期中复习3推理与证明

1、WORD格式08 学年高二期中复习 3 推理与证明一、知识点梳理 :1、合情推理：归纳推理和类比推理 归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对 象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到 一般的推理。归纳推理的一般步骤：对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； 提出带有规律性的结论，即猜想；检验猜想。 类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有 与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）。类比推 理是一种从特殊到特殊的推理。类比推理的一般步骤： （1）找出两类事物之间的相似性或一致性；

2、 （2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（ 3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两 个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类 比的结论可能是真的；（ 4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的 性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。合情推理所得的结论只是一种猜测，它可能是正确的，可能是错误的。若有反 例则猜测错误，若正确则需逻辑证明。2、演绎推理：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、定理、公理等） ，按照严格的逻辑法 则得到新结论的过程 ., 演绎推理是由一

3、般到特殊的推理 .演绎推理的一般模式 “三段论”大前提 - 已知的一般原理，因为，M是 P小前提 - 所研究的特殊情况，因为， S 是 M 结论 据一般原理，对特殊情况做出的判断 .所以，S是 P演绎推理所得到的结论必是正确的。3、数学证明大法：（ 1）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证， 最后推导出所要证明的结论成立的一种证法 .综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公 式，推出结论。（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义

4、、公理等）为止 .分析法的思维特点是：执果索因，一步一步寻求结论成立的充分条件，其逻辑 特征是步步逆推；（ 3）反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说 明假设错误，从而证明了原命题成立一种证明方法。反证法的步骤： 1） 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； 2） 从这个 假设出发，通过推理论证，得出矛盾； 3） 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的 结论正确。（4）数学归纳法：对一个与正自然数有关的数学命题（1） 证明：当 n 取第一个值 n0结论正确；（2） 假设当 n=k（k N*，且 kn0） 时结论正确，证明当 n=k+1时结论也正确 .由 （1） ，（

5、2） 可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数n 都正确常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性 的证明。1 3/26/2013专业资料整理4、其它数学证法：（1）放缩法 . （2）函数单调性法（ 3 ）构造法：构造函数、构造方程、构造二项式、构造几 何图形等（ 4）“ ”法（ 5）数形结合法（6）换元法：代数换元、三角换元（ 7 ）分类讨论法（ 8）导数法法。（ 9）先猜后证法。等等 .、典例讨论：例 1：（ 1）下面给出了关于复数的四种类比推 理：复数的加减法运算可以类比多项式的加 减法运算法则；2 2z 的性质由向量 a 的性质 | a| 2=a2 类比得到复数 |z|2方程 ax22

6、=zbx(,abcR）有两个不同实数根的条 , 件4ac0可以类比程得到：方azbz(,abc C ） 有两个不同复数根的条 件4ac0由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几 何意义其中类比错误的是A.B.。解析： 知。B由.C. 的性质可（2）定义 那么下图中 的（A B, B C,C D,DA）、（ B）所对应的运算结果可能A的运算分别对应下图中的1） 、（(2) 、(34) 、，1）（2）（3）（4）（A）（B）A.BD,A DB.B D,A CC.BC,A DD.C D,A D答案： B。（ 3）在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的 高的 1 ”

7、。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面3体的高的 。答案： r 1h。解析：采用解法类比。4（4）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数 函数中可抽象出 f（x 1 x2） f（x 1） f（x 2） 的性质；从对数函数中可抽象出f（x 1x2）f（x 1） f（x 2） 的性质。那么从函数（ 写出一个具体函数即可 ）可抽象出 f（x 1 x2） f（x 1） f（x 2） 的性质。答案： y=2x。解析：形如函数 y=kx（k 0） 即可，答案不惟一。5)利用数学归纳法证明(n 1)(n 2) (n n) 2n 1 3 (2

