线性代数自考知识点汇总

1、行列式1. 行列式的性质 性质 1 行列式与它的转置行列式相等 性质 2 互换行列式的两行（列） ，行列式变号 .推论 1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零k ，等于用数 k 乘此行列式性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数aaaaaa111213111213如kakakakaaa212223212223aaaaaa313233313233推论 2a如a如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零 b cb c 0ka kb kc性质 4 若行列式的某一行列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和a13a11a12a13a11a

2、12a13a a23 23a21a22a23a21a22a23a11 如 a a21 21a12 a a22 22行212223a11a33a31a32a33a31a32的各元素乘以同一数然后加到另一行a33（列）对应的元素上去，行列式的a12a13a31a32a33a31a21a22a23ka11a32ka12a ka33 132. 余子式与代数余子式在 n 阶行列式中，记作 Mij把元素i j( 1)a 所在的第ijM 叫做元素 iji 行和第 j 列划去后，aij 的代数余子式aa1213aa，元素a 的余子式为M 23 1112aa232223aa3132aaija11a21 a323

3、331留下来的n-1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，元素 a 的代数余子式为23A232 3( 1) M23a a11 12a a31 32第 1 页 共 12 页3.定理定理4.（1）（2）a11a21a31（3）（4）行列式按行（列）展开法则1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D a A a A a A 或 Da1jA1j a2jA2janj Anji1 i 1i2i2in ini1,2,n; j1,2naaa111213如aaaaA a A a A2122231111 12 12 13 13aaa3132332 行列式任一行（列）的元素与另一行（

4、列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai1Aj1a 2A ja Ai 2 in0, 或 a1jA1 j a2jA2 j jnanj Anj0,i j.i 1,2,n; j 1,2 n2(1)行列式的计算二阶行列式a11a12a a11 22a a12 21a21a22三阶行列式a12a13a22a23a11a22 33a a a12 23 31a13a a21 32a13a a2231a12a a21 33a a a11 2332a32a33n( m 1)对角行列式( 1)三角行列式a11a11a21an1a22an2anna1,na1na11a12a22a1na2nanna1na a

5、1122annn(1)a21a2,n2,na2na a1n 2,n 1an1an1a an1 n2ann（ 5 ）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值（ 6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低 行列式的阶数求出行列式的值 .，再提出公因（ 7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行） 式，进而求出行列式的值 .第 2 页 共 12 页5.常见矩阵矩阵1)2)对角矩阵单位矩阵：主对角线以外的元素全为：主对角线上的元素全为0 的方阵，称为对角矩阵 的对角矩阵，称为单位矩阵.记作 .

6、记作 E.3)三角矩阵：对角线以下的元素全为0 的方阵.如4)下三角矩阵：对角线以上的元素全为0 的方阵.如5)对称矩阵：设 A为阶方阵，若A ，即aij6)反对称矩阵：设A 为阶方阵，若7)正交矩阵：设 A为阶方阵，如果TAA矩阵的加法、6.( 1 )矩阵的加法数乘、乘法运算a11a12a22a1na2nanna11a21an1a22an2annaji ，则称A ，即 aij为对称矩阵 .a ji，则称 A 为反对称矩阵E ，则称 A 为正交矩阵 .如ad注：只有同型矩阵才能进行加减运算；矩阵相加减就是对应元素相加减( 2 )数乘矩阵a b c ka kb kc 如kd ekd ke kf注

7、：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素3)矩阵的乘法：设A( a )ij m s,B( bij规定ABC ( cij )m n ,其中 c aij i1a bi2 2 ja bis sjsaikk 1bkj1,2 ,m, j 1,2 , ,n.)注： 左矩阵的列数等于右矩阵 B的行数 ； 左矩阵的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积C 的元素 cij .的行数为乘积 C 的行数，右矩阵 B 的列数为乘积 C 的列数 . 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵(即一个数) ，即左矩阵第 3 页 共 12 页b11ba11a12a1sa b11 11a b12 21a b1s s1bs1

