递推数列求解(论文)

1、递推数列的求解策略及技巧湖南省宁远第一中学 何雄。1、 多式相加法 （叠加法） 数列有形如an+1=an+f(n)的解析式，而f(1)+f(2)+f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an.例1.在数列an中，a1=1，an+1= an+2n，求an（n2）.解：由条件，a2=a1+2×1,a3=a2+2×2，an= an1+2(n+1)，以上n1个式子相加化简得： an=a1+n(n1)=n2n1.训练：例4 已知数列an中，an =1，且an+1an=3n-n，求数列an的通项公式。2、多式相乘法 （叠乘法）数列有形如an=f(n)·an1的解析关系，而f(

2、1)·f(2)f(n)的积是可求的，可用多式相乘法求得an.例2在数列an中，2），求.解：由条件an1,这n1个式子相乘化简得：.训练：例4 已知数列an中，an=1，且an+1an =3n-n，求数列an的通项公式。迭代法 根据递推的特殊关系，迭代后可以得到通项。例4、在数列an中，求an。3、待定系数法 （转化等差等比）数列有形如、b为常数）的线性递推关系，可用待定系数法求得an.例3在数列an中，求.解：在的两边同加待定数，得+（1）/3），令得数列是公比为3的等比数列,an=训练：在数列an中，求.4、分解因式法当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其

3、它方法求得an.例4已知数列满足（n），且有条件。解：由题得：对n，再由待定系数法得： 5、求差法 数列有形如的关系（非递推关系），可考虑用求差后，再用其它初等方法求得例5设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数与2的等差中项等于与2的等比中项：（1）写出数列的前3项；（2）求数列的通项公式.出题者的意图是：通过（1）问求出数列前3项再猜想出通项公式；（2）再用数学归纳法证明猜想正确.实际上用求差法求通项公式更简单.解：（1）略（2）由条件，得 即 得，即分解因式得 对于0，是公差为4的等差数列， 6、倒数法 数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求再求得an例6设数列满足求解：原

4、条件变形为两边同乘以得. 练习：例7设数列是首项为1的正项数列，且，求构造法 有些数列直观上不符合以上各种形式，可对其结构进行适当的变形，以利于使用其他方法例8 正整数列中，求通项公式 7、复合数列构成等差、等比数列法数列有形如的关系，可把复合数列化为等差数列或等比数列，再用其它初等方法求得例7在数列中，求解：由条件 再用多式相加法可得：8、循环法 数列有形如的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出例8在数列中，解：由条件即即每间隔6项循环一次.1998=6×333，9、开方法 对有些数列，可先求再求例9有两个数列它们的每一项都是正整数，且对任意自然数、成等差数列，、成等比数列，解：由条件有： 2bn=an+an+1, a2n+1=bn·bn+1 .由式得： 把、代入得：，变形得）.0，. 是等差数列.因 故针对练习：1、已知a1=1