； 可对角化； 可对角化； 可对角化. （表示全体正整数）（A），正确； ( B ，正确； (C ，正确 ； (D 正确二、计算与证明题1求下列矩阵的全部特征值与特征向量（1） （2）（3） （4）2找出1题中可对角化的矩阵，并求可逆矩阵使为对角矩阵3求正交矩阵使为对角矩阵（1） （2） (3 （4）4试证：矩阵可逆的充分必要条件是：它的特征值都不等于零5设阶可逆矩阵的特征值是，证明：的特征值为6如果任一个维非零向量都是阶矩阵的特征向量，试证明是一个数量矩阵7是一个阶实对称矩阵，试证：如果是的重特征值

8、，则矩阵的秩等于自测题一、填空题1若为阶矩阵，有非零解，则必有一特征值为_2若是特征值，则（为正整数）有特征值为_3若为的特征向量，则的特征向量为_4若阶矩阵有个属于特征值的线性无关的特征向量，则=_5已知三阶矩阵的三个特征值为1，2，3，则的特征值为_6阶零矩阵的全部特征向量是_7若，则_8若阶矩阵与相似，且，则_9已知且，则10三阶矩阵的三个互异特征值为，它们对应的特征列向量分别为则矩阵（）的秩为_二、选择题1.设=2是非奇异矩阵A的特征值，则矩阵有一特征值等于( (a (b (c (d 2.若n阶矩阵A的任意一行中n个元素的和都是a，则A的一个特征值为( (a a (b a (c 0 (

9、d a-13.设A是n阶矩阵，1，2是A的特征值，1，2是A的分别对应于1，2的特征向量，则( (a 1=2时，1，2一定成比例 (b 1=2时，1，2一定不成比例(c 12时，1，2一定成比例 (d 12时，1，2一定不成比例4.设n阶矩阵A与B相似，则( (a E-A=E-B (b |E-A|=|E-B|(c |E-A|E-B (d A与B都相似于一个对角矩阵D5.n阶方阵A具有n个特征值是A与对角矩阵相似的( (a 充分必要条件 (b 充分而非必要条件(c 必要而非充分条件 (d 既非充分也非必要条件6.矩阵A=与下列哪个矩阵相似( (a (b (c (d 7.n阶矩阵与对角矩阵相似的充

10、分必要条件是( (a A有n个不全相同的特征值 (b AT有n个不全相同的特征值(c A有n个不相同的特征值 (d A有n个线性无关的特征向量8.n阶方阵A与某对角矩阵相似，则( (a 方阵A的秩等于n (b 方阵A有n个不同的特征值(c 方阵A一定是对称矩阵 (d 方阵A有n个线性无关的特征向量9.1，2是n阶矩阵A的特征值，X1，X2是相应于1，2的特征向量，对于不全为零的常数c1，c2：( (a 当12时，则c1X1+ c2X2必为A特征向量(b 当12时，则X1，X2是A相应于1，2唯一的两个线性无关的特征向量(c 当1=2时，则c1X1+ c2X2必为A特征向量(d 当1=2时，则X

11、1，X2必为A相应于1，2的线性无关的特征向量10.设n阶矩阵A为满秩矩阵，则A( (a 必有n个线性无关的特征值(b 必有n个线性无关的特征向量(c 必相似于一满秩的对角矩阵(d 特征值必不为零三、计算题1设（1） 试求矩阵的特征值；（）利用（1）的结果，求的特征值2求矩阵的特征值及特征向量3设实对称矩阵，求可逆矩阵使为对角矩阵4设为阶实矩阵，满足，试求的伴随矩阵的一个特征值5已知三阶矩阵的特征值为1，2，矩阵，试求（1） 矩阵的特征值和与相似的对角矩阵；(2 行列式和.6设，求（1）的所有特征值与特征向量；（2）判别能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵，使为对角矩阵；（3）计算四、证明题

