2019-2020学年福建省泉州市永春一中高一新生夏令营学科素质测试数学试题(解析版)

1、2019-2020学年福建省泉州市永春一中高一新生夏令营学科素质测试数学试题、单选题第1页共24页1.下列各点中与2, 不表示极坐标系中同一个点的是（6【解析】观察四个选项横坐标均为2,因为与极坐标2,6相同的点可以表示为2,- 2k k Z，则判断6A, B,C, D四个选项的纵坐标能否写成 一+2k ,k6的形式.找出不能用一+2k ,k6Z形式表示的选项即可.解：与极坐标2,6相同的点可以表示为 2,- 2k6a. ykB.ykc.y611一 不能用611.可以613.可以.6D.yk+2k 6236,k Z的形式表示.，可以.-11不可以.只有C. 2,6故选：C.考查极坐标的概念.极

2、坐标）与（，2k ）（k Z）表示同一个点.解题关键为是否能将选项中的纵坐标写成2k ,(k Z)的形式.2,直线3x 4y 10 0和圆x 2 5cos ,、一的位置关系是（ y 1 5sinA.相切【答案】CB.相离C.相交但不过圆心D.相交且过圆心116第5页共24页x 2【解析】将圆的参数方程y 15cos（为参数）化成圆的普通方程，则可得其圆3x 4y 10 0的距离d,再将5sin心，和半径r,再用点到直线的距离公式求出圆心到直线 距离d与圆的半径r比大小即可解.【详解】x 2 5cos22解：由，得圆的普通方程为x 2 y 125 ,y 1 5sin圆的圆心为 2,1，半径r =

3、5.圆心到直线的距离d6 4 10|4.0 d r ,直线与圆相交但不过圆心.故选：C.运用了点到直线的距离公式考查圆的参数方程化普通方程，考查直线和圆的位置关系, 点到直线距离公式：点 P %,丫。到直线l: Ax By C 0的距离为:AXo By。CB23.将参数方程2 sin2sin 2为参数）化为普通方程是（先求自变量B. y xC. y x 2 1 xx的取值范围,1 sin 21的取值范围,可知x 2 sin2x 2 sin2，y sin 2，再将-可消去sin2即可解.【详解】解：1sin2 1,1 2 sin23.又 x2 sin2 ,则有1x3,由x 2sin2，ysin2

4、，-可得yx 2,。、/ x 2 sin2人,»、,八 , 八将参数方程(为参数)化为普通方程是 y x 2 1 x 3 ,y sin 2故选：C.【点睛】考查直线的参数方程消参化普通方程,要注意自变量x的取值范围.经过点M0 x0,y0 ,倾斜角为的直线l的参数方程可表示为x x0 t cos y Vo t sin(t为参数).题目难度较易4.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x 5x后，曲线C变为曲线y 3yx2 4y2 1 ,则曲线C的方程为()A. 25x2 36y2 1 B. 9x2 100y2 1 C. 10x 24y 1c 228 2 dD . x y 1 259【答

5、案】Ax 5xc c【解析】将伸缩变换代入曲线x 2 4y 2 1中即可解.y 3y，【详解】x5x22一 _2-2.解：把代入曲线x 4y 1,可得：5x 4 3y 1,即y 3y_2225x36y1,即为曲线C的方程.故选：A.【点睛】考查平面直角坐标系的伸缩变换，题目较为简单.伸缩变换：设点 P(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换x，(0)的作用下，点P(x,y)对应到点y,(0)P (x , y),称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换5.已知点M的极坐标是 2,-,它关于直线一的对称点坐标是(27B.2,-C.2,D.2,【答案】B【解析】利用极坐标的意义作出

6、极坐标点M,再做出点M关于万的对称点N,则可得出其极坐标.【详解】解：作出极坐标是2,-的点M ,如图, 2,-或 2,1它关于直线2的对称点是N,其极坐标为考查极坐标的概念，以及对称点的求法.题目较易.6,将点的直角坐标2,2 73化为极径 是正值，极角在。到2之间的极坐标是( )A.4,专B. 4,;-C. 473, D.473,【答案】A【解析】由P点的直角坐标2,2 J3 ,可得7x2y2,tan工,再利用P点在x第二象限且极角在 。到2 之间即可求.【详解】解：丁点P的直角坐标2,2 J3 ,、,叶2 22«2 4, tan :誓后，又点P在第二象限，极角在。到2之间，2满

