《大学物理教学》第1章 质点运动学

1、1第一章第一章 质点运动学质点运动学2机械运动机械运动：一个物体相对于另一个物体的空间位置一个物体相对于另一个物体的空间位置随时间发生变化；随时间发生变化； 或一个物体的某一部分相对于其或一个物体的某一部分相对于其另一部分的位置随时间而发生变化的运动。另一部分的位置随时间而发生变化的运动。力学：力学：研究物体机械运动及其规律的学科。研究物体机械运动及其规律的学科。 运动学：运动学：动力学：动力学： 以牛顿运动定律为基础，研究物体运动状态发以牛顿运动定律为基础，研究物体运动状态发生变化时所遵循规律的学科。生变化时所遵循规律的学科。 研究物体在空间的位置随时间的变化规律以及研究物体在空间的位置随时

2、间的变化规律以及运动的轨道问题，而并不涉及物体发生机械运动的运动的轨道问题，而并不涉及物体发生机械运动的变化原因。变化原因。31.1 1.1 参考系和坐标系参考系和坐标系 质点质点1.1.1 1.1.1 参考系和坐标系参考系和坐标系 描述物质运动具有相对性描述物质运动具有相对性用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。 物质的运动具有绝对性物质的运动具有绝对性坐标系：坐标系：参考系：参考系：为描述物体的运动而选取的参考物体。为描述物体的运动而选取的参考物体。41.1.3 质点 质点质点: :只有质量而没有大小和形状只有质量而没有大小和形状的理想物体。的理想

3、物体。 一个物体能否看作一个物体能否看作质点，它的唯一标准是质点，它的唯一标准是物体的形状、大小与所物体的形状、大小与所研究的问题是否无关。研究的问题是否无关。如果物体运动范围如果物体运动范围物物体本身线度时，该物体体本身线度时，该物体可视为质点。可视为质点。51.2 1.2 质点运动的描述质点运动的描述1.2.1 位置矢量 运动方程 1.1.位置矢量（位矢）位置矢量（位矢）),(zyxPrxyzo 从原点从原点O O向质点向质点P P所所在位置画一矢在位置画一矢量来表示质点位置。量来表示质点位置。kzj yi xrr 称为称为位置矢量位置矢量，简称，简称位矢位矢。位矢用坐标值表示为：位矢用坐

4、标值表示为：kji, 表示沿表示沿x，y，z轴的单位矢量。轴的单位矢量。xyz位矢的大小：位矢的大小：222|zyxrr6位矢的方向：位矢的方向：,cosrx,cosryrzcos),(zyxPrxyzo)(r tr称为称为运动方程运动方程2.2.运动方程运动方程矢量形式：矢量形式：ktzjtyitxtr)()()()( )(txx)(tyy)(tzz 分量式：分量式： 质点运动时在空间所经历的实际路径叫做运动轨道，质点运动时在空间所经历的实际路径叫做运动轨道，相应的曲线方程称为轨道方程。相应的曲线方程称为轨道方程。在运动方程中，消去在运动方程中，消去t t即得轨道方程：即得轨道方程：f(x,

5、yf(x,y，z)=0z)=0。3.3.轨道方程轨道方程71.2.2 位移 路程 1.1.位移位移A1rxyzoB2rrt t时刻，时刻，A A点位矢为点位矢为1rt+tt+t时刻在时刻在B B点位矢为点位矢为2rA AB B位移：位移：12rrr 在在 t 时间内，位矢的变化量（即时间内，位矢的变化量（即A到到B的有向线的有向线段）称为位移。段）称为位移。在直角坐标系中：在直角坐标系中：12rrrkzj yi x位移的大小：位移的大小：222)()()(|zyxr8强调：强调：位移的大小只能写成：位移的大小只能写成： ，不能写成，不能写成 或或 。 |rr|r|12rrr1212|rrrrr

6、r位矢大小的增量位矢大小的增量质点位矢增量的大小（位移的长度）质点位矢增量的大小（位移的长度）同理：同理：drrd |2.2.路程路程sr路程路程 s s：物体在物体在t内走过的内走过的轨道的长度。轨道的长度。AB一般情况下，一般情况下，|rs|limlim00rstt| rdds即：即：在在 t t趋近于零的极限情况下，趋近于零的极限情况下，91.2.3 速度 速率 1.1.平均速度平均速度A1rxyzoB2rrtB时刻位于时刻位于B点点在在 t 时间内发生位移：时间内发生位移：设质点做一般曲线运动设质点做一般曲线运动tA时刻位于时刻位于A点点12rrr在在 t t时间间隔内的平均速度时间间