8、n 1),n N* ”时，从“ nk”变到n k 1 ”时，左边应增乘的因式是( )2 3/26/20132k 1(2k1)(2k 2)2k 3A2k1BC Dk 1k1k 1答案： C。(6)命题“关0(a0) 的解是唯一的”的结论的否定于x 的方程 ax是()B、两A、无解解C、至少两解 D、无解或至少两解答案： D。解析：“否定”必须包括所有的反面情形例 2：( 分析法 ) ABC的三个内角 A、B、C成等差数列，求1证：答案：证明：要证 1 1abbcabc3 ，即需证 b c abc3 ab bcb ca即 证c abbca 1。又需证 c(bc) a(a b) (a ABC三个内

9、角由余弦定 理，有c2a2acb)(b c) ，需证 c2 a2 ac b 2A、22bcb2成立，C成等差数列。 B=60 2cacos60，即 a b2 命题得证。B、2222c a ac例 3：已知： sin 230sin222 90 sin 21503 2 2 2；sin 5 sin 265 sin 21252通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的. 并给出证正确的命题明。答案：一般形式 :sin 2 sin 2(260) sin 2(120 )1cos21cos(2120) 1 cos(2 240)证明：左边 =2221cos(= 3 1cos2cos(2120)2240)2 2

10、3 1sin12cos2 cos2 cos120 sin2 0 2 2cos2cos240 sin2 sin24011cos22=32 (将一般形式写 成1cos223sin221cos23sin22 2= 3 右边2sin 2(60)2 sinsin 2(60)3,2sin 2(240)sin2(120)2sin等均正确。)“例若4：请你把不等式,a 2是正实数，则 a1有a12 a2a2”a1推广到一般情形，并a2a1WORD格式8 学年高二证明你的结论。答案：推广若的结论：a1,a2,a n都是正数，3 3/26/20132专业资料整理22a1a2f(n)a1 a2anan 1a122a

11、1a2,a n都是正数 a22a1 ，a12a2a2a1an2 1an2an12，ana12anana122a1a2an2an2a1a2ana2 a3an1a1nnN) ，满足条件：f(2) 2f(xy)f(x)f(y)()(；当f(y)xy 时，有 f(x)证明： a1,a 2,N*a2a3例 5：已知函 数(1)求 f(1) ， f(3) 的值；(2)由 f(1) ，f(2) ， f(3) 的值，猜想f(n) 的解析式；(3)证明你猜想的f(n) 的解析式的正确性 .答案：(1)解： f(2)f(1)1.f(2) f(1) ，又 f(2) f( 又 f(4) 22，2) f(2)f(2)4

12、2 f(2) f(3)f(4) 4，且 f(3)N* f(3)3.(2) 解：由 f(1) 1 ，f(2)2，f(3)3 猜想() f n(nn(3)证明：用数学归纳法证明：当 n1 时， f(1) 1，猜想正确；假设 n k(k1,k N*) 时，猜想正确，即 f(k) 若 k 为正奇数，则f( k1)f(2)k12 k 12 21 为正偶数，2k1为正整数， f(k2 k1) f( k 1 )22若 k 为正偶数，则 k2为正整数，f(k2)f( kf(2 k 2 2) f( k 2 ) ) 2 2k22k2，又 kf(k)2f(k1)f(k2)k2，且 f(k1)N4 3/26/2013

13、WORD格式08 学年高二专业资料整理所以 f(k 1) k 1即当 n由，可k1 时，猜想也正确知，)成* 立.fnnn作业:1 ,11观察式 子：5,14，, ，则可归纳出式子为A、C、2212222 2 2213222B、32132 解析：用2n12n 1D、22113212n12n22322n1n=2 代入选项判答案： C。 断 2有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面 线；已知直线, 则平行于平面内所有直直线 b平线ab 面 的，这是因 为 A.大前提错 误答案： A。解析： 直线3古希腊数学家把数 1，3，6，10， 21，,个三角数与 28 个三角数的差 第平面面 ，则直线 b

