2019年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列

1、2019年全国高考理科数学试题分类汇编 4:数列一、选择题1 . (2019年高考上海卷(理)在数列an中，an 2n 1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素ai,j ai aj ai aj,(i 1,2,L ,7; j 1,2,L ,12)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为()(A)18(B)28(C)48(D)63【答案】A.2 . (2019年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) WORD版含答案(已校,对)已知数列 an满足-一 4 13an1 an0,a2力则4的刖10项和等于(A) 6 1 3 10(B) 1 1 310(C)3 1 3 10(D) 3 1+310【答

2、案】C3 .(2019年高考新课标1(理)设 AnBnCn的三边长分别为 工,4,品，RBn。的面积为Sn, n 1,2,3,L ,若 bC1,b1C12a1，an1anb-cn2an£ 1bn2an，则()A. Sm为递减数列B. Sn 为递增数列C.S2n-1为递增数列，S2n为递减数列D.S2n-1为递减数列，S2n为递增数列【答案】B4 . (2019年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD版)函数y=f(x)的图像如图所示,在区间a,b上可找到n(n 2)个不同的数x1,x2.,xn,使得工(力=f( = fx。，则n的取值范围是Xix2xn(A) 3,4

3、(B) 2,3,4(C) 3,4,5(D) 2,3【答案】BWORD版)已知等比数列an的公比为5 . (2019年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯q,t己 bnam(n 1) 1 am(n 1) 2 am(n 1) m,*Cnam(n 1)1 ?Hm(n 1)2?？Hm(n 1) m(m,n N，则以下结论一定正确的是()A.数列>为等差数列公差为qmB,数列bn为等比数列，公比为q2m2mC.数列Cn为等比数列，公比为qmD.数列Cn为等比数列，公比为qm【答案】C(纯WORD版含答案)等比数列 an的前n项和为Sn,已知S3 a2 10a1，a59,则日(A)；(B)

4、1(C) 1339【答案】C7 . (2019年高考新课标1 (理)设等差数列()A.3B.4C.5D.6【答案】C(D)an的前n项和为Sn,Sm12,Sm 0,Sm 1 3,则 m6 .(2019年普通高等学校招生统一考试新课标n卷数学(理)8 . (2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题( WORD版)下面是关于公差 d 0的等差数列an的四个命题P1 :数列an是递增数列；P2:数列nan是递增数列；P3 ：数列an是递增数列；p4:数列an 3nd是递增数列；n其中的真命题为(A) P1, P2(B) P3, P4(C) P2, P3(D) P1, P4【答案】D9 .

5、 (2019年高考江西卷(理)等比数列x,3x+3,6x+6,. 的第四项等于A.-24B.0C.12D.24【答案】A二、填空题10.(2019年高考四川卷(理)在等差数列an中，a2 a1 8 ,且a4为a2和a3的等比中项，求数列an的首项、公差及前n项和.【答案】 解:设该数列公差为 d ,前n项和为sn.由已知，可得2a12d 8, a 3da1d a18d所以 a1d 4,d d 340,解得ai 4,d0,或4 1,d3,即数列an的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n项和sn 4n或snc 23n n211 . （2019年普通高等学校招生统一考试新课标n卷

6、数学（理） （纯WORD版含答案）等差数列 an的前n项和为Sn,已知S10 0,5 25,则nSn的最小值为 .【答案】4912.（2019年高考湖北卷（理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,n n 11 21 第n个二角形数为 -nn.记第n个k边形数为N n,k k 3，以下列出了部分 k边形数222中第n个数的表达式：A -1 21三角形数 N n,3-n -n2 2正方形数N n,4n23 21五边形数N n,5-nn4 22六边形数N n,62n2 n可以推测N n,k的表达式，由此计算N 10,24.选考题【答案】100013 . （20

