2018-2019学年福建省长泰一中高二下学期期末考试数学(理)试题word版

1、-14 -长泰一中2018/2019学年第二学期期末考试高二理科数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。一、选择题（每题 5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1 .已知集合 A = 0, 1, 2, B=0, x,若 B£ A,则 x =（）A. 0 或 1B. 0 或 2 C. 1 或 2D.0 或 1或 22 .已知复数z满足（z + i 口 -2i ）=2,则复数z在复平面内的对应点所在象限是（）A.第一象限B .第二象限 C .第三象限D .第四象限3 .九章算术中有如下问题：“今有

2、勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A.2 二153 二20C.2 二1 -15,3 二1 -2024 .已知随机变量 X服从正态分布 N （3户），且P（XE4）=0.84则P（2<X<4）=（）A. 0.84 B. 0.68 C. 0.32 D. 0.165 . “ a2 =1 ” 是“函数 f （x ）=lg .j-2x +a J为奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件22x

3、y 6 .若抛物线y=2px（p>0）的焦点是椭圆 十匚=1的一个焦点，则 p=（）3p pA. 2 B . 3 C . 4 D . 87 .奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+3)为偶函数，且f=1 ,则f(6)十f(11)=()A. -2B. -1C. 0D. 18 .已知曲线y=aex+xlnx在点(1, ae)处的切线方程为 y=2x+b,则()A. a -e, b -_1B . a=e, b=1 C . a e： b=1 D . a = e，, b = -19 .函数y 斐工在-6,6的图象大致为()2 x j 2 "x""A.B.C.D.10.

4、将5名学生分到A,B,C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到 A宿舍的不同分法有()A. 18 种B . 36 种 C.48 种2211.已知双曲线C:5±=1(a>0,b>0)的实轴长为16,左焦点分别为F, M是双曲线C的 a b一条渐近线上的点，且OM _LMF , O为坐标原点，若S&mf =16,则双曲线C的离心率为(),3 DA.212.已知函数f(X )的导函数为f'(x),且f'(x)cf(x )对任意的XW R恒成立，则下列不等f ln2 2f 0 ,f 2 e2f 0f ln2 2f 0 ,f 2 ：e2f 0式均

5、成立的是()A. f ln 2 ： 2 f 0 , f 2: e2f 0 bC. f In 2 ： 2 f 0 , f 2e2 f 0 d二、填空题(每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13 .函数f (x) =2ax+1-3(a>0且aw 1)的图象经过的定点的坐标是 14 . (2 + x X1 -2x 5展开式中，x2项的系数为 115 .设随机变量E服从二项分布 七B & 2，则R七W3)等于16 .若f(x)为R上的奇函数，且满足 f(x-2)=-f(x),对于下列命题： f (2) = 0；f(x)是以4为周期的周期函数； f(x)的图像关于x = 0对称;f

6、(x+2) = f(x).其中正确命题的序号为三.解答题(本大题共 6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)17 .(本题满分12分)已知点F (1,0 ),直线l : x = -1,动点P到点F的距离等于它到直线l的距离.(I)试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程；(n)若曲线C与直线m:y = x1相交于 a b两点，求AOAB的面积.18 .(本题满分12分)22已知命题P：实数t满足t2 _5at +4a2 <0 (其中a#0),命题q ：方程一x+-y=1表 t-2 t-6示双曲线.(I)若a=1,且P八q为真命题，求实数t的取值范围；(n)若P是q的必要

7、不充分条件，求实数 a的取值范围.19 .(本题满分12分)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数E的分布列为12P0.40.23450.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为 200元；分2期或3期付款，其利润为 250元；分4期或5期付款，其利润为 300元.Y表示经销一件该商品的利润.(I )求事件A “购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率 P(A);(n )求刀的分布列及均值 E( Y).20 .(本题满分12分)如图，在平行四边形 ABCD中， AB =1,BD =，2,NABD =90°,将AABD沿对角线BD折起，折后

8、的点A变为A,且AC =2.(I)求证：平面ABD _L平面BCD ；(n )求异面直线BC与AiD所成角的余弦值；(山)E为线段AC上的一个动点，当线段EC的长为多少时，DE与平面BCD所成的角正弦值为21 .(本题满分12分)设函数 f(x) = &x3+2ax23a2x+b(0<a<1).(I )求函数f(x)的单调区间和极值;(n)若当xCa+1, a+2时，恒有|f ' (x)| wa,试确定a的取值范围；(出)当a=3时，关于x的方程f(x) =0在区间1,3上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一

9、题作答。2x=tcosxWrs22 .在直角坐标系中，曲线 C：<("为参数,t>0),曲线。2彳 2_ (S为参y=tsin 1y=-s.一 2数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为：Pcos0-Psin0=2,记曲线C2与C3的交点为P.(I)求点P的直角坐标； .22(n)当曲线G与C3有且只有一个公共点时，G与C2相较于A,B两点，求|pa| +|pb|的值.23 .选彳45:不等式选讲(10分)已知 f (x) =| x - a | x | x - 2 |(x - a).(1)当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；(