8、列矩阵乘行矩阵是s 阶方阵，即aa ba ba b1111 1111 1211 1saa ba ba b2121 1121 1221 1sb bb11 121saa ba ba bs1s1 11s1 12s1 1s7. 逆矩阵设 n 阶方阵 A 、B，若 AB=E或 BA=E，则 A ，B 都可逆，且211）a b1 1 * 1A ，则A Ac dA ad bc11二阶方阵求逆，设1 AB,BA .（两调一除法）aa1a1a222）对角矩阵的逆1nn11aa1n1121aan111AA1123）分块对角阵的逆2124）一般矩阵求逆，初等行变换的方法：ERT1A EE A18. 方阵的行列式A

9、的行列式 .记作 A 或 det（ A）由阶方阵 A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵9. 矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：第 4 页 共 12 页（ 1）互换两行（列） ；（2）数乘某行（列） ；（3）某行（列）的倍数加到另一行（列）10. 初等矩阵 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵 .001100100如010 ,0k0 , 010100001k01都是初等矩阵11. 矩阵的秩A 的秩.记作 R（A ）或 r（ A）矩阵 A 的非零子式的最高阶数，称为矩阵求矩阵的秩的方法：1）定义法：找出A 中最高阶的非零子式，它的阶数即为 A 的秩

10、 .2）初等行变换法：ERTA行阶梯形矩阵，R（ A ） =R （行阶梯形矩阵）=非零行的行数12. 重要公式及结论A B? A 2AB B .2）逆矩阵的公式及定理22一般地若 AB=O ，则无2（ 1）矩阵运算的公式及结论( AB )C A( BC ),( A B )CAC BC ,( AB )( A )BA( B )kk kk kk kk k kkA A1A ,2 1 2( A )1 2A1, ( A ) A ,2E Ekk 10ABA BAB , EAAEA, A ETTTTT TTTT TATA, ( AB ) AB, A A ,ABB AATA ,AB BA ,AA A A A E

11、nTAA , AnA ,ABnA B BA , AA ,A B A矩阵乘法不满足交换律，即一般地AB AB;矩阵乘法不满足消去律，即一般地若AB=AC ，无 B=C ；只有当 A 可逆时，有 B=C.( A B ) CA ( B C ),BA BB A,( A B ) AA=O 或B=O.A,AB111A A ,A A, AA ,AA AA111n11 kA 可逆|A|0 AE(即 A 与单位矩阵 E 等价)( 3)矩阵秩的公式及结论R( A ),k 0TR(O ) 0 , R( A ) min m,n ,R( A ) R( A ),R( kA )m nA 0 R( A ) n , R A B

12、 R A R B第 5 页 共 12 页R( AB ) R( A ), R( AB ) R( B ).特别地，当 A 可逆时， R(AB)=R(B) ；当 B 可逆时， R(AB)=R(A).ETA BR A R B 即等价矩阵的秩相等 或初等变换不改变矩阵的秩13. 矩阵方程1 )设A n为阶可逆矩阵，B n为×m 矩阵，则矩阵方程AX=B 的解为解法： 求出A1 ( 2 )设A n为阶可逆矩阵，1A ，再计算A B ；ERT解法： 求出B EB m为×n 矩阵，则矩阵方程XA=B 的解为X BAAEECTBX1A ，再计算BA ；14. 矩阵间的关系 等价矩阵：如果矩阵

13、 即存在可逆矩阵 等价矩阵的秩相等 .1)性质：2)性质：3)性质：1.(1)2)3)2.(1)2)3)4)5)6)A 经过有限次初等变换变成矩阵 P， Q ，使得 PAQ=B.相似矩阵：如果存在可逆矩阵P，使得相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值，合同矩阵：如果存在可逆矩阵合同矩阵的秩相等P，使得线性组合若 k ，则称向量 零向量 是任一向量组的线性组合 向量组中每一向量都可由该向量组线性表与 成比例示B ，那么称矩阵 A 与 B 等价 .1P AP B ,那么称 A 与 B 相似 .相同的行列式，相同的迹TP AP B ，那么称 A 与 B 合同 .向量空间线性相关与线性无关 单独一个