7、隔内的平均速度：trv 平均速度可平均速度可“近似近似”地描述质点在地描述质点在t t时刻附近运动时刻附近运动的快慢和方向。的快慢和方向。102.2.速度速度trvt0lim瞬时速度（速度）：瞬时速度（速度）：dtrd单位：单位：m/s质点在某时刻的瞬时速度等于在该时刻位置矢量质点在某时刻的瞬时速度等于在该时刻位置矢量对时间的变化率。对时间的变化率。方向：方向：沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向。沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向。大小：大小：|dtrdvvAAv在直角坐标系中：在直角坐标系中：kvjvivvzyx,dtdxvx,dtdyvydtdzvzzyxvvv,为速度在为速度在x，y

8、，z方向的分量。方向的分量。222|zyxvvvdtrdv113.3.速率速率平均速率：平均速率：路程路程 s s和走过这段路程所用的时间和走过这段路程所用的时间 t t的比值。的比值。tsv瞬时速率：瞬时速率：dtdstsvt0lim即：速率为速度的大小，即：速率为速度的大小，|vdtrddtdsv一般情况：一般情况：vvsr因此当当 t0时：时：|,| rdds121.2.4 加速度1.1.平均加速度平均加速度 t 时间内，速度增量为：时间内，速度增量为：12vvvt1时刻，质点速为时刻，质点速为t2时刻，质点速度为时刻，质点速度为1v2vABv1v2v描写质点速度变化快慢和方向的物理量。

9、描写质点速度变化快慢和方向的物理量。平均加速度：平均加速度：tva|tva大小：大小：方向：方向： 的方向。的方向。v132.2.加速度加速度dtvdadtrdv由由可得：可得：22dtrddtvdtvat0lim加速度：加速度：单位：单位：米米/ /秒秒2 2，m/s2大小：大小：dtvdaa 加速度为速度对时间的变化率。加速度为速度对时间的变化率。 方向：方向： t t0 0时速度增量的极限方向，在曲线运动时速度增量的极限方向，在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。中，总是指向曲线的凹侧。atva14在直角坐标系中：在直角坐标系中：,22dtxddtdvaxxkajaiaazyx,22dtyd

10、dtdvayy22dtzddtdvazzdtvda22dtrd222zyxaaaa描述质点运动的四个基本物理量：描述质点运动的四个基本物理量：a , v , r , r 描述质点在某一时刻所处的状态，称为质点描述质点在某一时刻所处的状态，称为质点运动的状态参量。运动的状态参量。v , r 表示表示 t t时间内质点位置的变化，时间内质点位置的变化， 为速度的瞬为速度的瞬时变化率，都是描述质点运动状态变化的参量。时变化率，都是描述质点运动状态变化的参量。ra ax，ay 、 az为加速度在为加速度在 x、y、 z方向的分量。方向的分量。151.2.5 运动学两类问题 运动方程是运动学问题的核心。

11、运动方程是运动学问题的核心。实际的运动学问题中，有两种基本类型：实际的运动学问题中，有两种基本类型：1. 已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度以及加速度22)(dtrddtvdadtrdvtrr2. 已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程及初始条件求质点的运动方程ttvvdtavd,dtavd00ttrrdtvrd,dtvrd0016解：解：求质点在头两秒的位移和平均加速度。求质点在头两秒的位移和平均加速度。jtitr)6(32例：例：用矢量表示二维运动，设用矢量表示二维运

12、动，设jti tdtrdv2320202rrrjivvv1240202jitva6202jji)6(24ji84 17例：例：一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a a0 0，以后加速度均匀增加，每经过以后加速度均匀增加，每经过秒增加秒增加a a0 0，求经过，求经过t t秒秒后质点的速度和运动的距离。后质点的速度和运动的距离。 00taaa( (直线运动中可用标量代替矢量）直线运动中可用标量代替矢量）解：解：据题意知，加速度和时间的关系为：据题意知，加速度和时间的关系为：20000002)(tatadttaaadtvttvdtdxdtdxv 302

13、00020062)2(tatadttatavdtxttdtdva adtdv 18hHx1xxHxhH11xhHHxdtdxvdtdxvM,100vhHHvM解：解：设任意时刻设任意时刻t，人所在的点的坐标为人所在的点的坐标为 x1 其头顶在其头顶在地面的投影点地面的投影点M的坐标为的坐标为x，例：例： 如图，路灯距地面高如图，路灯距地面高H，一身高一身高h的人在灯下以匀的人在灯下以匀速速v0沿直线行走。求其头顶在地面的影子的移动速度。沿直线行走。求其头顶在地面的影子的移动速度。由几何关系由几何关系19xh0vl,222hxl解：dtdxxdtdll22022vxhx dtdxvdtdlv,0

