自由粒子的波粒二象性

1、自由粒子的波粒二象性贾湛摘 要 本文主要讨论自由电子和光子的波粒二象性。首先指出平面波有两种相速，对实物粒子而言相速是无意义的，波包的群速度等于粒子的运动速度，显然可以通过研究自由粒子的波包来了解波粒两方面的一些性质，从而对非实物粒子、微观粒子和经典粒子有个大致的图景，进而较直观地理解测不准关系，为透彻掌握量子理论打下基础。关键词 波包 群速度 相速度 测不准关系所谓自由粒子即与其它粒子的相互作用可以忽略的粒子。显然根据牛顿定律，自由粒子作匀速直线运动。从波动的角度看它对应一平面波，若自由粒子的动量为(设其沿x方向，P=Px),能量为E，其频率和波长，则由波粒二象性关系决定：E=hh该自由粒子

2、波函数常表示为： (1)或(2)必须注意：用平面波函数来表示自由粒子的波函数只是一种近似。其实理想的平面波是不存在的。然而平面波方程（1）或（2）之所以十分重要，是因为它不仅近似的表示出自由粒子的行为，而且还可以借助富里叶级数和富里叶积分通过不同频率的平面波函数叠加构成任意粒子的波函数。克来因戈登方程和薛定谔方程就是在该理论基础上建立起来的。显然透彻理解平面波函数以及与其有关的自由粒子的波粒二象性，将对量子力学的深入理解很有帮助。先来议一议平面波的两个波速（相速）这两个相速从结论上看似乎u2合理，因为其没有超过极限速度光速C。然而却u1正确。在导出薛定谔方程的过程中，容易引起误解的是把（1）式

3、中的E写成E=p2/2m，即粒子的动能，其实在这之前，已把平面波函数进行了等效处理：非相对论情形下，E=mc2+1/2 mv2=E0+Ek则其中因子的模的平方等于1，不影响粒子出现的几率密度。这是薛定谔方程能有效的原因。满足薛定谔方程的波函数能唯一确定微观粒子的状态，反过来微观粒子的确定状态却不唯一确定一个波函数，当时和都能表示同一个微观粒子的状态。其实大可不必去争论u1=c2/v合理还是u2=v/2合理。量子力学的观点倾向于用波来讨论微观粒子只是一种手段。粒子是真实的，比如说电子总是一个个出现的。从来未见过半个电子；而波（实物粒子波）是虚构的，只用它来反映粒子的波动性。因而 u1=c2/v&

4、gt;C是允许的，不必去讨论其实际意义。我们所关心的粒子速度即其质心位置运动速度v=vg，其中vg即粒子波函数的群速度。实际的自由粒子波函数可看成有一定频率间隔（<<0）的振幅相等的平面波函数的叠加。简单起见设k=kx，则自由粒子的波函数为： 因则 其中 g() 图1 2 3 0 又其中由图1可知，当=0时，sin/=1即g()有极大值：g()=0即 这是波包中心处满足的关系。对其两边微分：得其波包的运动速度（群速）：由E2P2C2=E02这就证明了波包运动速度（群速度）等于粒子运动速度。这样把粒子看成波包，波包内集中了该粒子的能量，研究粒子等效于研究其波包了。数学上证明了Vg=V

5、这是德布罗意非常了不起的贡献。量子力学中测不准关系的涵义是十分晦涩难懂的。通过波包模型理解它却直观多了。从式（5）出发很容易导出测不准关系。自由粒子的波包形状完全由（4）式确定。由图1可知：>，g()趋于很小，也即波函数很小，则我们可以认为<是的主要部分，即波包能量集中的地方。显然当我们在某个瞬间（t=0）观察该波包时，则有：即：即：因 E=E0+P2/2m ，则即：(6)当我们在某一处(x=0)观察该波包时,则有：即得：（7）这个结论与量子力学理论对一般波函数严格推导出的测不准关系是大致相同的。 对普通人来说很希望对所讨论的对象有个具体且直观的图景，下面我们就最基本的两种粒子：光

6、子和自由电子来讨论一下它们的大小和运动情况。对实物粒子电子来说，（6）式常可用来估计其线度大小。因为一般情况下自由电子应该是团粒形状的，则。在一般照明电压下（102V）设Px与P相同数量级，则电子线度电子的线度比其波长大几倍到几十倍这是合理的。我们注意到：一般情况下的电子的波长和线度与原子差不多。因此相对宏观尺度，电子可看成一个质点，但在微观领域，电子就不能看成质点，不能类比我们在宏观世界中获得的经验来想象微观粒子的行为，对原子而言作为它的一部分电子竟然占满了原子的整个空间，它的运动如何无法根据我们的感觉经验猜测。这就是量子力学强调电子的轨道概念在微观领域无意义的道理。光子在真空中可看成静止质

7、量为0的自由粒子。我们知道理想的单色光是不存在的，因而光也具有粒子性。德布罗意把光子看成运动速度（群速度）非常接近光速的波包。注意：这是真空中光子波包的群速度，在介质中。其中为光在介质中的相速，g与有关，这是产生色散现象的原因，光子在介质中的情况较复杂，本文不作讨论。同样，可以由测不准关系讨论一粒光子的波包大小形状。设光子沿x方向前进，由；则可见光子的长度与波长成正比，与波长的相对宽度成反比。这常称为波列长度，在光干涉中称为相干长度。与电子不同，光子的波列长度很难说能代表光子的线度大小。很难想象光子是团粒形状的，否则相干长度数千米到数百米的激光其光束截面直径要达到10100m的数量级，而实际激

8、光束可以非常窄小，对普通光源发出的光如：钠黄光=5893Å则： y py p x 图2但它却能透过缝宽102103mm的透射光栅，可见光子的横向线度比纵向线度小得多。下面我们来估计一下光子的横向线度。令yz如图2，设一束光的发散角为，则：由测不准关系得：可见光子的横向线度与光束发散角有关。越小，y越大。即光束要保持较好的方向性。则光束不能太细。又因sin1所以横向线度最小不小于波长。这也是小于的缝不能产生衍射现象的原因之一。以上我们以光子和自由电子为例，用非常类似的方法得到了它们各自的波粒两方面的多种特性。这样的讨论，虽然不能得到更为详细的细节，但通过这样的讨论，我们可以想象所有自由粒子在微观状态下的大致图景，并且在此基础上推想非自由粒子即有相互作用时的微观粒子的图景。这些图景可能是虚