7、19年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD版含附加题）在正项等1比数列an中，a52 ,a6a73 ,则满足aa?anaan的最大正整数n 的值为.【答案】12 一一一.、n 114 .（2019年局考湖南卷（理）设Sn为数列an的刖n项和，Sn （ 1） an ,n N，则（1） a3 ; （2） S1 S2S100 .1 11,、【答案】-；-（71 1）16 3 215 . （2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD版）当X R,|X 1时，有如下表达式:1 x x2两边同时积分得1:21dx0, 一 1从而得到如下等式:1 212

8、 xdx0(2)2请根据以下材料所蕴含的数学思想方法0Cn12x2dx .012 n2x dx0111 21212Cn (2)3Cn (2)2232（2）3，计算：1n 1C承1 11(2)(2)n116 . （2019年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）d 0, Sn为其前n项和，若3a,a5成等比数列，则S【答案】6417.（2019年上海市春季高考数学试卷（含答案）若等差数列的前项和Sn =5 2 7 【答案】n2 -n66（2019 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯ln 2.）已知an是等差数列，a11,公差6项和为23,前9项和为57,则数列的前nW

9、ORD a版）在等差数列n中，已知a3a810 则 3a5a7【答案】20(2019年高考陕西卷（理）观察下列等式：211212222223233264210照此规律,第n个等式可为2_ 212-2232n-1 2(-1 njn21)222【答案】12 - 2232n-1 2(-1 n(-1)n2n(n 1)20 . （2019 年高考新课标1 （理）若数列an的前n一" 2项和为Sn= an31一口一,则数列an的通项公式是 3an【答案】an = ( 2)n 121 . （2019年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版）如图，互不-相同的点A,A2K ,Xn

10、,K和Bi, B2K ,Bn,K分别在角。的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn A 1的面积均相等.设OAn an.若a1 1,a2 2,则数列an的通项公式是【答案】an3n 2,n N*22 . （ 2019 年高考北京卷（理）若等比数列an满足a2+a4=20, a3 + a5=40,则公比 q=;前n项和Sn =【答案】2, 2n 1 2 23 . （2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（ WORD 版）已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和，若劣,2_a3是万程x 5x 4的两个根，则S6【答案】63三、解答题24 . （2019年普通高

11、等学校招生统考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）设函数fn(x)12 x 32nX(x R, n nNn），证明：（I ）对每介N n,存在唯一的% 1,1,满足3fn(Xn)0；（n）对任意pNn,由（I ）板n构成的数列 XnXnXn【答案】解：（nI ）当X 0时，y 3是单调递增的 nfn(x)2 X 22nX 曰-2是 x n的单调递增函数，也是n的单调递增函数.且 fn(0)0, fn(1)0.存在唯一 Xn（0,1,满足fn（Xn）0,XiX2X3Xn2X当 X (0,1).时，fn(x)1 X $11 x1X440 fn(Xn)1 xnXn2 14 1 Xn(Xn 2)(3X

12、n 2) 0Xn2 3，1n 2 一N，存在唯一的Xn一,1,满足fn（Xn）0 ;（证毕）3 -(n )由题知 1 XnXn p 0, fn(Xn)1 Xn23XnXn4 XnXn223242234nn 1n pfn p (Xn p)1Xn pXn pXn pXn pXn pXn pXnp-2-2,22,八2(n、2234n(n 1)p)上式相减Xn2Xn3Xn4XnnXnXn p2Xn p3Xn p4Xn pnXn pXnn 1p2232422 n2232422 n(n1)2n p Xn p (n p)222,Xn p - Xn33Xn p - Xn44Xn p -XnnnXn p -Xn

13、、n 1(Xn pn pXn pXn Xn p(-2-222)(/)、2,、2234n(n 1)(n p)1Xn - Xn p 一 n25 . (2019年高考上海卷(理)(3分+6分+9分)给定常数C 0,定义函数f(x) 2|x C 4| |x c|, *数列 a1，a2,a3,L 满足 an i f (an), n N . *右a1 c 2 ,求22及a3;(2)求证：对任息n N ,an i an c ,;(3)是否存在a1,使得a1,a2,L an,L成等差数列？若存在，求出所有这样的a1,若不存在，说明理由.【答案】：(1)因为 c0,a1(c2),故 a?f(a1)21 a1c

