2020-2021备战中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题含答案

1、P是线段AB上的一点，连接(3)1 .如图，已知 A （ - 4,【答案】（1）解：当-),B (- 1, 2)是一 点，X取何值时，一次函数大于反比例函数的值?4V XV 12020-2021备战中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题含答案、反比例函数次函数 y=kx+b与反比例函数AC± x 轴于 C , BD±yPC, PD, APCAAPDB面积相等，求点 P坐标. 时，一次函数大于反比例函数的值；-4Jt + b 二;(2)把 A (一 4, 士)所以一次函数解析式为2)代入y=kx+b得解得y= - x+把B ( - 1, 2)代入y=（3）解：如下图所示:设

2、P点坐标为（t, - t+ 一） PCA和 PDB面积相等，1 1 1. ? ? ? ? (t+4) = ? ?1? (2- t 2 ),即得 t= - 2 ,1- P点坐标为（-二，4）.【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当- 4vxv - 1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把 B点坐标代入y=A可计1 15I； 1算出m的值；（3）设P点坐标为（t, 3 t+三）,利用三角形面积公式可得到? ? ? ?（t+4）= a?1? （2-工t-工），解方程得到t=-工，从而可确定 P点坐标.2.已知一次函数 y=kx+b与反比例函数 y=才

3、交于A （ - 1, 2） , B （2, n）,与y轴交于C 点.（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1,若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于 D,E 两点，若 Saabd=3,求D, E的坐标.和（3）如图2, P为直线y=2上的一个动点，过点 P作PQ/ y轴交直线AB于Q,交双曲线【答案】(1)解：点A (- 1, 2)在反比例函数y=i-的图象上，.m= ( T) X 2 =2,.反比例函数的表达式为y=-点B (2, n)也在反比例函数的 y=- a图象上，n= - 1,即 B (2, 1)Ir -k +也把点A ( - 1, 2),点B

4、(2, - 1)代入一次函数 y=kx+b中，得 汝，b 解得：k= - 1, b=1 ,，一次函数的表达式为 y=- x+1, 国答：反比例函数的表达式是y=- ，一次函数的表达式是 y=-x+1;(2)解：如图1,连接AF, BF,S11. DE/AB,.Saabf=Saabd=3 (同底等高的两三角形面积相等)，直线AB的解析式为y= - x+1,C (0,1),设点 F (0, m), . AF=1 m ,1 I aSaabf=Saacf+Sabc尸 - CFXA忖 E CF X B|= L (1 m) X (1+2) =3, m= - 1, F (0, - 1), 直线DE的解析式为

5、y=-x+1,且DE/ AB, 直线DE的解析式为y=-x-1.反比例函数的表达式为y=- r，联立解得,D (-2,1), E (1, - 2);(3)解：如图2由(1)知,设点P ( p,直线 AB的解析式为y=-x-1,双曲线的解析式为 y=- 2), .Q (p,pT) , R (p,PQ=|2+p+1|,.QR=2QP,.,QR=| - p-1 + D | ,| - p-1 + & |=2|2+p+1| ,解得，p=5 十或p=P (把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点 A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析A；S&

6、gt;A ABF=S ABD=3,再利用三角形的面积(2)依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到公式可求得点F的坐标，即可得出直线 DE的解析式，即可求出交点坐标;),然后可表示出 PQ与QR的长(3)设点 P (p, 2),则 Q (p, - p-1) , R (p, 度，最后依据 QR=2QP可得到关于 p的方程，从而可求得 p的值，从而可得到点 P的坐 标.3.如图，四边形 OP1A1B1、AlP2A2B2、A2P3A3B3、An-iPnAnBn 都是正方形，对角线 OAl、A1A2、A2A3、An-lAn 都在 y 轴上(n>l的整数)，点Pi(xi, yi)，点P2(X2,A

7、y2),，Pn (Xn , yn)在反比例函数y= .1 (x> 0)的图象上，并已知 Bi (-1,1).o(1)求反比例函数y= a的解析式；(2)求点P2和点P3的坐标；(3)由(1)、(2)的结果或规律试猜想并直接写出：PnBnO的面积为 ，点Pn的坐标为 (用含n的式子表示).【答案】(1)解：在正方形 OP1A1B1中，OA1是对角线，则B1与P1关于y轴对称， B1 (T, 1), P1 ( 1, 1).则k=1X1=1即反比例函数解析式为 y=(2)解：连接P2B2、P3B3 ,分别交y轴于点E、F,又点Pl的坐标为(1,1),，OAi=2,设点P2的坐标为(a, a+2

