2021高考一轮复习教案-函数的奇偶性与周期性

1、第三节函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义.知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x) = f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x) - f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称易误提醒1. 判断函数的奇偶性，易无视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2. 判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x,均有f( x) = - f(x),而不能 说存在 X0 使 f( xo)

2、 = f(xo)、f( X0)= f(xo).3分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否认函数在 整个定义域上的奇偶性是错误的.必记结论1 函数奇偶性的几个重要结论：(1) 如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)= 0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)= f(|x|).既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x) = 0, x D，其中定义域 D是关于原点对称的非空数集.(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相 反的单调性.2.有关对称性的结论：(1) 假设函数y= f(x+ a)为偶

3、函数，那么函数 y= f(x)关于x= a对称.假设函数y= f(x+ a)为奇函数，那么函数 y= f(x)关于点(a,0)对称.(2) 假设f(x)= f(2a - x),那么函数f(x)关于x= a对称.假设f(x) + f(2a-x) = 2b,那么函数f(x)关于点(a, b)对称.自测练习1. 函数 f(x)= lg(x+ 1) + lg(x- 1)的奇偶性是()A .奇函数B .偶函数C.非奇非偶函数D .既奇又偶函数2. (2021石家庄一模)设函数f(x)为偶函数，当x (0, +s )时,f(x)= Iog2x,那么f(- .'2) =( )1 1a . - 2B2

4、C. 2D . - 23. 假设函数f(x) = x2-|x+ a|为偶函数，那么实数 a=.知识点二函数的周期性1. 周期函数对于函数y= f(x)，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有fix+ T)= f(x)，那么就称函数y= f(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期.2. 最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.必记结论定义式f(x+ T) = f(x)对定义域内的x是恒成立的.假设f(x+ a)= f(x+ b),那么函数f(x)的周期为T = |a- b|.1 1假设在定义域内满足f(x+

5、a) = - f(x), f(x+ a)=厂，f(x+ a)=-厂(a>0).那么f(x)为周期函T xT x数，且T = 2a为它的一个周期.对称性与周期的关系：(1)假设函数f(x)的图象关于直线 x= a和直线x= b对称，那么函数f(x)必为周期函数，2|a- b|是它的一个周期.假设函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，那么函数f(x)必为周期函数，2|a b|是它 的一个周期.(3) 假设函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x= b对称，那么函数f(x)必为周期函数，4|a b|是它的一个周期.自测练习14. 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+ 2

6、)=，假设f(1) = 5,那么f(f(5) =,f x考点一函数奇偶性的判断|f(x) =1 x2 + .X2 1 ; (2)f(x) =3 2x +判断以下函数的奇偶性.2x 3;(3)f(x)= 3x-3 x；(4)f(x)= | ；(5)f(x) =x2 +x, x>0, x2 x, x<0.函数奇偶性的判定的三种常用方法1. 定义法：2. 图象法:3.性质法：“六.丄六.曰六.奇十奇是奇，“奇_奇 日六.是奇,“奇奇是偶，“奇询是偶;“偶十偶是偶，“偶_偶是偶，“偶偶是偶，“偶耳禺是偶;奇偶 是奇，“奇吋禺曰吞 是奇.考点二函数的周期性I设f(x)是定义在R上的奇函数，且

7、对 任意实数 x,恒有 f(x+ 2) =- f(x).当 x 0,2时，f(x)= 2x x2.(1) 求证：f(x)是周期函数；(2) 当x 2,4时，求f(x)的解析式；(3) 计算 f(0) + f(1) + f(2) + f(2 017).判断函数周期性的两个方法(1)定义法.图象法.1函数f(x)是定义在R上的偶函数，假设对于x>0,都有f(x+ 2) = - -7-,且当x 0,2) T X时，f(x)= Iog2(x+ 1)，那么求 f( 2 015)+ f(2 017)的值为.考点三函数奇偶性、周期性的应用I高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇

8、偶性、周期性、单调性的综合考查.归纳起来常见的命题探究角度有：1. 奇偶性求参数.2利用单调性、奇偶性求解不等式.3. 周期性与奇偶性综合.4. 单调性、奇偶性与周期性相结合.探究一奇偶性求参数1. (2021高考全国卷I )假设函数f(x) = xln(x+pa + x2)为偶函数，贝U a=.探究二利用单调性、奇偶性求解不等式12. (2021高考全国卷H )设函数f(x) = ln(1 + |x|) 12，那么使得f(x)>f(2x 1)成立的x的1 I x取值范围是(A11A. 3，1)B. a, £ u (1 ,+8 )111,1C. - 3，3D.OO_，3u 3，

9、+O探究三周期性与奇偶性相结合3. (2021石家庄一模)f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，假设 f(1)<1 , f(5)=2a 32a，那么实数a的取值范围为()a+ 1A . ( 1,4) B . ( 2,0) C . ( 1,0) D . ( 1,2)探究四单调性、奇偶性与周期性相结合4. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x 4) = f(x)，且在区间0,2上是增函数，那么()A . f( 25)<f(11)<f(80)B . f(80)<f(11)<f( 25)C. f(11)<f(80)<f( 25)D . f( 25)<

10、f(80)<f(11)函数性质综合应用问题的三种常见类型及解题策略I(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象I的对称性.i(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换,I将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解.|(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的:区间，然后利用奇偶性和单调性求解.2构造法在函数奇偶性中的应用【典例】M，最小值为m,那么M + m=x 丄 1 2 + sin x设函数f(x)=2的最大值为x十1思路点拨直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取，所以可

11、考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解.方法点评在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题.跟踪练习 f(x) = x5 + ax3 + bx 8，且 f(-2) = 10,那么 f(2)等于()A26B. 18C. 10D . 10A组考点能力演练1. (2021陕西一检)假设 f(x)是定义在R上的函数，那么“ f(0) = 0是“函数f(x)为奇函数 的()A 必要不充分条件B 充要条件C.充分不必要条件D 既不充分也不必要条件1 x112. (2

12、021唐山一模)函数f(x) = x+ log2+ 1，那么f； + f 的值为()1 + x221A . 2B. 2C. 0D. 2log2§4x2 2, 2 W xW 03. 设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x 2,1)时，f(x) =x, 0<x<1那么 f 5 =()A.0B.1c.1D. 14.在R上的奇函数f(x)满足 f(x+ 3) = f(x),当i 0<XW 1 时，f(x)= 2x,那么 f(2 015)=()11A.2B.2C. 25.设奇函数f(x)在(0,+s )上是增函数，且f(1) = 0，那么不等式 xf(x) f( x)&

13、lt;0 的解集A . x| 1<x<0,或 x>1B . x|x< 1，或 0<x<1C. x|x< 1，或 x>1D . x| 1<x<0,或 0<x<16.f(x)是定义在 R上的偶函数，f(2) = 1，且对任意的x R，都有f(x+ 3) = f(x),那么 f(2 017) =.x37.函数f(x)= x+ 1 3x + a为奇函数，那么 a=&函数f(x)在实数集R上具有以下性质：直线 x= 1是函数f(x)的一条对称轴；f(x+ 2) = f(x);当 1 < X1VX2W 3 时，f(x2)

14、 f(x1)(x2 X1)<O,那么 f(2 015), f(2 016), f(2 017) 从大到小的顺序为 .x2 + 2x, x>0 ,9.函数f(x) = 0, x= 0,是奇函数.x2+ mx, x<0(1) 求实数m的值;假设函数f(x)在区间1, a 2上单调递增，求实数 a的取值范围.10.函数y= f(x)(xz 0)是奇函数，且当x (0,+s )时是增函数，假设f(1) = 0，求不等式1f x x 2 <0的解集.B组高考题型专练)设函数f(x), g(x)的定义域都为 R，且f(x)是奇函数，g(x)1. (2021高考新课标全国卷I 是偶函

15、数，那么以下结论中正确的选项是A . f(x)g(x)是偶函数B . |f(x)|g(x)是奇函数D. |f(x)g(x)|是奇函数2. (2021高考安徽卷)设函数f(x)(x R)满足 f(x+ n = f(x) + sin x.当 0< x<n 时,f(x)= 0,bF1A.2C.3.(2021高考广东卷)以下函数中,既不是奇函数，也不是偶函数的是()y=1 + x21B .尸 x+C.y = 2x+ £D . y= x+ ex4.(2021高考天津卷)定义在R上的函数f(x)= 2x m| 1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53), b= f(log25