14、41 | & c| 2,a3 f(a1) 21a2c 41|a2c | c 10(2)要证明原命题，只需证明f (x) x c对任意x R都成立，f (x) x c 21 x c 41 | x c | x c即只需证明2| x c 4| |x c| +x c若 x c 0,显然有 2 | x c 4 | | x c| +x c=0 成立;x c 4 x c显然成立若 x c 0,则 2|x c 4 | |x c| +x c综上，f (x) x c恒成立，即对任意的n_ _ *N , an 1 an c由(2)知，若an为等差数列，则公差d c 0,故n无限增大时，总有an0此时，ani

15、 f (an)2(an c4)(anc)an c8即d c 8故 a2 f (a1) 21 a1 c 411alc|a1c 8,即 21al c 411al c | 阚 c 8,当a1c 0时，等式成立，且n 2时，an0 ,此时an为等差数列,满足题意;若 a1 c 0,则 | ac 41 4a1c 8,此时，a? 0,a3 c 8,L a (n 2)(c 8)也满足题意；8.综上，满足题意的a1的取值范围是c, ) c26 . (2019分10分.年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD版含附加题)本小题满-2,3,3,3, -4, -4,-4,-4 ,L6 4

16、4 4 7个4 4 4 8 (-1)k-1k,L, (-1)k-1k(k 1) k2N 时，an， k k 1._(-1) k ,记 Sn a1a2 Lan n N,对于 lN，定义集合P n Sn是小的整数倍,(1)求集合P11中元素的个数；(2)求集合P2000中元素的个数.,考察探究能力及运用数学归纳法分析【答案】 本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识 解决问题能力及推理论证能力 .an得:a11, a2 S11,S21,S33,S40,S53,S66§2£2§6,S1010,SiiS11?&§0?a4,S51?a5,S6

17、2?a6,Sn1?anPn中元素的个数为 5(2)证明：用数学归纳法先证Si(2i1) i(2i1)事实上，当 i 1 时，Si(2i 1) S31?(2 1)3 故原式成立假设当i m时，等式成立，即 Sm(2m 1)m?(2m 1)故原式成立则：i m 1,时,S(m 1)2(m 1) 1S(m1)(2m 3Sm (2 m 1)(2m221)2 (2m 2)2 m(2m 1)(2m21)2 (2m2)2，一 2 一 一、(2m 5m 3)(m1)(2m 3)综合得：Si(2i 1)i(2i1)22S(i 1)2i 1Si(2i 1(2i1)2 i(2i 1) (2i 1)2(2i1)(i1

18、)由上可知：Si（2i 1是（2i1）的倍数而 a(i 1)(2i1 j2i 1( j 1,2, ,2i1),所以 Si(2i 1)jSi(2i 1)j(2i 1)是a(i 1)(2i 1j(j1,2,2i 1)的倍数又 S(i 1)2i1(i1)(2i1)不是 2i而 a(i 1)(2i1 j(2i 2)( j 1,2,2i 2)所以 S(i 1)(2i 1) jS(i 1)(2i 1) j (2i2) (2i1)(i1) j(2i2)不是a(i 1)(2i 1 j ( j1,2,2i2)的当12 n时,倍数i（2i 1）时，集合P1中元素的个数为1(2i-1)于是当l i(2i 1) j

19、(1 j 2i1)时，集合P中元素的个数为又 2000 31 (2 31 1) 47故集合P2000中元素的个数为31247 100827 . （2019年普通高等学校招生统一考试浙，江数学（理）试题（纯WORD版）在公差为d的等差数列an中，已知a110,且a1,2a2 2,5a3成等比数列.求 d,an;(2)若 d0,求 |a1| |a2| |a3 |【答案】解：（I ）由已知得到(2a2 2)2 5a1a34(a1 d 1)2 50(a12d)(11d)225(5d)121 22d d2 125 25dd2 3dan4nan11 n（n ）的）知，当 d 0时，an 11 n,n 11

