朗斯基行列式(The

1、第一章 行列式1. 朗斯基行列式（The Wronskian）预备知识：行列式定义及性质行列式除了求解m个方程m个未知数的线性方程组以外，还可以用来判别一组函数的线性无关性。假定是定义在区间上的实值函数，如果存在一组不全为0的数使得对中的任意都有 （1-1）那么称为是线性相关的。否则，称为是线性无关的。 线性无关的判别可以从等式（1-1）按照下列方式得到。如果一组数满足等式（1-1）并且是任意阶可微，那么我们对等式（1-1）两边取微分，得到如果我们记系数行列式为，即，那么它称为的朗斯基行列式。如果存在中的点使得，那么。即如果朗斯基行列式在中任意点上都不为0，那么是线性无关的。但是值得注意的是，

2、对中任意点都有不能得到是线性相关的。例如：令其中这两个函数组的朗斯基行列式分别为和因为对任意不为0的都有，那么是线性无关的。尽管对中的任意都有，但是也是一个整数矩阵是线性无关的。因为如果，那么当时，有；当时，有，从而。第二章 矩阵2. 图论预备知识：矩阵定义图论（graph theory）是数学的一个新分支，它被广泛用于商业问题、社会科学、物理科学中公式化模型。这些应用包括通讯问题、管理问题和社会结构。因为它与矩阵有密切关系，故下面我们做一个简单介绍，说明这些基本概念怎样用于一些重要问题的形式化模型中。一个图是由有限个点（称为顶点）和有线条连接两个顶点的边组成。连接一个顶点的边称为一个圈。图的

3、顶点用点表示，边用直线段或者曲线段表示。例如，下图给出了一些图，（a）有4个顶点和，6条边和。注意边和的交点不是顶点。（b）有4个顶点和，2条边和。顶点和之间没有边相连，而且顶点与其他顶点都不相连。（c）有3个顶点和，3条边和，注意是一个圈。一个图由其顶点集和连接顶点的边集决定，而不是由外在形式决定。两个图和称为相等或者同构是指它们有相同的顶点数和边数，并且的顶点和边分别与的顶点和边一一对应，即的边对应的边，并且如果边的端点是与，则边的端点对应与。矩阵提供一种描述图的方便途径，因为矩阵可以用计算机来处理，所以可以用计算机来处理图论中大量的计算工作。对于有个顶点的图，我们定义一个对称矩阵与之对应

4、，矩阵的位置上的元素为从顶点到顶点的边数。我们称为的表示矩阵。反之，对于一个对称非负整数矩阵，我们可以得到一个图使得其表示矩阵就是给定的矩阵。见下图，其表示矩阵为显然，图和相同当且仅当它们的表示矩阵相同。对于给定的图，还有另外一个矩阵与之对应。假设是有个顶点的图，定义矩阵。如果从顶点到顶点至少有一条边，则规定的位置上的元素为1，否则为0。我们称为的邻接矩阵。注意是一个对称矩阵。上面图的邻接矩阵为对于一个元素为0和1的对称矩阵，我们可以得到一个图使得其邻接矩阵就是给定的矩阵，但是这样的图不惟一。例如，对称矩阵是下面两个图的邻接矩阵。2. 信息编码预备知识：矩阵定义，矩阵运算，初等变换，行列式送一

5、个编码信息的通常方式是对字母表中的每个字母赋予一个整数值，把信息作为一个整数串发送。例如，“send money”这个信息可能被编码为5，8，10，21，7，2，10，8，3其中字母s由整数5表示，字母e由整数8表示，等等。不幸的是，这种编码方式很容易被破译。在一个长信息中，我们能根据字母出现的相对频率猜测哪个字母对应哪个数字。例如，如果在码信息中，8是出现频率最高，那么它可能代表英文中出现频率最高的字母e。我们能用矩阵乘法进一步伪装信息。如果是一个整数矩阵，并且的行列式为，那么由知也是一个整数矩阵，其中是的伴随矩阵。我们能用这样一个矩阵对信息进行编码，编码后的信息很难解码。为了解释这种技术，