7、足条件的点P的极坐标为4, 一3【点睛】考查直角坐标和极坐标的互化 .极坐标概念：点 M的极坐标：设 M是平面内一点，极点。与点M的距离|OM |叫做点M的极径，记为;以极轴Ox为始边，射线OM为终边的/ xOM叫做点M的极角，记为 .有序数对）叫做点M的极坐标，记为第23页共24页M(,).7.已知曲线C的极坐标方程为 212-223cos4sin,以极点为原点，极轴为 x轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换1 x2.L 后,3丁得到的曲线是B.椭圆C.圆D.双曲线【解析】将曲线C的极坐标方程3cos2124sin 2化为普通方程,再将曲线C的x普通方程进行1 x2 r 一.L

8、的伸缩变换后即可解,3Ty解：由极坐标方程23cos2124sin2_223( cos )4( sin )可得：3x2 4y22x12 , IP 4曲线C经过伸缩变换1一 x23飞v2x 3yx，代入曲线C可得: y伸缩变换得到的曲线是圆.故选：C.【点睛】考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换1x - xj。2.其中将 转化为3y 一 y32x x为解题关键、,3y y8.若直线l的参数方程为x 2 3t（t为参数），则直线l的倾斜角的余弦值为y 3 4tB.C.D.【解析】先将直线l的参数方程化为一般方程,可得出斜率k tan倾斜角的余弦值可求4x 3y 1 0,x 2 3t解：

9、设直线l的倾斜角为，由题意y 3 4tk tan - ,(, ) , cos 一325故选：B.考查直线的参数方程化一般方程，以及直线的倾斜角.题目较为简单29.已知一次函数 y ax 2ax 1在x4,2上的最大值为4,则a的值为（）c3C. 3A. 3B.-8【答案】D【解析】由题设二次函数y ax2 2ax 1 ,所以a 0,则可求出其对称轴，再分类讨论当a 0时或a 0时，x取何值为二次函数y ax2 2ax 1的最大值，进而求出参数a的值.【详解】22a .由题意得：一次函数 y ax 2ax 1的对称轴为x 1.2a当a 0时，二次函数y ax2 2ax 1图象开口向下，则 x 1

10、时，为函数y ax2 2ax 1的最大值.又 1 4,2,2 yx 1 ymax a( 1) 2a 1 1 a 4,贝u a当a 0时，二次函数y ax2 2ax 1图象开口向上,3.2,x42yx 2 a 22a 21 4,或2yx 4 a ( 4) 2a(4)1 4,则有8a 1 4 ,故选：D.【点睛】考查二次函数在给定区间求参数值，其中运用了分类讨论的思想,解题关键为求出二次函数的对称轴.二次函数一般形式:2y ax bx c(a 0),对称轴为bx 一2a（t为参数）所表示的曲线是（距对称轴x1距离相等，则最大值为C.D.I)【解析】消参化简整理得x2y21，即得方程对应的曲线【详解

11、】拈 1八、将t 一代入xy】Jt2 1，化简整理得x t22y 1，同时x不为零，且x，y的符号故选：D.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化,考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力11.圆 5cos5 V3sin的圆心坐标是B.5,3C. 5,一3D哈先将极坐标方程转化为普通方程求出圆心的直角坐标,再由公式求出点的极坐标即可.5cos5msin两边都乘以 得 2 5 cos5M sin将 x cos , y sin , 2 x2 y2 代入,x2 y2 5x 53y 0,-5 53圆心直角坐标是一,2225, tansincos_ 25.3F即 5, 引，

12、故圆心极坐标是5，y故选：C.【点睛】本题考查简单曲线圆的极坐标方程,解答的关键是圆的极坐标转化为普通方程，写出圆心坐标，再将其转化为极坐标.本题属于基本题.12 .在极坐标系中，点，与，的位置关系为（）A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C.重合【答案】A【解析】由点与点 ， 关于极轴对称.，点【解析】将参数方程转化为普通方程,且注意变量的范围，进而判断D.关于直线 - R对称和点（，）为同一点.则比较点（，）和点 ，可推出点，与 ，的位置关系.【详解】解：点 ， 与点，是同一个点,与 ，关于极轴所在直线对称故选：A.【点睛】考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.x t