14、例：例：离水面高度为离水面高度为h的岸上，有人用绳子拉船靠岸，人的岸上，有人用绳子拉船靠岸，人以以v0的速率收绳，求船距岸边为的速率收绳，求船距岸边为x时的速度和加速度。时的速度和加速度。0vxlv dxvdvdtdxdxdvdtdva2032vxh201.2.6 平面曲线运动的自然坐标描述 质点质点P沿已知的平面轨道运动。沿已知的平面轨道运动。 将此轨道曲线作为一维坐标的将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一点轴线，在其上任意选一点O作为坐作为坐标原点。标原点。质点在轨道上的位置可以质点在轨道上的位置可以用从原点用从原点O算起的弧长度算起的弧长度s来表示，来表示， s称为称为自然坐标

15、自然坐标。运动方程：运动方程：)(tss 在质点上建立在质点上建立自然坐标系自然坐标系：切向坐标切向坐标 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向；沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向；te法向坐标法向坐标 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。ne21根据加速度的定义，有：根据加速度的定义，有：dtvdadtevdt)(dtedvedtdvtt 的大小为质点速率的变化率，其方向指向曲的大小为质点速率的变化率，其方向指向曲线的切线方向。线的切线方向。 tedtdv 切向加速度：切向加速度： ttteaedtdvat?dtedvtdtdva t其值可正可负。其值可正

16、可负。ttedtdsevvte 为沿速度方向的单位矢量。是一个大小不为沿速度方向的单位矢量。是一个大小不变（恒为变（恒为1）但方向不断变化的矢量。）但方向不断变化的矢量。在自然坐标系中速度可表示为：在自然坐标系中速度可表示为：ABAvBv22 在在 t很小并趋于零时，有：很小并趋于零时，有：t+tt+t时刻，速度单位矢量为时刻，速度单位矢量为tet t时刻，时刻，速度单位矢量为：速度单位矢量为：tete 增量为增量为：ttteeetetete|lim|0ttteed|ttee在在 t趋于零时，趋于零时， 的方向跟的方向跟 垂直并指向垂直并指向圆心，即指向圆周轨道的法向圆心，即指向圆周轨道的法向

17、 的方向。的方向。 tedtenenteded|lim0tteddtedsddo tepPne23可改写为：可改写为：dtedvtdtedvdtedvnt)(nedtdvtedsddo tepPne 设轨道在设轨道在P点的曲率半径为点的曲率半径为 ，,ddsntedtdvdtedvnedtdsdsdvdtdsv nev 2法向加速度：法向加速度： nnnneaeva22van24综上所述：综上所述：ntevedtdv2可以将加速度分解为切向和法向两个分量。可以将加速度分解为切向和法向两个分量。nntteaea切向加速度反映了速度大小变化的快慢。切向加速度反映了速度大小变化的快慢。法向加速度反映

18、了速度方向的变化。法向加速度反映了速度方向的变化。22ntaaa加速度的大小：加速度的大小：加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：tnaaarctannata adtedvedtdvatt25求求t=1st=1s时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。解：解：jtti tr)515(52例：例：已知质点在水平面内运动，运动方程为：已知质点在水平面内运动，运动方程为：jtidtrdv)1015(5jtti tr)515(522)1015(25tv2)23(1)23(10ttdtdvatt=1st=1s)/(25

19、2smatjdtvda102522tnaaa)( 12mavn26,0tvx (2)gtvvvyx ,0anatgyxov0解：解：20221vgxy ,222022tgvvvvyx 22202tgvtgdtdvat2220022tgvgvagatn 221gty (1)例：例：由楼窗口以水平初速度由楼窗口以水平初速度v v0 0射出一射出一发子弹，取枪口为原点，沿发子弹，取枪口为原点，沿v v0 0为为x x轴，轴，竖直向下为竖直向下为y y轴，并取发射时轴，并取发射时t=t=0.0.试求：试求：(1)(1)子弹在任一时刻子弹在任一时刻t t的位置坐标及轨的位置坐标及轨道方程；道方程；(2)

20、(2)子弹在子弹在t t时刻的速度，切时刻的速度，切向加速度和法向加速度。向加速度和法向加速度。0tanvgt27例：例：质点质点M M在水平面内运动轨道如图所示：在水平面内运动轨道如图所示：OAOA段为直段为直线线, ,ABAB、BCBC段分别为不同半径的两个段分别为不同半径的两个1/41/4圆周。设圆周。设t t=0=0时时M M在在O O点，已知运动方程为点，已知运动方程为S S=30=30t t+5+5t t2 2(SI),(SI),求求t t=2=2秒时秒时刻，质点刻，质点M M的切向加速度和法向加速度。的切向加速度和法向加速度。解：解：t=2s ， S=80m /10222smdt

