2019届江苏省南通市南通市通州区、海门市高三第二次质量调研数学理试题(word版)

1、南通市通州区、海门市 2019届高三第二次质量调研数学理试题(总分160分，考t时间120分钟)2018. 11一、填空题(本大题共 14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.)a i1.若复数z=_a_l(awR, i为虚数单位)为纯虚数，则实数 a的值为.1 2i2 .从1, 2, 3, 5, 7这五个数中任取两个数，则这两个数之和是奇数的概率为.13 .设 a >0 且 a =1 , b WR,集合 A= , loga2, B= T , 0, 2b .若 A= B,则 a +b =.44 .函数f (x) =lg(4x 2)的定义域为.225 .若抛物线y2

2、 =2px(p 0) 的焦点恰好是双曲线 x-y =1的右焦点，则实数 p的值为.12 - m m 46 .将函数f (x) =sin2x的图像向右平移 三个单位，得到函数g(x)的图像，则函数y=g(x)在区间0,二62上的值域为.x-2y 4 _09 a4, 2a5成等差数列，则数列an的27 .已知实数x, y满足3x y3W0 ,则z=2x+y的最大值为. x -08 .在公比不等于1的等比数列an中，已知2a3a5=a4,且a3,前10项和的值为.若AB= V13,且椭圆的离心率为 ,3229 .设椭圆C：、十g=1(aAbA0)的左顶点为A,上顶点为B, a b则过椭圆C的右焦点F

3、2,且与直线AB平行的直线l的方程为.10 .已知函数f (x) =ex e" 2sin x,则不等式f (2x2 1)+f (x) W0的解集为. T T T11 .在平面四边形 ABCM,若E为BC的中点，AE= 2, DE= 3,则AD (AB +DC)=.flg x , x >012 .已知f(x)= < .，若函数y = 2f (x)-a 1存在5个零点，则实数 a的取值范围为.2' x<013 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点A(1, 1), B, C为圆O: x2 + y2 = 4上的两动点，且 BC= 2石，右圆。上存在点P,使得AB +

4、AC =mOP, m>0成立，则正数 m的取值氾围为.14 .在 ABC中，设角A, B, C的对边分别为a, b, c.若J2a, b, c成等差数列，则+2- sinA sin C的最小值为.二、解答题(本大题共 6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15 .(本小题满分14分)如图，直三棱柱 ABC-A1B1C中，M N分别为棱 AC和AB1的中点，且 AB= BC.(1)求证：平面 BMNL平面 ACCA1；(2)求证：MN/平面 BCCB1.C16 .(本小题满分14分)22.一在 ABC中，已知 sin A -sin B =

5、 (sin A -sinC)sin C .(1)求内角B的大小；一3 一(2)右 cosA ,求 sin2c 的值.17 .(本小题满分14分) 22如图，设点F2(1, 0)为椭圆E：谷+* =1(a Ab >0)的右焦点，圆C：(x a)2+ y2 = a2,过F2且a b斜率为k(k> 0)的直线l交圆C于A, B两点，交椭圆 E于点P, Q两点.已知当k= J3时，AB= 2展.(1)求椭圆E的方程;10(2)当PF2=上时，求 PQC勺面积.318 .(本小题满分16分)如图为某大江的一段支流，岸线11与l 2近似满足11 / 12,宽度为7km圆O为江中的一个半径为 2

6、km的小岛，小镇 A位于岸线11上，且满足岸线11LOA OA= 3km.现计划建造一条自小镇 A经小岛O至对岸12的通道ABC(图中粗线部分折线段，B在A右侧)，为保护小岛，BC段设计成与圆 O相切.设/ ABC=冗n -6(0 <6 <).2(1)试将通道ABC的长L表示成日的函数，并指出定义域;(2)求通道ABC的最短长.-15 -19 .(本小题满分16分)n都有bn,设数列an的前n项和为Sn,且Sn =n- .数列bn满足h = J2 ,且对任意正整数n 2工，bn4成等比数列.an(1 )求数列an 的通项公式;(2)证明数列bn为等差数列;(3)令cn=2j2bn-

7、3,问是否存在正整数mik,使得cm ,%书，Ck成等比数列？若存在，请求出m k的值；若不存在，请说明理由.20 .(本小题满分16分)设 m R,函数 f(x)=x2+mx, g(x)=ex, f'(x)为 f (x)的导函数.(1)若曲线y = f'(x)与曲线y = g(x)相切，求实数 m的值；f (x)(2)设函数 H(x)=() , m(0, 1),若 H(xo)为函数 H(x)的极大值，且 x°W(k, k + 1), g(x)3k = N .求k的值；求证：对于 Vx = (k , k+1), H (x) < 一成立.e附加题21 .（本小题满

8、分10分）.0 12 0什2.2 .、一.0 -201已知矩阵A= |, B= I .若曲线C： x2+y2=1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线 C2,求曲线C2的方程.22 .（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点 P（2j2,；）,圆C的方程为P = 2j2cosH ,求过点P且与圆C相切的直线 的极坐标方程.23 .（本小题满分10分）x已知函数 f（x）=sin, x = R,记 fnjx）为 fn（x）的导数，n= N .（1）求 f2（x）, f3（x）；（2）猜想fn（x）, nW N'的表达式，并证明你的猜想.24 .(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已