13、x tantx sint13 .已知三个方程：、22 2,. 2X （都是以t为参数）.那么表y ty tan ty sin t示同一曲线的方程是（）A .B.C.D.【答案】B化为普通方程为x2=y化为普通方程为X2=y化为普通方程为X2=y, （-1Wx01可得表示同一曲线，故选 B【点睛】 本题考查了参数方程和普通方程的互化，由参数方程化为普通方程，消去参数，消参数 的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等.在参数方程与普通方程的互 化中，必'须使X, y的取值范围保持一致.14 .能化为普通方程X2 y 1 0的参数方程为（）x sint,A. 2（ t为参数）y c

14、os tc. x（t为参数）y t【答案】B_ x tan ,，一，B. 2（为参数）y 1 tanD.x cos2y sin为参数）22【解析】A: y 1 x , x 1,1 ;B y 1 x ,x2R ;C: y 1 x ,x 0,）;D:y 1 x2, x 1,1,所以选 B.点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法，经常用到公式:2. 22cos sin 1,1 tan1、一 , ,一一-2.不要忘了参数的范围 cos15 .两圆 4cos , 4sin 的公共部分面积是（）A . 一 一B. 24C. 一

15、 14 22【答案】B【解析】由两圆的极坐标方程4cos , 4sin 可求出两圆的标准方程，再求 出两圆的交点，四边形 OABC为正方形，则公共面积可求 .公共面积c 1 c1c 、S 2（ Se BS0ABe）.e BOABC42B： x 2 2 y24.【详解】解：两圆4cos , 4sin 的直角坐标方程分别为2- 2.A： x y 24,圆心分别为B 2,0 , A 0,2 ,半径都等于2.1 一 1 一两个圆的交点为 O 0,0 , C 2,2 ,则公共面积为S 2(4 Se B 2&abc),-，1121故公共部分面积是 2 22 2224 .42故选：B.【点睛】考查将

16、圆的极坐标方程化为圆的标准方程，和两圆相交公共面积的求法 .其中求两圆的相 交面积为难点，需多思考、填空题16.在极坐标系中，若点 A、B的极坐标分别为3,- ,4,76-，则 AOB （。为极点)的面积等于【答案】3【解析】O为极点，先求出 AOB的大小，已知AO和OB的边长，再根据三角形面1 一一 一积公式S 1 AO OB sin AOB即可解.275解：由题意， AOB ,AO 3, OB 4, 63615AOB （其中。为极点）的面积为 一3 4 Sin 3 .26故答案为：3.【点睛】考查极坐标系中三角形面积的求法，解题关键为三角形面积公式-1-. QS AO OB sin AOB

17、.题目较为简单.2x 1 2cost17.在直角坐标系xoy中，圆M的参数方程为y 2（t为参数），以坐标2sin t原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sincos m , m R .若直线l与圆M相交于A,B两点，MAB的面积为2,则m值为【解析】先将圆 M的参数方程化为标准方程，再将直线的极坐标方程化为普通方程,再求出圆心 M到直线l的距离d, d即为 MAB的高,再求出底边 AB的长，利用三角形面积公式即可解出m的值.解：圆Mx的参数方程为y2cost2 2sint（t为参数）方程： x224,可得1,r = 2.直线l的极坐标方程为、.2 sinR化为

18、普通方程：y x m 0圆心M至U直线l的距离MAB的面积为2, 又AB3 m 22.42AB2,2J4 d2 d 2,解得 dJ2,3 m.2苴./、故答案为：1或5.考查圆的极坐标化普通方程，直线的极坐标方程化普通方程，点到直线的距离公式中求出圆心 M到直线l的距离d, MAB的AB的边长为解出 m值的关键.18.直线l ： x at （t为参数），圆C： 4sin 4cos（极轴与x轴的非负y 1 2t半轴重合，且单位长度相同），若圆C上恰有三个点到直线1的距离为J2 ,则实数a .【答案】4 2,.6【解析】先将直线1的参数方程化为普通方程，再将圆C的极坐标方程化为圆的标准方程，再由圆

19、C上恰有三个点到直线1的距离为J2 ,利用点到直线距离公式可求出a的值.【详解】解：直线1的一般方程为2x ay a 0 ,4、2 sin4 sincos，圆的直角坐标方程为x2y24y 4x ,即x 2 2 y 2 2 8,圆心为C 2,2 ,半径r2及，圆c上恰有三个点到直线l的距离恰为 J2,一 八，一八 , , , 一 r 4 2a aj-» 圆心C到直线l的距离也为 板,即 一,V2 ,解得a 4 276.故答案为：4 2、.6.【点睛】考查直线的极坐标方程化一般方程，圆的极坐标方程化标准方程，以及圆中求直线解析式的参数问题.其中利用点到直线距离公式为解题的关键.点到直线的