6、令把要编码的信息排成3行3列的矩阵根据矩阵乘积的结果信息编码成31，80，54，37，83，67，29，69，50发送。收到信息的人通过左乘来对编码后的信息进行解码为了构造一个编码矩阵，我们可以从单位矩阵开始，连续用行倍加变换和行对换变换，得到一个整数矩阵。因为，所以也是一个整数矩阵。4. 列昂惕夫（Leontief）投入产出模型预备知识：矩阵运算，逆矩阵，初等变换，线性方程组假设把国家的经济系统划分成能够生产产品或提供服务的n个部门，令x是中的产出向量，它列出了各部门的年产量。另外我们假设经济体系中还有一部分（称作开放式部门）既不生产产品也不提供服务，而仅仅是消耗产品和服务。令d是最终需求向

7、量或者最终需求清单，它列出了经济体系中非生产性部门对各部门产品和服务的需求。向量d可以表示消费者需求、政府消费、生产剩余、出口以及其他外部需求。各部门在生产产品以满足消费者需求时，生产者对生产过程中所需投入的产品也会有中间需求。部门间的相互关系十分复杂，最终需求与实际产出的联系也不明显。列昂惕夫于是提出，是否存在一个产出水平，使得产出（或者说供应）量恰好等于产品的总需求，这样 （4-1）列昂惕夫投入产出模型有这样一个基本假设，那就是对每个部门都存在中的一个单位消耗向量，它列出了该部门每产出一个单位所需是投入。所有的单位投入和产出都以百万人民币，而不是吨或者蒲式耳等数量来度量。假设产品和服务的价

8、格保持不变。举一个简单的例子，假设经济体系包含三个部门：制造业、农业和服务业，其消耗向量分别为和，如下表所示：购买自单位产出所需要的投入制造业农 业服务业制造业0.50.40.2农 业0.20.30.1服务业0.10.10.3制造业生产100单位产品需要消耗的投入量是多少？我们计算所以为了生产100单位产品，制造业将分别从本部门其他单位、农业及服务业订购（即需求）并消耗50单位、20单位和10单位。若制造业决定生产单位产品，则表示它的中间需求，因为中的量恰好是生产单位产品的过程中的消耗量。同样的，若以和记农业和服务业的计划产量，则和分别是它们的中间需求。三个部门的中间需求总和由下式给出： （4

9、-2）其中为消耗矩阵，即联立（4-1）、（4-2）两式，就得到了列昂惕夫投入产出模型： （4-3）将写成并利用矩阵代数，我们可以将（4-3）重写为例：考虑消耗矩阵如上面矩阵的经济体系。假设制造业、农业和服务业的最终需求分别是50单位、30单位和20单位。求满足该需求的产出水平解：方程（4-3）的系数矩阵是为了解方程（4-3），对增广矩阵进行化简：最后一列四舍五入化为整数值，所以制造业、农业和服务业分别需要生产约226单位、119单位和78单位。如果矩阵可逆，则由可得。下面的定理表明，在大多是实际问题中，可逆并且产出向量是合理的，即的分量非负。下面定理中的列和是指矩阵中一列元素之和。消耗矩阵的列

10、和一般小于1，这是因为一个部门生产1单位产品所需的投入应该小于1单位。定理：设是某经济体系的消耗矩阵，是最终需求。如果和的元素非负，且的所有列和都小于1，则存在，产出向量的元素非负，并且是的惟一解。下述讨论将解释定理为何成立，并且给出计算的一种新方法。假设年初各行业就知道需求量，并且将其产出水平设为，即恰好满足最终需求的水平。当这些行业准备生产时，他们需要订购原材料及其他投入，这就产生了中间需求。为了满足多出的这部分需求，各行业又需要额外投入。这当然又造成了第2轮中间需求，并且当行业为满足新需求而增加产量时，又会造成第3轮需求，即，依此类推。理论上，我们可以假设这个过程循环往复，不会终止，尽管

11、在实际生活中通常不可能。这种假设的情形可以表示为下面形式：必须满足的需求为满足该需求所需投入最终需求d中间需求第1轮需求第2轮需求第3轮需求满足全部需求的产出水平是 （4-4）为了使（4-4）有意义，我们利用下列代数恒等式： （4-5）可以证明，如果的列和都严格小于1，则可逆，并且当充分大时近似于零矩阵，从而。这个事实类似于：若正数小于1，则当增大时有。根据恒等式（4-5），我们有 （4-6）这意味着，只要选取足够大的就能让等式右边充分接近。在实际的投入产出模型中，消耗矩阵的方幂趋于零矩阵的速度相当快，所以（4-6）确实给出了计算的一种有效方法。同理，对任意，向量也很快趋于零向量，于是（4-4