9、知点F为抛物线E: y2 =2px(p >0)的焦点，点A在抛物线E上，点 在x轴上，且 AFB是边长为2的等边三角形.(1)求抛物线E的方程；(2)设C是抛物线E上的动点，直线l为抛物线E在点C处的切线，求点B到直线l的距离的最小值, 并求此时点C的坐标.高三数学弁考答案与评分标准21£1021L -2； 2,-；工一不 4. （，田）；5. 8； 6.-拳J卜 7. 7； 8. *工52 21289. 2x-3j-2>/?=0： 10,11, -5： 12, （LJ） ： 13.点7鱼+1h 14. 2（苏+ 1）.15.证明：(1)因为M为梭/C、的中点，且.仙=

10、S，所以BM1疣,因为©?C-48£是直三校柱,所以411平面dE，因为凡，匚平面WBC,所以ALBM ,又阂为平面/G4,且/ln4d =7， 所以上平面不(?G4.因为卸fu平面外热.所以平面6MV 1平面4c4 .(2)取取,的中点P,连接4/和ML因为廿、P为棱.优、BC的中点, 所以卬"."且,MP、*；, 因为.如r-4印；是桢住.所以4勒/",4禺= /R.因为可为桢44的中点，10分所以4A 48d ,且=.1 刀 2所以qApy. H Bv = pm *所以MV瓦产是平行四边形*12分所以M¥ "尸骂.又因

11、为MV *平面成'禺 叫u平面酰'C禺所以AfN "平面60比.*14分（注意，也可以牧国G的中点同理用线面平行的判定定理证得）（说明；如用面面平行的性质定理证的话.一定要先证线面平行，到面面平行*再用面面平行的性质定理法得）16.解】（”在ME中.设角/. 6,的对边分别为-b * j由正弦定理-=及an，卫 sin A sm 百 smCa - b =皿-c1 * 即 J + c1 -b =oc.由余弦定理将ss 8 = " "= L *lac 2因为0<8<jt i所以R =m.3(2)因为在&4BC中+cm4坐，所以 sm

12、 A = Jl - cob '1=134所以 0m 24 = N川 JcofiJ =.38s 2H * cos2 J - sn； A = -.3而 M ' = 2(点一 / 工)=-2A ,sn2 B «(sin A - sinOsin C 得 .» a r * * i- 4 « *7 Jr，4分8分8分TO分12分所Lisin2= k呵半T一心=sm 半cos216I另解stn£ =smi J + ) = sm Jc<k -+cos/fsm =3336所以 UD 2f+ = 2sin t cos C«614分附分12分1

13、4分当然这里求as时也可以用叫？ r+cos'UG,当然判断角U的范阳）17.解工C”因为宜躅/过点£（1,5.且斜率* = /, 所以宜线的方程为即百t-p-6 = O1所以眼心如 到月山!的距离为也可以不加绝对值.因为口>1) 父因为川8 = 2遥.图的半卷为”n 之 ji ± Hu£ 3曰-11 i所以（）+ d - a t 即8+=a .24耕之得.1二3或白二-9(舍去).所以廿=-c1 =8 +22所以所求椭圆E的方程为*+=I *t rj 1由U)得，椭词的右准线方程为由u = 9,离心率e = L = L.a 310则点P到右准线的跑

14、离为d = ；=io.e3所以9一4= 10*即工产=-1./ V2R把与一1代入稳方程*十9=1得,心弋.因为直线/的斜率A>%所以，二一一” d-T.33T分T分、*6分噌分川分说明：求点片片W时可以根据尸乙=加-】八八及点心力在当1上 jy p联支方程纲解存】宜接用焦半程公式求得41扣1粉)Q因为共保过印1朋和所以直找的方程为F = ：h-1).联立方程维，得37-4工-7血解得 x =-l p1c j =. 312分所以所以ATpC的面积¥ = k巧*（理-= yX 2x? + 3 =?,4分 (1)过点作UD_L4于八点T因为, 4与的距离为7km ,所以/8。= %

15、 5C = ->2 分以。为原点，建立如图所示的宜用坐标系，因为4J.Q4* OA = 3km,所以设刖事,-33则在线的方程为r +J = tan植工一4），即rtan出-1一句丽口7 =。 4分因为取'与战O相切*龊。的半径为2km.所以用？以2.因为,之0. 0<口<"所以“ =1：；”, 、-% coa即/£ =一.驯门。所以上AB + BC* *iM0*8分眄。.工 2-3oostf n八八宣化百 八2由卜/ =20 0 </? <- t 所以«£一麻。23令二.%£电蓊 3则因为函数=的&

16、;工在付,方上单调递洲I所汉备工日<三.即函数£（明的定义域为%,日）为 设BC与。的切点为F *连接OB .因为四点4凡F共聊.所以乙找甲=0 , 侬=" 所以由余弦定度得.加=JaP+"-XM，op 二杆】右讥由正弦.理得（排土卫三立.即8£5耶=J（* （短=八缶"，同样要给田8耳口，鼻的理由，） smtf3（2）/= -T9-产劭,叱上竽匕j.12分£ur8沏工用2V令上,0得COS9=§*则9=犷*其中£（0y） r且8号4=针19.】4分所续当。常时，口0工匕羽” sintf即通道4H的最坦长为6