8、),I代入y= i得a=三-1,故点P2的坐标为(，匚1, M+1),则 A1E=A2E=2V2-2, OA2=OA1+A1A2=2%k ,设点P3的坐标为(b, b+23),1代入 y=< (J>0)可得 b= J-%E ,故点P3的坐标为( '-J；,十+ )(3) 1; ( V-xAj , 'n )1 1【解析】【解答】解：(3)$居国仁2"用。=2X=1,=2"母'd=2X=1 ,.PnBnO的面积为1,由 P1 (1, 1)、P2 (£-1, " +1)、P3 (W -XjG , 4+ 岛知点 Pn 的坐标为

9、(a -6 7 , 3+，),故答案为：1、(S-1*7,祝+6b .【分析】(1)由四边形 OP1A1B1为正方形且 OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出 点P1 (1, 1),然后利用待定系数法求解即可；(2)连接P2B2、P3B3 ,分别交y轴于点E、F,由点P1坐标及正方形的性质知 OA1=2,设P2的坐标为(a, a+2),代入解析式求得 a的值即可，同理可得点 P3的坐标；(3)先分别求得 国P1BO、0P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算 即可.+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F ( - 2, 2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点 M在点N的左

10、边)，MA，x轴于点A, NB± x轴于点B.(1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含 m的代数式表示)，再求 m的值;(2)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点 N的纵坐标，并说明 NF=NB;10G(3)若射线NM交x轴于点巳且PA?PB=勺，求点M的坐标.【答案】(1)解：y= t x2+x+m=(x+2) 2+ ( m 1)，顶点坐标为(-2, m - 1);顶点在直线 y=x+3上， 2+3=m - 1, 得 m=2;(2)解：过点F作FC NB于点C,J尸 月G 0 B X丁点N在抛物线上，点N的纵坐标为：，a2+a+2, I即点 N (a, 4a2+a+2)

11、在 Rt"CN中，FC=a+2, NC=NB- CB=4 a2+a, /NF2=NC2+FC2= ( ' a2+a) 2+ (a+2) 2 , 1 1=(丁 a2+a) 2+ (a2+4a) +4, / 一而 NB2=(,a2+a+2) 2 ,=(7 a2+a) 2+ (a2+4a) +4nf2=nb2 ,NF=NB(3)解：连接 AF、BF,由 NF=NB,得/NFB=/ NBF,由(2)的思路知， MF=MA,/ MAF=Z MFA,.MAx 轴,NBx 轴, .MA / NB, . / AMF+/BNF=180 ° MAF和 NFB的内角总和为 360 ； .

12、2/ MAF+2 Z NBF=180 , °Z MAF+Z NBF=90 ； / MAB+Z NBA=180 ,° / FBA+Z FAB=90 , °又 / FAB+/ MAF=90 ,/ FBA=Z MAF=Z MFA,又 / FPA之 BPF, .PFAPBF,PF找出川=出，PF2=PAX PB=Q ,过点F作FGJ± x轴于点G,在RtPFG中，PG='=PO=PG+GO= 314设直线 PF： y=kx+b,把点 F ( - 2, 2)、点 P (- 3 , 0)代入 y=kx+b,解得 k= 1, b=二，J / 直线 PF： y=

13、 7 x+ 泛,i RE解方程 f x2+x+2= ' x+ -，得x= - 3或x=2 (不合题意，舍去)， 当 x= - 3 时，y= 4 ,P.M (- 3,?).【解析】【分析】(1)利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出 m的值。(2)过点F作FC± NB于点C,根据已知条件点 N在抛物线上，可得出 N点坐标，在 RtA FCN中，利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2 ,用含a的代数式分别表示出进而得出NF2、NB2 ,即可得出到NF=NBo(3)要求点M的坐标，需要先求出直线 PF的解析式.首先由(2)的思路得出 M