20、距离公式考查较为频繁.19.若直线y x b与曲线x cosy sin为参数，且一）有两个不同的交2点，则实数b的取值范围是 .【答案】、. 2, 1x cos sin【解析】试题分析：曲线 （为参数，且一 一）的普通方程为x2 y2 1 x 0 ,它是半圆，单位圆在 y右边的部分，作直线 y x b,如图，它 过点A 0, 1时，b 1 ,当它在下方与圆相切时，bJ2 ,因此所求范围是b V2, 1 .【考点】两曲线的交点个数.【名师点睛】在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时 候是很难行得

21、通的.在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是 在许多时候，如本题，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单 化.20.（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 苒口了中，以。为极点，H轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 的极坐标方程为 使§«10 3cos9） = 0,曲线C的参数方程为与C相交于乩下两点，则Iabi =|.【答案】_解析因为区痈!中孔0由）=0,所以P谢8 一""防8,所以= 0 ,即j = 年 =在由 消去r得".联立方程组P，解得- -或x =372即.吟¥）,外咚苓）

22、,由两点间的距离公式得I I=+劣、（华+孚尸【考点】极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，两点间的距离.21 .在平面直角坐标系xxOy中，已知直线l的参数方程为y8 t,（t为参数），曲x线C的参数方程为y2s2,L （s为参数）.设P为曲线C上的动点,2 2s点P到直线l的距离的最小值为【答案】4r55【解析】求出直线l的普通方程，点P在曲线C上，设P 2s2,2 J2s ,则可求得点P到直线l的距离，进而求得答案。【详解】直线l的普通方程为x 2y 8 0 .点P在曲线C上，设P 2s2,2J2s ,从而点P到2s2 472s 8 2（s 而2 4l4T5直线l的距离d - 2（s二-

23、4 .当s 五时，dmin 生5 .因.12 （ 2）2、55此当点P的坐标为（4, 4）时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值 逃. 5【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式等，属于简单题。x 2cos22 .已知点P是曲线C:广 （为参数，2 ）上一点，。为原点，y 3 sin若直线OP的倾斜角为-,则点P的直角坐标为 .【答案】2,52 15, 55【解析】先将曲线C的参数方程化为直角坐标系方程，再由直线OP过原点且倾斜角为得出直线OP的解析式，然后联立方程即可解3x 2 cos解：由题意得，_y,3 sin22直角坐标方程为匕431 y 0，由直线OP的倾斜角

24、为-,则直线OP的解析式为：y J3x,x联立联立得y2 55-，5（舍去），或2、552.552J55点P的直角坐标为2,52 55,55,2 52,15故答案为：,55考查曲线的参数方程化为直角坐标系方程,直线的解析式，以及曲线方程中求点坐标的问题.题目难度一般，要注意坐标的取舍x 2 cos2223 . P x, y是曲线（为参数）上任思一点，则 x 3 y 1的y sin最大值为.【答案】3 2 222【解析】先将曲线的参数方程消参化为标准方程，由 x 3 y 1表示动点P与 22Q 3, 1之间距离的平方，可先求PQ的距离利用数形结合即可求x 3 y 1的最大值.【详解】_ x 2

25、cos 122解：二.将（为参数），消去参数得A： x 2 2 y2 1,y sin点P在以A 2,0为圆心，半径为1的圆上运动,设 Q 3, 1 ,可得 | PQ J X 3 2y 1 22由 J2 13 2V2 ,即得 x 3y 1 2的最大值为3 2J2 .故答案为：3 2 2.【点睛】考查圆参数方程化为标准方程，动点在圆上与圆外定点距离的最大值.利用了数形结合2的思想.其中X 32y 1表示动点P与Q 3, 1之间距离的平方为解题的关键 x t y224.变量x,y满足一（t为参数），则代数式y-的最小值是y 2.1 tx 2-222 yx 1(x 0, y 0),4【答案】2 3 x

26、 -t【解析】一（t为参数）化为直角坐标方程为y 2.1 t为四分之一椭圆，如图，所以y的最小值是kPA x 225.以平面直角坐标系 xOy的原点为极点,x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线1的参数方程为22 （ t为参数），圆c的二t2极坐标方程为4 sin cos .设曲线C与直线1交于A、B两点，若P点的直角坐标为2,1 ,则J PA PB|的值=【解析】先将圆C的极坐标方程化为直角坐标系方程,再将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标系方程，得 t2J2t 7 0，又因为方程两实根的几何意义，则| PA |PB即可解.解：圆C的极坐标方程为472 sin一