17、日on.W：因为数列包的前门硼的和工=16分所以当J1 = I时* LT1 = y 当月之？目#£、时.4 =>-I分tn+ 2 ji +1 (用 + 1乂4 + 2)当力=i时.上式也成立所以数列® J的通项公式为4二=（rt+lHn + 2>*4分）证明工因为对任意正整数。都有。，田bit al (n+lMfl + 2)所以42.二丁，即好匕=;H("2ND两式相除用.对任意正整数n都有空二色b* n+1即 二 +« + 3 总+1当k为奇数时,所以与=3m + D = *<R十卜当/»为偶馥时2x3n+109（呜）工付一

18、0+uoy极小但/10分所以也=I)(灯4 1).fl E323）解；由3七二*分打为奇数和偶数.用费第也可以求得不当M+I1）ba rt +12卢卢产所以8“一电="5+2）一土书】+ 11=. ，、所以数列他为等差数列.12分（3）因为£=?回*-3*2仍+ 1）-3£%1所以r. = 2jm - I，c*广 2m + S）*l = 2rtt + 9 * 4因此存在正整St加,a使用噎尸公成等比数列O （2ffl + 9F =（2jn-h2A-l）O k * wt +10+ %14 分2m-l因为廊*都是正整税 则2册-1 = 1, 5, 25.即加=1. 3

19、, 口时.村搂的A ±6" 23. 25.所以存在夕J；或：=：；或 W 使得J J 。成等比数列. 16分k =61 k s23 k = 2LL20. (1) W： t = 'x = It + m设切点为g./）.则曲线产=制外在点（孙/）处的切线方界力* -卢=/a 7 j .即y =/工+产|工。.2分/ )结合题设存，忸寸1-看)=廊，所以 %=tn> m = 2-21n2所以实数加的值为2-2W2.4分12)解；用工"四 =工wR>以幻 K所以H(R =, *eR,e*e*/ A = 12 - m)2 + 4/n = /flJ + 4

20、 > 0 »。由"”) = 0 fl x' +(2-m)x + n7«O,即小(2-仆x0两根为金心甘反亘. (2 - m) + Jm2 + 4x2-rr_8加.七显二R因此, e,X<一AxJ*（拓三）(巧.Er（x）一040一/械小值/极大值结合题设.有4易知语数l 2 在区间(0,1)是减函数, +4 +mI。分因此r的£但由时.州1)、加0).即坐2与21/ 6/，* + 1) * A g W k =1.x2 + fflXe*.x e R tA：rJ ,rtl、 2i + ffl-(r2 + mt) -a2 +(2-m)x+

21、m5.、所以丹(幻二一.re K m£(0j卜e*e*由'(©=0*+ (2-mx + m = 0 * 即工“ T工一胴收-e = 0 ()v A = (2-阳+ 4掰=nJ + 4 A0 , 二方程()有网个不相等的实根,设为不，与，心分则H匕门|'_ 4 H LM I因此.XIf HjA(人工J外幻一0+0f(x)极小值/极天值结台题设.有*丐，X分令用工) =-(工一所)工一擒.则树外在区间L 丁”)是增函数，且4 =与£ 匚三巴.内) 1/ I-<1 + A(l)»I <0 »*2)=jh>0*且函数A

22、(幻图像不间断.22工与均 £ (1口 丁 / 6(A5+ I) . A £ N A A »L10 分证明 I 由由t x02 - (2 - m m = 0 » ；.+ 加7 =+ m .所以"(%)= % :时 =：用,与6(1,2卜 me(OJ)» 12分e" 产所以卬%)=3=如二任二生(。， e*卢所以丹(冷)在口口是减函数，所以与后&2)时./1%)/)卫士=,14分e eg “QN)时. M叽娱),所以工£此刀时+HMH&)二即对于5 6 (九4 + 1人"。)二成鱼.16分-

23、小：建犹2，分设曲找G上任意一点在地阵AB对应的变换作用下得到曲找G的点为.咻2附;6分F，土即方*所以rN分1点./二乂 广玉,而八尸】卜所以彳产中即三+1l42I。分22.髀；以极点为不卜解点以极轴为工轴的正半轴.建立手面自的安杯僚.则点收入万百的宜角坐标为32012分阅C的方程p = 272 cos/7的宜角坐标方程为/ +=巫, 即（工- 6）”卡 >，= 2 .4分当过点的真线斜率不存在酎，即直性方程为工=0时.满足与圈相切t 6分当过点且与闽灯相切的直线斜率存在时，设斜率为h则直线方程为y =h+ 2 JT *即h -r+2 J? = 0 -因为直线与（;相切.所以班力?|=0,解得上,-±*所以此时所求的直线方程为3工十力*8万=0 "8分所以过点且与阿C相切的直线的极里快方程为。看京户疟 Hi III3pa&g