14、F=MA, 然后连接 AF、FB,再通过证明 PFAPBF,利用相关的比例线段将 PA?PB的值转化为 P户的值，进而求出点 F的坐标和直线 PF的解析式，由图像可知直线 PF和抛物线相较于点 M,建立方程求解，即可得点 M的坐标。5.如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数(m, -2)两点，交x轴于点C.y=(x>0)的图象于A (4, -8)、B(1)求反比例函数与一次函数的关系式；(2)根据图象回答：当 x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?(3)以O、A、B、P为顶点作平行四边形，请直接写出点 P的坐标.【答案】(1)解：:反比例函数y= N (x>0)的图象于

15、A (4, -8), k=4 2-8) =-32.,双曲线y= 乂过点B (m, -2),m=16.永斌b - 3由直线y=kx+b过点A, B得：应* b 二，1l 2解得，力.苴,I -1反比例函数关系式为,一次函数关系式为y - -jc -(2)解：观察图象可知，当 0vxv 4或x> 16时，一次函数的值大于反比例函数的值(3)解：.O (0, 0) , A (4, -8)、B (16, -2),分三种情况： 若OB/AP, OA/ BP,. O (0, 0) , A (4, -8),，由平移规律，点 B (16,-2)向右平移 4个单位，向下平移 8个单位得到 P点坐标为 (2

16、0, -10); 若 OP / AB, OA / BP,. A (4, -8) , B (16, -2),，由平移规律，点 O (0, 0)向右平移12个单位，向上平移 6个单位得到 P点坐标为 (12, 6); 若 OB/ AP, OP/AB,- B (16, -2) , A (4, -8),，由平移规律，点 O (0, 0)向左平移12个单位，向下平移 6个单位得到P点坐标为(- 12, -6);以O, A, B, P为顶点作平行四边形，第四个顶点P的坐标为(12, 6)或(-12, -6)或(20, -10)d【解析】【分析】(1)将点A (4, -8) , B (m, -2)代入反比例

17、函数y=x (x>0)中，可求k、a;再将点 A (4, -8) , B (m, -2)代入 y=kx+b中，列方程组求 k、b即可；(2)根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x的范围；(3)根据平行四边形的性质，即可直接写出.6.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点(1,(1) (- 2, - 2) , (/，、二)，,都是梦之点，显然梦之点有无数个.(1)若点P (2, b)是反比例函数上(n为常数，nw0)勺图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式；(2)。的半径是%工,求出。上的所有梦之点的坐标；nr - 已知点

18、M （m, 3）,点Q是（1）中反比例函数1图象上异于点P的梦之点，过点Q的直线l与y轴交于点 A, ZOAQ= 45°.若在。O上存在一点 N,使得直线 MN / l或MNH ,求出m的取值范围.【答案】（1）解：P （2, b）是梦之点，. b=2.P （2, 2）/I将P （2, 2）代入 a中得n=44反比例函数解析式是<（2）解：设。上梦之点坐标是（d , d），/1/二小二2=1或3=-1 ，。上所有梦之点坐标是（1, 1）或（-1, -1）由（1）知，异于点P的梦之点Q的坐标为（-2, -2） 由已知MN / l或MNl直线 MN 为 y=-x+b 或 y=x+b

19、当 MN 为 y=-x+b 时，m=b-3由图可知，当直线 MN平移至与。相切时，且切点在第四象限时，b取得最小值，此时MN记为孙口,其中M为切点，门为直线与y轴的交点 O门儿为等要直角三角形，.O =. .O =2 .b的最小值是-2, 1- m的最小值是-5当直线MN平移至与。相切时，且切点在第二象限时,b取得最大值，此时 MN记为惬州， 其中A.为切点，|方为直线网阳与y轴的交点。同理可得，b的最大值为2, m的最大值为-1.m的取值范围为-5W m<.当直线MN为y=x+b时，同理可得，m的取值范围为iwmcj综上所述，m的取值范围为-5Wml或1wmC5【解析】【分析】(1)由

20、“梦之点”的定义可得出b的值，就可得出点 P的坐标，再将点 P的坐标代入函数解析式，求出n的值，即可得出反比例函数的解析式。(2) 设。上梦之点坐标是(a, a )根据已知圆的半径，利用勾股定理建立关于a的方程，求出方程的解，就可得出。上的所有梦之点的坐标； 由(1)知，异于点P的梦之点Q的坐标为(-2,-2),由已知 直线MN/1或MNl ,就可得出直线 MN的解 析式为y=-x+b或y=x+b。分两种情况讨论：当MN为y=-x+b时，m=b-3,当直线 MN平移至与。0相切时， 且切点在第四象限时，b取得最小值，当直线MN平移至与。0相切时，且切点在第二象限时，b的最大值为2, m的最大值