16、),c=f(2m)，那么a, b, c的大小关系为()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a5. (2021高考湖南卷)设函数 f(x) = ln(1 + x) ln(1 x),贝U f(x)是()A .奇函数，且在(0,1)上是增函数B .奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D .偶函数，且在(0,1)上是减函数答案:x+ 1>01解析：由知x>1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数.x- 1>0答案：C12解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(- .2)

17、= f( .2)= log2.2=，应选B.答案：B3解析：/ f( x) = f(x)对于x R恒成立，. x+ a|= |x+ a|对于x R恒成立，两边平 方整理得ax= 0对于x R恒成立，故 a= 0.答案：01 14解：f(x+ 2) = &，二 f(x+ 4) = f x+ 2 = f(x),11 f(5) = f(1)= 5,. f(f(5) = f( 5) = f(3)=片=-.f 151答案：-5考点一x2 1?0,解：(1)由 2得 x= ±1,1 x2?0, f(x)的定义域为 1,1 又 f(1) + f( 1) = 0, f(1) f( 1) =

18、0,即 f(x) = ±( x) f(x)既是奇函数又是偶函数. 3(2) 函数f(x)= ,3 2x+ , 2x 3的定义域为，不关于坐标原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.(3) / f(x)的定义域为 R, f( x)= 3x 3x= (3x 3 x) = f(x),所以f(x)为奇函数.4 x2> 0,.由得一2 < x< 2 且 xm 0.X+ 3| 3M 0, f(x)的定义域为2,0)U (0,2, )4 x24 x24 x2|x+ 3| 3 x+ 3 3 x f( x)= f(x) , f(x)是奇函数.易知函数的定义域为(一8, 0)

19、 U (0 , +8),关于原点对称，又当 x>0时，f(x)= x2 +x,那么当x<0时，一x>0,故 f( x) = x2 X= f(x)；当 x<0 时，f(x)= x2 x,那么当 x>0 时，一x<0 , 故f( x) = x2 + x= f(x)，故原函数是偶函数.解 f(x+ 2) = f(x),f(x+ 4) = f(x+ 2)= f(x). f(x)是周期为4的周期函数.(2) 当 x 2,0时，一x 0,2，由得f( x) = 2( x) ( x)2= 2x x2.又 f(x)是奇函数， f( x)= f(x)= 2x x2 , f(x

20、) = x2+ 2x.又当 x 2,4时，x 4 2,0，f(x 4) = (x 4)2 + 2(x 4).又f(x)是周期为4的周期函数， f(x) = f(x 4)= (x 4)2+ 2(x 4) = x2 6x+ 8.从而求得 x 2,4时，f(x)= x2 6x+ 8.(3) f(0) = 0, f(2) = 0, f(1) = 1，f(3) = 1.又f(x)是周期为4的周期函数， f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = f(4) + f(5) + f(6) + f(7)=f(2 008) + f(2 009) + f(2 010) + f(2011)= f(2 01

21、2) + f(2 013) + f(2 014) + f(2 015) = 0, f(0) + f(1)+ f(2) + + f(2 017) = f(0) + f(1) = 0+ 1= 1.1解析：当 x>0 时，f(x + 2)=,f x f(x+ 4) = f(x)，即 4 是 f(x)(x?0)的一个周期. f(2 017) = f(1) = log22 = 1,1 f( 2 015) = f(2 015) = f(3)=-亓=-1, f(- 2 015) + f(2 017) = 0.答案：01解析：由题意得 f(x) = xln(x+ a + x2) = f(- x) = -

22、 xln( . a + x2-x)，所以，a + x2+ x =1a + x2-x，解得a= 1.答案：112. 解析:函数 f(x)= ln(1 + |x|)- 2, f(-x)= f(x),故 f(x)为偶函数，又当x (0, +I十xg)时，f(x) = ln(1 十 x)-11- x2,f(x)是单调递增的,故 f(x)>f(2x-1)? f(|x|)>f(|2x 1|), |x|>|2x1-1| ,解得3<x<1，应选A.答案：A3. 解析：/ f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数, f(5) = f(5- 6) = f(- 1)= f(1), f(1