12、）给出了求解的有效方法。此外，如果和中元素非负，则由（4-4）我们知的元素也非负。因为中的元素可以用来预测产出水平随最终需求的变化，所以有很重要的意义。事实上，第列列出了对部门的最终需求增加1个单位时各部门新增加的产量。在实际应用（不仅仅是经济学）中，方程经常写为，其中。如果这个方程组很大并且很稀疏（即元素大多为0），中元素绝对值的列和可能小于1，此时。如果趋于0的速度足够快，那么（4-4）和（4-6）就给出了求解以及求的有效公式。第三章 向量组的线性相关性5. 人口迁徙预备知识：向量的概念，基向量假定某个大城市的总人口数是相对稳定的，每年6%的人从城里移到郊区，2%的人从郊区移到城里。如果最

13、初30%的人住在城里，70%的人住在郊区，那么10年之后百分比是怎样的？30年、50年之后又是怎样？人口改变能由矩阵乘法来决定。如果我们令那么一年后住在城里的人和住在郊区的人的百分比由得到，两年后的百分比可以通过来计算。一般情况下，年之后的百分比可以由来计算。取，我们得到事实上，随着增大，向量数列趋于极限。这个极限就是这个过程的稳态向量。为了理解这个过程为什么趋于一个稳态向量，我们利用不同的坐标系。对于新坐标系，我们选取向量和，这样可以通过容易看到乘法的效果。特别地，如果我们选为稳态向量的任意倍数，那么。现在我们取，这样选取是因为左乘的效果就是用0.92去做数乘向量运算，从而我们新的基向量满足

14、初始向量可以写成新的基向量的线性组合，由此我们得当变大时，第二项趋于0。事实上，当时，第二项足够小使得等于矩阵的元素非负并且它的列和为1，称为关联矩阵。这里我们想强调的是理解这个过程的关键是矩阵在基上的作用很简单。特别地，如果是矩阵，那么我们选取基向量使得在基向量上的作用就是用纯量去做数乘运算，即 （5-1）在许多涉及矩阵的实际应用问题中，解决问题的关键是找一组基向量和纯量，使得上面等式（5-1）成立。6. 信号空间预备知识：向量空间，向量组的线性相关性假设是由两端都无限的全体数值序列所构成的集合，即，其中对中的任意两个元素和，定义和我们可以验证是一个向量空间。集合中的元素经常出现在工程学中。

15、例如，在离散的时间段上信号的测量（或采样），这种信号可以是电子的、机械的、光学的等。航天飞机的中央控制系统使用了离散信号。为了使用方便，我们称为（离散时间）信号空间，称中的元素为信号。事实上，中的一个信号就是一个定义在整数上的函数，它可以看作是一个数列，例如就是三个信号。数字信号常见于电子学和控制系统工程学中，而在生物学、物理学、经济学、人口统计学以及其他众多领域里，只要在离散的时间区间对某个过程进行测量或采样，也会得到离散数据序列。如果指定一个过程的开始时间，把信号记作更方便，对于，可以假定或者直接省略。CD播放机所播放的声音十分清晰，它是以每秒44100次的采样频率采样得到的音乐，见下图：

16、每采样一次，音乐信号的振幅都被记录为一个数值，原始的音乐由许多不同频率的声音组成。但是，序列所包含的信息可以重现频率在20000赫兹以下的所有声音，而高出这个频率的声音人耳根本听不到。为了简化记号，我们考虑中一个只含三个信号的集合。只有当方程 （6-1）蕴含时，这三个信号线性无关。当然，我们可以考虑从开始的信号，那么上面的只需要对非负整数考虑即可。假设满足等式（6-1），则（6-1）中的方程对三个连续的值都成立，例如，。故由（6-1）我们有和从而满足该方程组的系数矩阵称为信号的卡索拉蒂矩阵（Casorati matrix），其行列式称为的卡索拉蒂行列式。如果至少存在一个值使得卡索拉蒂矩阵可逆，

17、则等式（6-1）将蕴含，这就证明了这三个信号是线性无关的。例如：证明是线性无关的。因为卡索拉蒂矩阵为利用行变换很容易证明该矩阵总是可逆的。事实上，更快的方法是用特殊值法，即用某个具体的数值代替，例如，然后对所得的数值矩阵进行行化简：即对，卡索拉蒂矩阵是可逆的，故是线性无关的。如果卡索拉蒂矩阵是不可逆，那么待检验的信号可能线性相关，也可能线性无关。但是，可以证明，如果这些信号是同一个齐次微分方程的所有解，那么，或者对任意的，卡索拉蒂矩阵都可逆并且信号是线性无关的，或者对任意的，卡索拉蒂矩阵都不可逆并且信 号是线性相关的。第四章 线性方程组7. 经济学中的线性方程组预备知识：齐次线性方程组你可能希