20、时,an|a1 | |a2 | | a3 | ggg | an | a1 a2 a3ggg ann(10 11 n)n(212n)an 0 |a1 | 1a2 | 1a3 |gE0 | an | ala2a3 ggg a11(a12a13 gg an)2(aia2a3 ggg an)(a1a2a3 典an) 211(21 11) n(21 n)n2 21n 2202n(21 n)所以，综上所述：|a1| |a21包| ggg |an2 n2,(1 n 11)21n 220,(n 12)28 . (2019年高考湖北卷(理)已知等比数列满足：|a2 a3| 10, a1a2a3 125. (I)

21、求数列 an 的通项公式；(II)是否存在正整数 m ,使得1 ?若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由.【答案】解：(i)由已知条件得:a2a25,又 a21q 110, q1 或3,所以数列an的通项或an3n4,1(II)若 q 1, a1a2am1-或0,不存在这样的正整数 m ;5411右 q 3,La1a29110,不存在这样的正整数 m.1029 . (2019年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案)设等差数列 an的前n项和为Sn ,且 S4 4s2, a2n 2an 1.(I )求数列an的通项公式；(n )设数列bn前n项和为Tn，且Tan 1n 2n(为常

22、数).令Cnb2n (n N ).求数列cn的刖n项和Rn.【答案】解：()设等差数列an的首项为a1,公差为d ,由 S44 s2 a2n2an 1 得4al 6 d8al 4da1 (2n 1) 2a1 2(n 1)d解得,a11, d 2因此an 2n 1(nTn(n)由题意知2 时,bnTnTn1n2ncn故，b2n2n(n1T(nRn所以(4)1(4)2(n 1) y1则4Rn1 2(4)(4)3(n 2)两式相减得4Rn(1)1 (1)244(4)3(1)n14(n 1)(4)n11 n4 (4)1 14(nRn整理得19(43n 1.n 1 )4 c所以数列数列cn的前n项和1R

23、n9(43n 1, n 1 )430 . (2019年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD版含附加题)分16分.设an是首项为a,公差为d的等差数列(d 0) ,&是其前n项和.记bn 萼 n本小题满N，其中c为实数.若c0,且“，b2, b4成等比数列，证明：Snk2,n Sk(k,n* 一 一 _ N )(2)若bn是等差数列,证明：c0.一 Sn.c证明：.an是首项为a,公差为d的等差数列(d0) ,Sn是其前n项和nan(n 1)d bnSnn b, b2, b4成等比数列b22bh (a ；d)23 a(a -d)11cli1，一ad-d0 .

24、d(a-d)0 . d 0. a d，d 2a24222n(n 1)n(n 1)2 . Snnad na2a n a2222. 2.2 _2 2，左边尸 Snk (nk) a n k a 右边=n Skn k a，左边 二右边.二原式成立(2) .>是等差数列.设公差为d1, .-.bnb1(n 1)d1带入bn2S得:n cb1(n 1)d1nSn(d1 - d )n3 (b1d1n c2ad)n22cd1n c(d1b1)对 nN恒成立1d d 021b1d1a d 02cd10c(d1b1) 01 . 一一由式得：d1-d. d0d102由式得：c 0n(n 1)d 2a , (n 1)d 2a法二：证：(1)右c 0,则 ana (n 1)d , Sn , bn 22当b,以b4成等比数列 匕 bh,22a.一 d3d 2 一一即：a a a 一，得：d 2ad,又 d 0,故 d22由此：Snn2a , Snk (nk)2a n2k2a , n2Sk n2k2a .2*故：Snk n Sk(k,n N ).2 (n 1)d 2a nSn n 2(2) bn产，n c n c2 (n 1)d 2a (n 1)d 2a (n 1)d 2a n c c2222n c(n 1)d 2a(n 1) d 2a c 22n2 c若bn是等