23、)<1 , f(5)=2a 3a- 1，2a3 a4-訐1<1,即不<0，解得1<a<4 ,应选A.答案：A4. 解析：/ f(x)满足 f(x- 4) =- f(x), f(x- 8) = f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，那么 f( - 25)= f(- 1) , f(80) = f(0) , f(11) = f(3).由f(x)是定义在 R上的奇函数，且满足f(x 4) = - f(x)，得f(11) = f(3) = - f(- 1) = f(1). f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数， f(x)在区间-2,2上是增函数,

24、f(- 1)<f(0)<f(1),即 f(- 25)<f(80)<f(11).答案：D【典例】解析易知f(x) = 1-2：十十1 X2x sin x设 g(x) = f(x)-1= r-那么g(x)是奇函数. f(x)的最大值为 M ,最小值为 m, g(x)的最大值为 M 1,最小值为 m 1,二 M 1 + m 1= 0 , M + m = 2.答案2解析：由 f(x) = x5+ ax3 + bx 8 知 f(x) + 8 = x5 + ax3 + bx,令F(x)= f(x) + 8可知F(x)为奇函数， F( x) + F(x) = 0. F( 2) + F

25、(2) = 0, 故 f( 2) + 8 + f(2) + 8= 0. f(2) = 26.答案：A1解析：f(x)在 R上为奇函数？ f(0) = 0; f(0) = 0? / f(x)在R上为奇函数，如f(x) = x2, 应选A.答案：A2解析：由题意知,1 xf(x) 1 = x+ log2+x,f( x) 1 = x+ lOg2S = xI 1 xlog2T+；=1 1 1 1(f(x) 1)，所以 f(x) 1 为奇函数，那么 1+ f 2 1 = 0,所以 f° + f 2 = 2.答案：A51113解析：因为f(x)是周期为3的周期函数，所以fQ = f 2 + 3

26、= f 2 = 4 X 2 2 2 =1,应选D.答案：D4解析：由 f(x+ 3)= f(x)得函数的周期为 3,所以 f(2 015) = f(672 X 3 1) = f( 1) = f(1)=2,应选A.答案：A5解析：奇函数f(x)在(0,+)上是增函数,又 f(1) = 0, f( 1)= 0,从而有函数f(x)的图象如下列图：那么有不等式xf(x) f( x)<0的解集为x| 1<x<0 或 0<x<1，选 D.答案：D6解析：由 f(x+ 3) = f(x)得函数 f(x)的周期 T = 3，贝U f(2 017) = f(1) = f( 2)，又

27、 f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2 017) = f(2) = 1.答案：17解析：由题意知，g(x)= (x+ 1)(x+ a)为偶函数， a= 1.答案：18解析：由f(x+ 2) = f(x)得f(x+ 4) = f(x),即函数f(x)是周期为4的函数，由知f(x) 在1,3上是减函数.所以 f(2 015) = f(3) ,f(2 016) = f(0) = f(2) ,f(2 017) = f(1)，所以 f(1)> f(2)>f(3), 即 f(2 017)>f(2 016)>f(2 015).答案：f(2 017)> f(2 016)>

28、; f(2 015)9. 解：(1)设 x<0，那么x>0,所以 f( x)= ( x)2+ 2( x)= x2 2x.又f(x)为奇函数，所以f( x) = f(x),于是 x<0 时，f(x) = x2 + 2x= x2 + mx，所以 m= 2.要使f(x)在1，a 2上单调递增，a 2> 1，结合f(x)的图象知a 2< 1，所以1<aw 3，故实数a的取值范围是(1,3.10. 解：/y= f(x)是奇函数， f( 1)= f(1) = 0.又/ y= f(x)在(0，+ g)上是增函数， y= f(x)在(，0)上是增函数，假设 f x x1 2 <0 = f(1)，1x x 2 >0，x x 2 <1，即 0<xx 2 <1，解得 2<x<-x x 2 < 1，解得 x ?.原不等式的解集是1 1+ ,17 亠 1 . 17x <x<或<x<0.或上了卫<X<0.11XX 2 <