21、为-1,就可得出 m的取值范围，当直线MN为y=x+b时，同理可得出 m的取值范围。7.在平面直角坐标系 xOy中，反比例函数d的图象经过点 A (1, 4) , B (m, n)A(1)求反比例函数'i的解析式；6 - W趣- 3 n * I(2)若二次函数y - (x "彳的图象经过点B,求代数式/加 的值；71(3)若反比例函数 一；的图象与二次函数J-/的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求 a的取值范围. 卜【答案】(1)解：将A (1, 4)代入函数y=；得：k=44 I 4反比例函数y=；的解析式是；(2)解：. B (m, n)在反比

22、例函数 y=l)上，mn=4,又二次函数y= (x1) 2的图象经过点 B (m, n),物 上" =打，即n-1=m2-2mfftn(3)解：由反比例函数的解析式为乂，令y=x,可得x2=4,解得x=±2上的图象与直线y=x交于点(2, 2) , ( 2, 2).如图,当二次函数y = a (x 1) 2的图象经过点(2, 2)时，可得a=2;当二次函数y = a (x 1) 2的图象经过点(一2, 2)时，可得a= § .;二次函数y = a (x 1) 2图象的顶点为(1,0),，由图象可知，符合题意的 a的取值范围是0<2<2或2一目.【解析】

23、【分析】(1)只需将点A的坐标代入反比例函数的解析式就可得出答案。(2)根据B (m, n)在反比例函数图像上得出mn=4,将点B的坐标代入y= (x-1) 2得到n-1=m2-2m,再将代数式变形为用含mn和m2-2m的代数式表示，然后再整体代入即可解决问题。(3)可先求出直线 y=x与反比例函数y=交点的坐标，然后分 a>0和a<0两种情况讨论, 先求出二次函数的图象经过两交点时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质(|a|越大，抛物线的开口越小)就可解决问题。8.如图，一次函数y=kx+b (kwQ与反比仞函数y=4(mO)的图象有公共点A (1,a)、D ( - 2,

24、 - 1).直线l与x轴垂直于点 N (3, 0),与一次函数和反比例函数的图 象分别交于点B、C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象回答，x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；(3)求4ABC的面积.【答案】(1)解：二.反比例函数经过点 D ( - 2, - 1),用，把点D代入y= / (mwo),ffi-1=二；，m=2 ,w 反比例函数的解析式为：y= 3,一点A (1, a)在反比例函数上，,件入把A代入y= &，得到a= / =2, A (1,2),一次函数经过 A (1,2)、D(-2, - 1),r 2 = k b 把A、D代入y=kx+b

25、 (kwQ ,得到： ,9* b ,解得:，一次函数的解析式为：y=x+1_一 一 I& AFt-(2)解：如图：当-2vxv 0或x> 1时，一次函数的值大于反比例函数的值(3)解：过点 A作AELx轴交x轴于点E,直线 Ux 轴，N (3, 0) , 设 B (3, p) , C (3, q),点B在一次函数上，p=3+1=4,一点C在反比例函数上，q= 3, 7/1116/.Sa abC=± BC?EN=X (43) X (31) = 3 .【解析】【分析】由反比例函数经过点D (-2, -1),即可求得反比例函数的解析式；然后求得点A的坐标，再利用待定系数法求得

26、一次函数的解析式；结合图象求解即可求得 x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；首先过点A作AE，x轴交x轴于点E,由直线l与x轴垂直于点 N (3, 0),可求得点 E,B, C的坐标，继而求得答案.9.如图，点A是反比例函数yi= v (x>0)图象上的任意一点，过点 A作AB/ x轴，交另 k一个比例函数 y2= m (k<0, xv0)的图象于点 B.(2)当k=-8时，若点A的横坐标是1,求/AOB的度数；(3)若不论点 A在何处，反比例函数 y2=M (kv 0, x<0)图象上总存在一点 D,使得四 边形AOBD为平行四边形，求 k的值.【答案】(1)