27、 ,即44sin4cos贝U2 4 sin 4 cos圆C的直角坐标系方程为4x 4y 0,点P 2,1在直线l上，且在圆C内,x由已知直线1的参数方程是.2t22（ t为参数）代入.2122y 4x 4y 0 ,设两个实根为匕，t2,则ti t2 J2,垃27 。，即t）, t2异号，所以 I PA PB| |ti t2| ti t222.故答案为：、,2.【点睛】考查圆的极坐标方程， 直线的参数方程，以及如何利用方程思想研究直线和圆的位置关 系问题，要准确理解参数 t的几何意义及应用.三、解答题26 .己知直线l的参数方程为i t3 2t（t为参数），曲线C的极坐标方程为sin2 16co

28、s 0,直线l与曲线C交于A、B两点，点P 13（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;11（2）求前亩的值【答案】(1) y 2x 1 , y28.1016x ; (2)35【解析】（1）直线的参数方程消去t可求得普通方程。由直角坐标与极坐标互换公式x cosy sin ,求得曲线C普通方程。（2）直线的参数方程改写为 222x y为参数），由t的几何意义求值。【详解】二t5275 t51直线l的参数方程为x 1 t（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程 y 3 2t曲线C的极坐标方程为psin2 0 16cos 8 0 ,即 p2sin2 0 16 pcos 0,曲线 C 的

29、直角坐标方程为y2 16x ,x 1 二一52直线的参数方程改写为_ (t为参数)，2.5y 3 t50, tit255, tit2354代入 y2 16x, 4t2 鸣 7 5511Iti t2| 8 10PA 厨 | tit2 |35 .【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式xy2xcossin2y,利用这个公式可以实现直角坐标与极坐2标的相互转化。27.选彳4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为 p- 4cos。+3p s2n =0以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l过点M (1, 0),倾斜角为-.6(I )求曲线C的直角坐标方程与直线 l的参数方程;x

30、(n)若曲线C经过伸缩变换yx后得到曲线C',且直线l与曲线C'交于A, B2y两点，求 |MA|+|MB| .x【答案】(1) (x-2) 2+4y2=4, y1乌2 , 1t 2(t 为参数)；(2) Ji5.【解析】试题分析:(I )极坐标方程化简直角坐标方程可得曲线C的直角坐标方程为(x - 2)2+4y2=4,利用点的坐标和倾斜角可得直线的参数方程为(t为-t 2参数);(n )利用题意求得伸缩变换之后的方程，然后利用弦长公式可得弦长为 曲试题解析:(I ) ;曲线C的极坐标方程为p 4cos 8 +3 P 52in =0 ； p2 4 p cos 0 +23in2

31、0 =0曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x+3y2=0,整理，得（x - 2） 2+4y2=4,;直线l过点M （1, 0）,倾斜角为.直线l的参数方程为y=lfIcos- t. / y=tsin-（H ）二.曲线C经过伸缩变换后得到曲线C',第27页共24页曲线 C'为：(X-2) 2+y2=4,把直线l的参数方程篁二,（t是参数）代入曲线C': （x-2） 2+y2=4,设A, B对应的参数分别为tl, t2,则ti+t2=/l, tit2=- 3, |MA|+|MB|=|ti|+|t2|=|ti- t2|=/ " 1+ t P 2-4111 之=7近

32、=J近.28. （2017新课标全国III,文22）选修4-4：坐标系与参数方程x 2+t,在直角坐标系 xOy中，直线li的参数万程为（t为参数），直线12的参数万程y kt,2 m,m（m为参数）.设li与l2的交点为P,当k变化时，P的轨迹为曲线 C.k ,（i）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3: cos sin 近 0, M为l3与C的交点，求 M的极径.【答案】（i） x2 y2 4 y 0 （2）娓【解析】（i）消去参数t得li的普通方程li：y k x 2 ；消去参数m得l2的普通方程. i -l2: y x 2 .ky k x 2设

33、P x, y，由题设得1，消去k得x2 y2 4 y 0 .y x 2k. 22_,所以C的普通方程为x y 4 y 02 it,冗.(2) C的极坐标方程为2 cos2 sin24 022. 2联立cos sin 4, _ 得 cos sin 2 cos sincos sin .2 0故tan从而cos29 .,sin 10代入 2 cos2. 2sin1.104得2 5,所以交点M的极径为J5 .【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.29.二次函数f X的图象顶点