10、n)若x w (-°0,1)时，f (x) <0,求a的取值范围.长泰一中2018/2019学年第二学期期末考试高二理科数学试题答案（考试时间：120分钟总分：150分）、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1 .已知集合 A = 0, 1, 2, B=0, x,若 BGA,则 x = ( C )A. 0 或 1B. 0或 2C.D. 0或1或22 .已知复数z满足（z + i 0 -2i ）=2,则复数z在复平面内的对应点所在象限是（ D ）A.第一象限第二象限C .第三象限D .第四象限3.九章算术中有如下问题:“今有勾五步，股一十二

11、步，问勾中容圆，径几何?大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A.C. 11520 D15204.已知随机变量2X 服从正态分布 N (3尸2 ),且 P(X W4)=0.84,则 P(2<X<4)= (B)(A) 0.84(B)0.68(C)0.32(D)0.16K «25- a2=1” 是“函数 f (x) = lg 1 一奇函数”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件26.若抛物线y2=2px（ p>0）的焦点是椭圆

12、 3p2y+ =1的一个焦点，则 p= ( D )PA. 27.奇函数f（x）的定义域为R.若f(x+3)为偶函数，且 f(1) = 1 ,则 f(6)+f(11)=(B )A. -2B. -1c. 0D. 18 .已知曲线y=aex+xlnx在点（1, ae）处的切线方程为 y=2x+b,则（D ）A. a =e, b - -1B a=e, b=1 C . a =e,，b = 1 D , a =e,b = T9 .函数丫=总在【£6】的图象大致为（B ）10 .将5名学生分到A,B,C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到 A宿舍的不同分法有(D )A. 18 种 B

13、. 36 种 C.48 种 D . 60 种2211.已知双曲线C：a2b2=ia>0,bA0)的实轴长为16,左焦点分别为F , M是双曲线C的一条渐近线上的点，且 OM_LMF, O为坐标原点，若S&mf=16,则双曲线C的离心率为(A )A.哼 B .痣 C .73 D.¥12 .已知函数f (x )的导函数为f '(x ),且f x f (x )对任意的xW R恒成立，则下列不等式均成立的是(A )A.f(ln2)<2f (0),f(2)<e2f (0)b,f (ln2 )>2f (0 ), f (2 e2 f (0 )C.fQn2)&

14、lt;2f (0),f(2)>e2f (0)d,f (ln 2 )> 2 f (0 ), f (2 )<e2 f ( 0 )二、填空题(每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13 .函数f (x)=2ax+1-3(a>0且awi)的图象经过的定点的坐标是 (-1,-1).14 . (2+x Xi 2x 5展开式中，x2项的系数为701皿15 .设随机变量E服从二项分布 七B & 2，则R七W3)等于21/3216 .若f(x)为R上的奇函数，且满足 f(x-2)=-f(x),对于下列命题： f (2) = 0；f(x)是以4为周期的周期函数； f(x)的图

15、像关于x = 0对称； f(x+2) = f(x).其中正确命题的序号为 一 三、解答题(本大题共 6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)17 .(本题满分12分)已知点F (1,0 ),直线l : x = -1,动点P到点F的距离等于它到直线l的距离.(I)试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程；（n）若曲线C与直线m:y =x1相交于a、B两点，求AOAB的面积.解：（I ）因点P到点F的距离等于它到直线l的距离，所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线l为准线的抛物线，其方程为 y2=4x. 5分y2 =4x ,口一（n）设 A（x，y）B（X2，y2）,联立 4 ，得

16、x2-6x + 1 = 0, 7y = x-1分二为十% = 6, 8分:直线m经过抛物线C的焦点F , AB =x +x2+p=6+2=8 10分点0 到直线的距离 d=1=!=，, S70AB =1AB d =1><8><乂2 =2&.12 分V2222218 .（本题满分12分）22已知命题P：实数t满足t2 5at+4a2 <0 （其中a/0）,命题q :方程上 +工 =1表 t-2 t-6示双曲线.（I）若a=1,且P八q为真命题，求实数t的取值范围；（n）若P是q的必要不充分条件，求实数 a的取值范围.18.解：(1)由 t25at+4a2&l

17、t;0 得(ta)(t4a) <0 , 1分若a=1, P为真时实数t的取值范围是1<t<4. 2分由,十=1表示双曲线，得2 <t <6,即q为真时实数t的取值范围是2ct<6.22t-2 t -6 4分若Pq为真，则P真且q真，所以实数t的取值范围是2<t<4. 6分(n)设 A=t| p(t), B = t|q(t)=(2,6) , 7 分二P是q的必要不充分条件，:B1A . 8分a -2-3 八当 a >0时，A = (a,4a),有4,解得 一 Wa W2 ； 10分4a -6211分当a<0时，A = (4a,a),显然