27、- 4(2)解：二点A的横坐标是1,2y= / =2,，点 A (1, 2),1 .AB/ x 轴,.点B的纵坐标为2, 82= - x ,解得：x= - 4,，点 B ( - 4, 2),1 .AB=AC+BC=1+4=5 OA= N a *,=, OB=%? * =2% $ ,2 .OA2+OB2=AB2 ,/ AOB=90 ;(3)解：假设y2=I4上有一点D,使四边形过D作D已AB,过A作AC±x轴,.四边形AOBD为平行四边形,AOBD为平行四边形,BD=OA, BD/ OA,/ DBA=Z OAB=Z AOC,在 AOC和4DBE中，N眦=ZAOCZDEB = ZACO

28、=朔 州 AO2 .AOCADBE (AAS), 12设 A (a, n) (a>0),即 OC=a, AC=日，3 .BE=OC=a DE=AC=d 笆4 .D纵坐标为 6，B纵坐标为日，akdk5 .D横坐标为，B横坐标为-,1. BE=| / -二* |=a，即-I =a,1. k= - 4.【解析】【解答】解：如图1,设AB交y轴于点C,£ 工 = 1 y(x>0)图象上的任意一点，且 AB/ x轴,图1点A是反比例函数，AB，y 轴，1s Sa aoc=。X 2=1Sa aob=3,Sa boc=2,1. k= 4;故答案为：-4;【分析】(1)首先设 AB交y

29、轴于点C,由点A是反比例函数 y1图象上的任意一点， AB/ x轴，可求得 4AOC的面积，又由4AOB的面积等于 3,即可求得BOC的面积，继 而求得k的值；(2)由点A的横坐标是1,可求得点A的坐标，继而求得点 B的纵坐标，则可求得点 B的 坐标，则可求得 AB, OA, OB的长，然后由勾股定理的逆定理，求得 /AOB的度数；(3)假设y2上有一点D,使四边形 AOBD为平行四边形，过 D作DEL AB,过A作AC x 轴，由四边形 AOBD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，利用 AAS得到 AOC与4DBE全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=OQ DE=AQ设出 A点的

30、坐标，表示出OC,AC的长，得出D与B纵坐标，进而表示出 D与B横坐标，两横坐标之差的 绝对值即为BE的长，利用等式，即可求出k的值.10.如图，Pi、P2是反比例函数 y= ' (k>0)在第一象限图象上的两点，点 Ai的坐标为 (4, 0).若P1OA1与P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶(1)求反比例函数的解析式.（2） 求P2的坐标. 根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点Pi、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= #的函数值.【答案】（1）解：过点Pi作PiBx轴，垂足为B二,点Ai的坐标为（4, 0） , PiOAi为 等腰直

31、角三角形J.OB=2, PiB= - OAi=2.Pi的坐标为（2,2）将Pi的坐标代入反比例函数y= w （k>0）,得k=2 x 2=4反比例函数的解析式为工（2） 过点P2作P2C± x轴，垂足为 C P2AiA2为等腰直角三角形 .P2C=AC设 PzC=AC=a,贝U P2 的坐标为（4+a, a）4y =将P2的坐标代入反比例函数的解析式为工，得a= 4 +厘，解得ai =2血一£ , a2= 一二卉 一2 （舍去） ，P2的坐标为（20 2） 在第一象限内，当2<x<2+工企时，一次函数的函数值大于反比例函数的值.【解析】【分析】（i）先根据

32、点Ai的坐标为（4, 0） , PiOAi为等腰直角三角形，求得Pi的坐标，再代入反比例函数求解；（2）先根据P2AiA2为等腰直角三角形，将P2的坐标设为（4+a, a）,并代入反比例函数求得 P2的横坐标，判断x的取值范围.a的值，得到P2的坐标；再根据 Pi的横坐标和ii.已知一次函数 yi=x+m的图象与反比例函数 时，yi > y2;当 0 v xv i 时，yi v y2 .（i）求一次函数的函数表达式；（2）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点6y2=的图象交于 A、B两点，已知当x> iC至ij x轴的距离为 2,求4ABC的面积.【答案】（1）解：当x>1时，yi>y2；当0VXV 1时,yi< y2，点A的横坐标为1,6代入反比例函数解析式，-=y,解得y=6,.点A的坐标为（1,6）, 又点A在一次函数图象上，1- 1+m=6 ,解得m=5,，一次函数的解析式为y1=x+5（2）解：二,第一象限内点 C到x