21、sddtdvat3015质点的瞬时速率质点的瞬时速率：v=30+10t(m/s)t=2s v=50m/s222/3 .833050 smvan可知此时可知此时M M在大圆上。在大圆上。281.2.7 圆周运动的角量描述 ABsRxyO 质点所在的矢径与质点所在的矢径与x 轴的夹角。轴的夹角。 角位移角位移 ：角位置角位置 ：质点从质点从A到到B矢径转过的角度矢径转过的角度 。规定：规定： 逆时针转向逆时针转向 为正为正顺时针转向顺时针转向 为负为负 质点的圆周运动，除了用位矢、质点的圆周运动，除了用位矢、位移、速度和加速度等所谓的线量来位移、速度和加速度等所谓的线量来描述外，也常用角量来描述。

22、描述外，也常用角量来描述。 运动方程：运动方程：)(t在国际单位制中，角位置和角位移的单位为在国际单位制中，角位置和角位移的单位为rad。 29ABsRxyO角速度角速度：dtdtt0lim角加速度：角加速度：dtdtt0lim22dtd角速度可规定为矢量。其角速度可规定为矢量。其方向满方向满足右手定则：沿质点转动方向右足右手定则：沿质点转动方向右旋大拇指指向。旋大拇指指向。单位：单位：rad/s, 单位：单位：rad/s2, 平均角速度：平均角速度：t平均角加速度：平均角加速度：t 30匀变速圆周运动的基本公式匀变速圆周运动的基本公式与匀变速直线运动计与匀变速直线运动计算公式有对应关系：算公

23、式有对应关系：atvv020021attvxx)(20202xxavvt020021tt)(20202路程与角位移之间的关系：路程与角位移之间的关系：Rs线速度与角速度的关系：线速度与角速度的关系：Rv加速度与角量的关系：加速度与角量的关系：dtdvatRvan2,RdtdR,2RORP圆周运动线量和角量的关系：圆周运动线量和角量的关系：31例：例：某质点作半径为的圆周运动，其角位置某质点作半径为的圆周运动，其角位置 随时随时t的变的变化规律为化规律为 =2+4t3(SI) 。求该质点在求该质点在 t=1s时刻的切向加时刻的切向加速度、法向加速度和总加速度；当切向加速度的大小恰速度、法向加速度

24、和总加速度；当切向加速度的大小恰好为总加速度大小的一半时，好为总加速度大小的一半时， 又为多少？又为多少？,122tdtd,2 . 12tRv,4 . 2 tdtdvat424 .14 tRvan)(4 .14),(4 . 2122smasmastnt时,63:,362133ttaaaatnt得时解：解：rad15. 3)63(42)(6 .14222smaaant321.3 1.3 相对运动相对运动引言：引言：运动是绝对的，而描述运动具有相对性运动是绝对的，而描述运动具有相对性 位移、速度、加速度等都要加上位移、速度、加速度等都要加上相对相对二字二字-相相对位移、相对速度、相对加速度。为明确

25、表示一物体对位移、相对速度、相对加速度。为明确表示一物体的速度是相对什么物体而言，通常用双脚标表示。的速度是相对什么物体而言，通常用双脚标表示。甲甲乙乙v.甲对乙的速度甲对乙的速度,甲是运动物体甲是运动物体,乙是参照系乙是参照系.ABa.A相对相对B的加速度的加速度,A为运动物体为运动物体,B是参照系是参照系.研究的问题研究的问题: : 在两个有相互平动的参照系中考察同一物在两个有相互平动的参照系中考察同一物理事件，理事件，对同一事件的描述存在怎样的变换关系？对同一事件的描述存在怎样的变换关系？33 两个相互平动的参照系两个相互平动的参照系S S和和S S。在在S S系中建立直角坐标系系中建立直角坐标系o-xyzo-xyz，在在S S/ /系中建立直角坐标系系中建立直角坐标系o o/ /-x-x/ /y y/ /z z/ /。某某时刻，时刻，质点质点在在P P点点( (看成一事件）看成一事件）速度和加速度速度和加速度分别分别为：为：POPOav,速度和加速度速度和加速度分别分别为：为：POr质质点相对于点相对于S S系的位矢为：系的位矢为：POr质点质点相对于相对于S S/ /系的位矢为：系的位矢为：OPOPav, 下面研究同一质点在有相对平动的两个参考系中的下面研究同一质点在有相