18、A|B=0 ,不合题意.实数a的取值范围是-<a <2 . 12分219.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数E的分布列为(1)求事件A “购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率 P(A);(2)求Y的分布列及均值E( Y).解(1)由A表示事件“购买该商品的 3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，A表示事件“购买该商品的 3位顾客中无人采用1期付款”.P( A) =(1 0.4) 3=0.216 , P( A) = 1 - P( A) = 1 - 0.216 = 0.784 5分.(2)刀的可能取值为 200元，250元，300元. 6分P( Y

19、 = 200) = P(卫=1) = 0.4 , R 刀=250) = P(卫=2) + P( E = 3) =0.2 + 0.2 = 0.4 ,P( r = 300) = P( E =4) + 3 £ =5) =0.1 +0.1 =0.2 , 9分502003P.40.20因此Y的分布列为E r ) = 200X 0.4 + 250X0.4 +300X 0.2 =240(元).12 分20.(本题满分 12分)如图，在平行四边形 ABCD中，AB =1, BD =J2,/ABD =90 :将 AABD 沿对角线 BD 折起，折后的点A变为A ,且AC = 2.(I)求证：平面A1B

20、D _L平面BCD ；(n )求异面直线BC与A1D所成角的余弦值；(出)为线段A1C上的一个动点，当线段 EC的长为多少时，DE与平面BCD所成的角正弦值为 ?解：(I)在rabd中，ad = Jab2+bd2 = 43四边形ABCD是平行四边形, BC =AD =*,CD =AB =1,又 AC =2,222，AB +BC =AiC ,，AB_LBC, 3分又 AB _LBD,BCnBD = B,二 AB_L 平面 BCD,又 ABu 平面 ABD,二平面A1BD _L平面BCD.(n )如图，过B作BD的垂线，以点B为原点建立空间直角坐标系，则Ai(0,0,1),D(0, V2,0),C

21、(1, V2,0)，从而 BC=(1,a,0), DA1 =(0,衣,1)“I BC DA1-2cos : BC, DA1 = f = =_BC IDA1<3 -.3,异面直线BC与AD所成角的余弦值等于(出)DC, =(1,0,0), CAi =(-1,-、,2,1)设 CE =?CA,则 DE =DC +CE = (1 % 72% %),4记DE与平面BCD所成的角为0 ,则 sin u =cos< DE,n > =取平面BCD的一个法向量为n =(0,0,1) , 10分1141 九)2 +2，/十尢2"7 12二 CE = CA,即 CE = . 12分33

22、21.(本题满分 12 分)设函数 f(x) = gx3+2ax2 3a2x+b(0<a<1).(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若当xCa+1, a+2时，恒有|f ' (x)| wa,试确定a的取值范围;2 当a=3时，关于x的方程f(x) =0在区间1,3上恒有两个相异的实根，求实数 b的取值范围.解 f ' (x) = x2+4ax3a2= (x a)(x 3a).令 f ' (x) = 0,得 x = a 或 x = 3a.当x变化时，f ' (x)、f(x)的变化情况如下表:x(8, a)a(a,3a)3 a(3a , +00)

23、f,(x)一0十0一f(x)极小/极大X .f(x)在(一00, a)和(3a, 十0°)上是减函数，在(a,3a)上是增函数.4当x=a时，f(x)取得极小值，f(x)极小= f(a) = b-3a3；当x=3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大= f(3a) = b. 4分(2)f (x) =- x2+4ax-3a2,其对称轴为 x=2a.因为 0<a<1,所以 2a<a+1.所以f' (x)在区间a + 1, a+2上是减函数.当*=2+1 时，f' (x)取得最大值，f' (a + 1)=2a1;当*=2+2 时，f' (x

24、)取得最小值，f' (a + 2)=4a4.于是有Laa即gwawi.又因为0<a<l,所以5wa<i. 8分4a4 da,(3)当 a = 3时，f(x) = - 3x3+ 3x2 3x + b.8484f (x) = x2 + 3x 3, 由 f ' (x) = 0, 即_ x2 + 3x _ 3 = 0,22解得xi=3，x2=2,即f(x)在8, 3"是减函数，2在Q, 2正是增函数，在(2 , +8)上是减函数.要使f(x) =0在1,3上恒有两个相异实根，即 f(x)在(1,2) , (2,3)上各有一个实根,f 1。,于是有竹2 >°，f 3 90,- 3 + bw 0,即b>0,Ik 1 + bw 0)1解得0<bw3. 12分(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。X=tcosx=1_2s22.在直角坐标系中，曲线 GY(a为参数，t>0),曲线C2：d 2(S为参y =tsin：: 1y = -1 s数).以坐标原点为极点，x轴正