12、 1若阶矩阵满足，则的特征值仅能是0或12若阶矩阵满足，则的特征值仅能是1或3设满足，证明：的特征值只能是1或24设是实数域上奇数阶方阵，且，证明：有正特征值5设，在上可对角化，证明：在上可对角化二次型习题一 二次型及表示方法一、填空题1二次型f(x1，x2，x3，x4=x12+2x22+3x32+4x1x2+2x2x3_2. 矩阵A=对应的二次型是_3=的矩阵为_.4二次型经过_的线性替换总可以化为标准形.5阶对称矩阵同时实行行和列的初等变换总可化为_矩阵.二、写出下列各二次型的矩阵1     2    

13、;    三、写出下列对称矩阵所对应的二次型1     2   四、对于对称矩阵与，求出可逆矩阵，使           习题二 化二次型为标准型一、用配方法化下列二次型为标准型.1        2        二、用初等变化的方法求一

14、奇异矩阵，使为对角矩阵.       三、用初等变换法将二次型f(x1，x2，x3，x4=x12+x22+x32+x42+2x1x2+2x2x3+2x3x4化为规范形，并求所作的非退化变换矩阵，且用矩阵验算结果      四、求一正交矩阵，使为对角矩阵.      四、试用配方法将二次型f(x1，x2，x3=x12+x22+3x32+4x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形(平方和和规范形  

15、       习题三 正定二次型一、填空题1实二次型f(x1，x2，x3=x12-x22+3x32的秩为_，正惯性指数为_，负惯性指数为_2设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1，2，n，则当t_时，tE-A为正定矩阵 3. 若n阶实对称矩阵A的秩为r(<n且A2=A，则是_矩阵(正定、半正定，正惯性指数为_4_二次型成为正定的，如果对于任意一组_都有_.5 5  对称矩阵正定当且仅当与_矩阵合同.6实对称矩阵正定当且仅当的一切顺序主子式_或者的一切主子式_.7 7  对称矩阵的特征根都是_.

16、二、计算题：1求的值，使二次型为正定.(1         (2       2设矩阵A=，矩阵B=(kE+A2，其中k为实数，E为单位矩阵求对角矩阵，使B与相似，并求k为何值时，B为正定矩阵         （1） （1）           3设A1A1和B1B2试

17、证判断三元二次型f= x12+5x22+x32+4x1x2-4x2x3的正定性                      三、证明题：1A是n阶实对称矩阵，AB+BTA是正定矩阵，证明A可逆      2设A是n阶正定矩阵，证明|A+2E|>2n    3令=, =,如果与

18、合同，与合同，则与合同.     4证明：实二次型负定的充分必要条件是它的矩阵的奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零.         自测题一、填空题1二次型_.2矩阵对应的二次型是_.3二次型=是正定的，那么应满足不等式_.4二次型=的秩为_.正惯性指数为_,负惯性指数为_.5设阶实对称矩阵的特征值分别为，则当=_时，为正定矩阵.6若阶实对称矩阵的秩为且，则是_矩阵，正惯性指数为_.7二次型的规范形由_唯一确定；复二次型的规范形由_唯一确

19、定.8实对称矩阵正定的充分必要条件是它的特征值_.9若是实对称矩阵且可逆，则将化为 的线性变换为_.10设为阶实对称矩阵，那么是_(对称、非对称、对角.二、选择题i. i.1.设A，B均为n阶方阵，x=(x1，x2，xnT，且XTAX= XTBX，当( 时，A=B(a 秩(A=秩(B (b AT=A(c BT=B (d AT=A且BT=B ii. ii.2.实二次型f(x1，x2，x3，x4= XTAX为正定的充分必要条件是( (a |A|>0 (b 存在n阶可逆矩阵C，使A=CTC(c 负惯性指数为零 (d 对于某一x=(x1，x2，xnT0，有XTAX>0iii. iii.3.实二次型f(x1，x2，x3，x4= x12+2x1x2+tx22+3x32，当t=( 时，其秩为2(a 0 (b 1 (c 2 (d 3iv. iv.4.设A，B为同阶可逆矩阵，则( (a AB=BA(b 存在可逆矩阵P，使P-1AP=B(c 存在可逆矩阵C，使CTAC=B(d 存在