14、向量线性相关当且仅当它是零向量 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量 两向量线性相关当且仅当两向量对应 成 比例 两向量线性无关当且仅当两向量不对应 成比例 含有 向量的向量组一定线性相关向量组 1 , 2 ,m 线性相关的充分必要条件是 齐次线性方程组有非零解 .02 2mm第 6 共页 12 页 以向量组为列作的矩阵 1 , 2 , , m 的秩 < 向量的个数 m.7）n 个 n 维向量 1, 2, , n 线性相关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值1 , a2 ,可A 线性8） 向量组 1, 2 , , m 线性无关的充分必要条件是 齐次线性方程组 k 只有零解 .1

15、 1 k k 02 2 m m 以向量组为列作的矩阵1, 2 , , m 的秩 =向量的个数 m.（ 9） n 个 n 维向量 1, 2 , , n 线性无关的充分必要条件是 以向量组为列作的行列式的值1, 2 , , n 0.1 2 n（ 10 ）当 m>n 时， m 个 n 维向量一定线性相关 .定理 1：向量组 a1 , a2 , ? ? , am （ m 2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由 其余 m-1 个向量线性表示 .向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示定理 2：如果向量组 A：a1 , a2 , ? ? , ar 线

16、性无关，而向量组a1 , a2 , ? ? , ar， 线性相关，由 A 线性表示，且表示式唯一 .定理 3：设向量组 A: , , , ， B : 1, 2 , , r , r 1 , , m1 2 r若 A 线性相关，则向量组 B 也线性相关；反之，若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关 （即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关） .定理 4：无关组的截短组无关，相关组的接 长组相关.15. 极大无关组与向量组的秩定义1 如果在向量组 T 中有 r 个向量 a1 , a2 , ? ? ,ra ，满足条件： 向量组 a,ra 线性无关，线性相关那么称向量 a1 , a2 ,

17、? ? ,ra 是向量组 T 的一个极大无关组 定义2 向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩 .定义3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。结论1 线性无关的向量组的极大无关组就是它本 身。结论2 如果向量组的秩是 r ，那么该向量组的任意r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组。定理 1 设向量组 A:a1,a2, ? ,ra；及向量组 B:b 1,b2, ? , sb，如果组 A 能由组 B 线性表示，且组无关，则 r s.推论1 等价的向量组有相同的秩第 7 共页 12 页 定理 2 矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩 .16. 向量

18、空间定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 非空，且集合 V 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就 称集合 V 为向量空间 .17. 基与向量在基下的坐标定义2 设 V 是向量空间，如果向量组 a1 , a2 , ? ? ,ra ， 满足条件：（ 1 ）向量组 a1 , a2 , ? ? ,ra 线性无关；（ 2 ）T ， 1, , , , 线性相关 .2 r那么称向量组 a1 , a2 , ? ? , ra 是向量空间 V 的一个基， 基中所含向量的个数称为向量空间 V 的维数， 记作dimV ，并称 V 为 r 维向量空间定义3 设向量组 a, a , ? , 是向量空间 V 的

19、一个 基，则 V 中任一向量 x 可 唯一地 表示为基的一个1 2 ar线性组合，即 x a a a ，1 1 2 2 r r称有序数组 1, 2 , , r 为向量 x 在基 a , a下的 坐标.1 2 , ? , ar线性方程组3. 线性方程组解的判定（ 1 ） 线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是它的系数矩阵 A 和增广矩阵（ A,b ）的秩相同，即 R（A）=R （A，b） .当 R（A） =R（ A， b）=r 方程组 AX=b 有惟一解的充分必要条件是 r=n; 方程组 AX=b 有无穷多解的充分必要条件是 r < n.（ 2） 方程组 AX= b 无解的充分必要条件

20、是 R（A） R （ A ， b ） .4. 齐次线性方程组有非零解的判 定（ 1 ） 齐次方程组 AX=0 有非零解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩 R（A） < 未知量的个数 n .（ 2 ） 含有 n 个方程， n 个未知量的齐次线性方程组 AX=0 有非零解的充分必要条件是方程组的系数行 列式等于零 .（即 |A |=0 ）（ 3） 齐次线性方程组 AX=0 中，若方程的个数 m< 未知量的个数 n， 则方程组有非零解5. 齐次线性方程组解的性质（1） 若 1 , 2 是 Ax=0 的解，则 1 2 也是 Ax=0 的解；（ 2） 若 是 Ax=0 的解，则 k 也是 A