14、直线 a ”的结论显然是错误小前提错误直线平行于平面 , 并不平行于平面内所有C.推误理形式错15，D. 非以上错误叫性做，三第角数，它有一定的规律30答案： 59。解析：成数列归纳猜测a记这一系列三角数构an，则由a2 a1 2,a 3a230,aa3,aa34,a30 29 29 2829，两式相加得59。 a或由n。猜测 an 124数列a n是正项等差数列，bna130 281,a1 22,a323，2a2 3a 3nan，则数列b n也为等差数列.类比上述结论，数列写出正项等比c n，若 dn=，则数列 d n也为等比数列.5答案：答案：(c123 c2c3cnn)123n。AC,B

15、D是菱 形ABCD的对角 线，答平案分：菱形对角线互相垂直且AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提WORD格式专业资料整理的外接圆的半6.在 ABC 中，若 C=90， AC=b,BC=a，则 ABC 径ra2 b2 ，把上2面的结论推广到空间，写出相类似的 结论是答案：本题是“由平面向空间类 。考虑到平面中的图形是一个直角三 比” 角形， 所以在空间中我们可以选取 3 个面两两垂直的四面体来考 有取空间中有三条侧棱两两垂直的四 面体则此三棱锥的外接球的半径 是r虑。ABCD，且 AB=a，AC=b，AD=c，22b c 。2第三 15颗珠宝,第四件 28 颗珠宝,第 件 五件7第一

16、件 1 颗珠宝,第二件 6颗 珠宝 ,宝, 以后每件首饰都在前一件上 , 按照这种规律增加一定数量的珠宝 , 使它构成更45 颗珠5 3/26/20138 学年高二大的正六边形 , 依此推断第 6 件上应有 颗珠宝 ; 则前 n 件所用珠宝总数为 颗.( 结果用 n 表示 )nn 1 4n 1答案： 66,解析：利用归纳推理知。8在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c a2 1 2 2 22(a 1) ，22 a a aa2 b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条 侧棱两两s4表示截面面积，那么

17、答案： S1你类垂直的三棱锥 OLMN，如果用 s1,s 2,s 3 表示三个侧面面积，比得到的结论是s4表示截面面积，那么 垂直的三棱锥 OLMN，如果用 s1,s 2,s 3 表示三个侧面面积， 你类 比得到的结论 是.9有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手， 甲说：“是乙或丙获奖。”乙说：“甲、丙都未获奖。”丙说：“我获奖了。”丁说： “是乙获奖。”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 答案：丙。解析：若甲获奖，则四人说的话全错，同理可推知乙、丙、丁获奖情况。10用分析法证明：若1a0，则 a22答案：证明：21 2) 2 a要证只需证 a2 1

18、2 a 1 2。2aa a0，两边均大于零，因此只2 2需证( a2 1 2) 2(a2只需证 a2 1 4 4a22aa6 3/26/20138 学年高二2 12 2）只需证 a2 1 2 （a 1） ，只需证 a2 1 1 （a2 1 ，2 2 2 a22 a a2 2 a22 1 ，它显然成立。原不等式成 即证 a22 立。2a11用数学归纳法证明：) 1222n2n(n 1)；（7 分）13 3 5 (2n 1)(2n1)2(2n 1)1 1 1 1n；（7（）1分）2 3 4 2n 1答案：（ 1）可以用数学归 - 纳法 - 略时，左11112)当 n k 1 边(1 22k1)(2

19、k2k1 1)k(1 11k 11=右边，命题正2k 2k2k ) kax在2 2kk 确12设 a 0,函数 f（x） x3 1, ）上是单调函数 .1）求实数 a 的取值范 围；2)设 x01，f(x) 1，且 f(f(x0)x0，求证：f(x 0)x0.答案：2f(x(1)y f xxa ,)1,()3若在上是单调递减函数，则须3x2,这样的实数 a不存在.故 f（x）在0, 即 a1,上不可能是单调递减函数 .若 f(x) 在1,上是单调递增函数，则 a3x2，由, 故 23. 从而于 1,30a 3.xx（2）方 1：可知 f(x)在 上只能为单调增函法 1,数.若 1 x0f(x 0)，则f(x 0)f(f(x 0) x0矛盾,f（x 0） 矛盾，若 1f(x 0)x0,则 f(f(x