定积分与原函数的关系PPT课件

1、xab)(tfy 定积分与原函数的关系定积分与原函数的关系一一. .变上限的定积分及其导数变上限的定积分及其导数的的函函数数是是xdttfxxa,)()( 上上连连续续，在在区区间间设设函函数数,)(baxf分分，现现在在考考察察变变上上限限的的定定积积取取,bax上上连连续续，在在设设定定理理,)(1baxf,)()(baxdttfxxa 则则函函数数在在上上可可导导xaxxadttfdttf)()()()( fxx因因此此)()(lim)(lim0 xffxxxx )()()(xfdttfdxdxxa 且且),()(之之间间与与介介于于xxxxf )()(xfx 即即),(),(baxxb

2、ax若若证证明明：)()()(xxxx 则则xxxdttf )(xtdtdxd0sin1 求求例例xtdtdxdxsinsin0解解：)0(sin220 xdttdxdx求求例例xxxxsin)(sin222解解：原原式式21023xdtextxcoslim. 求求例例)(lim2cos102xdtextx解解：原原式式1cos0212)sin(lim2exxexx定理表明定理表明: :(1)(1)连续函数一定存在原函数连续函数一定存在原函数(2) (2) 把定积分与原函数之间把定积分与原函数之间建立起联系建立起联系xadttfx)()( ,)(上上连连续续在在区区间间如如果果函函数数baxf

3、上上的的一一个个原原函函数数在在就就是是,)(baxf则则函函数数.2定定理理二二. .牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式baaFbFdxxf)()()(则则)()(xfxF是是连连续续函函数数如如果果函函数数,上上的的一一个个原原函函数数在在区区间间ba.3定定理理)()()()(aFbFxFdxxfba即即:证证明明,)()(xadttfx 设设,)()()(的的一一个个原原函函数数都都是是与与因因为为xfxxF cxxF)()(, 所所以以aadttfa0()( caF)(badttfb)()( )()()(aFdxxfbFba得得)()()(aFbFdxxfba,时时当当ax 时时当当

4、bx 31)01(3131)1(103102xdxx2lnln)2(1212xxdxxysin0 0cossin0 xxdxs计计算算下下列列定定积积分分例例:解解轴轴上上与与在在计计算算正正弦弦曲曲线线xxy, 0sin)3( 积积所所围围成成的的平平面面图图形形的的面面20cos)(cos 第四节第四节 定积分的换元积分法与分布积分法定积分的换元积分法与分布积分法一一. .定积分的换元积分法定积分的换元积分法定定理理：上上是是单单值值的的在在区区间间）函函数数（,)(2 tx ;且且有有连连续续的的导导数数上上连连续续；在在区区间间）函函数数（,)(1baxf设设）上上变变化化时时，（或或

5、在在区区间间）当当（,3 tba)(,)( 且且变变化化，的的值值在在,)(batx dtttfdxxfba)()()(则则有有注意注意: :换元的同时一定要换限换元的同时一定要换限) 0(1022adxxaa计计算算例例tdtadxtaxcos,sin则则设设解解;0,0tx时时当当2 tax时时当当dtta2022cos24a dtta)cos(202212dxxaa022于于是是2022122)sin(tta205sincos2 xdxx计计算算例例xdxdtxtsin,cos则则设设解解0,2; 10txtx时时当当时时当当 6165011055tdttdttxdxxsincos520

6、 于于是是dxxx 053sinsin3 计计算算例例dxxx 053sinsin:解解dxxx cossin03 ;0cos2, 0 xx时时，当当 dxxx cossin03 故故有有54)52(52)sin52sin52(22525 xxxdxxxdxxcossincossin23203 0cos,2xx时时当当 dxxx 023cossin401. 4xdx计计算算例例,:2tx令令解解; 0,0tx时时当当所所以以)3ln2( 2证证明明例例:5上上连连续续且且为为偶偶函函数数，在在若若,)()1(baxf则则aaadxxfdxxf0)(2)(2040121dtttxdx20 )1l

7、n(2)111(220ttdtttdtdx2则则; 2,4tx时时当当,)()2(上上连连续续且且为为奇奇函函数数在在若若baxf则则0)(aadxxf00)()(aadxxfdxxf0)(adxxf对对积积分分则则得得作作代代换换,tx:证证aadxxf)(因因为为aaaadxxfdttfdttfdxxf0000)()()()(0)(aadxxf从从而而aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(adxxfxf0)()(,)()1(为为偶偶函函数数若若xf则则)(2)()(xfxfxfaaadxxfdxxf0)(2)(从从而而),()(,)()2(xfxfxf即即为为奇奇函函数数若若则则

8、0)()(xfxf),()(xfxf即即于于是是上上连连续续，在在若若例例1 , 0)(6xf:证证明明2020)(cos)(sin)1( dxxfdxxf,)(sin2)(sin)2(00 dxxfdxxxf由由此此计计算算dxxxx 02cos1sin,2) 1 ( :dtdxtx则则设设证证 且且0,2;2,0txtx时时当当时时当当 dttfdxxf)2sin()(sin0220 ,)2(dtdxtx则则设设 . 0,0txtx时时当当时时当当 且且2020)(cos)(cos dxxfdttf00)(sin)()(sin dttftdxxxf 0)(sin)(dttft于是于是xdx

9、xfdxxf 00)(sin)(sin 00)(sin)(sindtttfdttf 00)(sin2)(sindxxfdxxxf所所以以4)44(22 利利用用上上述述结结论论，即即得得dxxxdxxxx 0202cos1sin2cos1sin 0)sarctan(co2x 02cos1cos2xxd二二. .定积分的分布积分法定积分的分布积分法),(),(xvxu则有则有vuvuuv )(,上上的的定定积积分分分分别别求求这这等等式式两两端端在在badxvuvudxuvbaba)(上上具具有有连连续续导导数数在在区区间间设设函函数数,)(),(baxvxu分公式分公式这就是定积分的分布积这就

10、是定积分的分布积得得babaudvvdu,移移项项babavduuvudvbabadxvuvdxuuvba计计算算下下列列定定积积分分例例 0sin1xdxx）（解：解：, xu设设),cos(sinxdxdxdv则则 0sinx 0)cos(cos0dxxxx20sin)3( xdxJnn11ln111exedxxxxxeexdxxnxxnn22201cossin) 1(sincos0 exdx1ln)2( 00)cos(sinxxdxdxx201)cos(sin xxdn21nnJnnJxdxxdxnn2020cossin 2sin2000 xdxJ, 1sin201 xdxJnnnJnJndxxxn) 1() 1()sin1