21、x=0 的解 .6. 齐次线性方程组的基础解系与通 解（ 1 ） 解空间齐 次 线 性 方 程 组 Ax=0 的 全 体 解 向 量 所 组 成 的 集 合 ， 是 一 个 向 量 空 间 ， 称 为 方 程 组 Ax=0 的解空间记作V ，即 V= x | Ax=0 ，xR .（ 2 ） 基础解系第 8 共页 12 页齐次方程组 AX=0 的解空间 V 的一个基，称为齐次方程组 基础解系中解向量的个数是 n-r （ A ） .方程组 AX=0 的任意 n-r 个线性无关的解都是 AX=0 的基础解系 .AX=0 的一个基础解系3）齐次线性方程组的通解为 k k1 1 2 2，其中 1 , 2

22、 ,n r 是 Ax=0 的一个基础解系18.非齐次线性方程组解的性质1）若 1 , 2 是 Ax=b 的解，则 1Ax=0 的解；即 Ax=b 的任意两个解的差必是其导出组A x=0 的解 .2）若 是 Ax=b 的解， 是 Ax=0 的解，则 是 Ax=b 的解 .即 Ax=b 的任意一个解和其导出组A x=0 的任意一个解之和仍是Ax=b的解.19. 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组 AX=b 的通解为其中 1 , 2 , , n r 为对应的齐次线性方程组Ax=0 的一个基础解系，为非齐次线性方程组 AX=b 的任意一个解，称为特解方阵的特征值x1y1设x2y2，则 x ，y 的

23、内积为 x, yx1 y1 x2 y2xn ynx,yxnyn向量的内积7.2221）向量x 的长度：x,x3）非零向量的单位化：若向量x 0 ,是单位向量当 x, y 0 时 , 称向量y 正交 .（4）（5） 定理 定理 2 A 为正交矩阵的充分必要条件是（ 6）施密特正交化过程若非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交组若正交组中每个向量都是单位向量，则称它为标准正交组1 正交向量组必线性无关A 的列（行）向量都是单位向量且两两正交设 1, 2 , 3是一个线性无关的向量组， 正交化：令 1 1,a1 3,a2 3111 12 2第 9 页 共 12 页20.1) 单位化：取e1e

24、 ,e ,e 是与1 2 3特征值与特征向量2 , 3 等价的标准正交组方阵 A 的特征值 是特征方程A E 0 的根 .2)3)4)设 1, 2 , , n 是 n 阶方阵的全部特征值，则 tr A 1 2即方阵 A 的对角线上元素之和等于A 的全部特征值之和， 方阵 A 的行列式等于A 的全部特征值的乘积5)若 是方阵 A 的特征值，则f 是方阵 f A 的特征值 . 特别地，当f A 0 时，方阵 A 的三角矩阵和对角矩阵的全部特征值就是它的全部对角元方阵和它的转置方阵有相同的特征值 .特征值是 f 0 的根 .说明：例如是方阵A 的特征值，则方阵方阵f A A 2E 的特征值是 f2A

25、 A 3A 4E 的特征值是 f例如若2A 3A 4E 0 ，则方阵A 的特征值是234 0 的根，即 1 1, 2 4 .6)设 P ,P 都是方阵 A 的属于同一特征值 的1 20 的特征向量，则 k1P1k2P2 k1 ,k2 不全为零 也是 07)8)21.方阵的对角化1)若方阵 A 与对角矩阵 相似，则说 A 可以对角化即存在可逆矩阵P，使得 P 1 AP 是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵 n 阶方阵 A 可以对角化的充分必要条件是A 有 n 个线性无关的特征向量； 属于每一个特征值的线性无关的特征向量的个数与该特征值的重数相同n 阶方阵 A 可以对角化的充分条件是 n 阶方阵 A 的 n 个特征值互不相等.)4)若 A 与 B 相似，则 f A 与 f B 相似.22.(1)实对称矩阵的对角化实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交特征向量 . 属