18、望一个与线性代数有关的实际问题有惟一解，或者无解。下面我们说明在具体应用中，有多个解的线性方程组是怎样产生的。假设一个国家的经济分为很多行业，例如，制造业、通讯业、娱乐业和服务行业等。我们知道每个部门一年的总产出，并且准确了解其产出如何在经济的其他部门之间进行分配或交易。把一个部门产出的总货币价值称为该产出的价格。列昂惕夫（Leontief）证明了下面结论：存在赋予各部门总产出的平衡价格，使得每个部门的投入与产出都相等。下面的例题说明如何求平衡价格。例：假设一个经济系统由煤炭、电力、钢铁行业组成，每个行业的产出在各个行业中的分配如下表，其中每一列中的元素表示占该行业总产出的比例。产出分配购买者

19、煤炭电力钢铁0.00.40.6煤炭0.60.10.2电力0.40.50.2钢铁以表中的第二列为例，电力行业的总产出分配如下：40%分配到煤炭行业，50%分配到钢铁行业，余下的10%分配到电力行业，即电力行业把这10%作为部门营运所需的投入。因为考虑了所有的产出，所以每一列的小数加起来必须等于1.把煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格（即货币价值）分别用和表示。试求使得每个行业的投入和产出都相等的平衡价格。解：从表中的每一列可以看出每个行业的产出分配到何处，从表中的每一行可以看出这个行业所需的投入。例如，第一行说明煤炭行业接收了40%的电力产出和60%的钢铁产出，由于电力和钢铁的总产出价格分别是

20、和，因此煤炭行业必须分别向电力行业和钢铁行业支付0.4和0.6人民币。煤炭行业的总支出为。为了使煤炭行业的收入等于它的支出。我们希望 （7-1）表中的第2行说明了电力行业分别要向煤炭、电力、钢铁各行业支付和。因此电力行业的收支平衡条件为 （7-2）表中的第3行导出了最后一个收支平衡条件： （7-3）为了求解由方程（7-1）、（7-2）和（7-3）构成的方程组，将所有的未知量移到方程左边，然后合并同类项，我们有我们进行化简，为了简单起见，保留两位小数。通解为，其中为自由未知量。经济系统的平衡价格向量有如下形式：每个的（非负）取值都确定一个平衡价格的取值。例如，我们取为100万人民币，则即如果煤炭

21、行业产出价格为0.94亿人民币，则电力行业产出价格为0.85亿人民币，钢铁行业产出价格为1亿人民币，那么每个行业的收入和支出相等。8. 马尔可夫链预备知识：向量，齐次线性方程组 下面介绍的马尔可夫链是生物、商业、化学、工程和物理等许多学科中应用广泛的一类数学模型。这些模型常常用来描述以相同方式重复进行的实验或测量，每次实验的结果都在事先指定的几个可能结果之列，并且每次实验的结果都只依赖上一次实验。例如，如果每年对某个城市及其郊区的人口进行测量，则向量就可以表明60%的人口住在城市，40%的人口住在郊区。中小数的和为1，代表该整个地区人口的总和。这里我们使用百分率要比使用人口数更方便。称一个只含

22、非负分量并且各分量总和为1的向量为概率向量（probability vector），一个随机矩阵（stochastic matrix）就是一个概率向量序列以及随机矩阵，使得因此马尔可夫链可以用下列一阶微分方程来描述：如果中向量的一个马尔可夫链描述了某个系统或者某个实验序列，则中的分量依次列出了该系统处在全部个可能状态上的概率，或者该实验结果是全部n个可能结果的概率，基于这一原因，也常称为状态向量（state vector）。例：假设三个人甲乙丙竞选的投票结果由中向量给出：假设我们用这类向量来记录两年一次的竞选结果，并且每一次的选举结果只受前一次选举结果的影响，则描述每两年选举结果的向量序列可以

23、作成一个马尔可夫链，例如，我们可以将对应的随机矩阵取成从“D”所标记的第一列中的分量描述了在某次选举中投票给甲在下一次选举中的投票情况。这里我们假设他们中的70%仍将投票给D，20%将投票给R，10%将投票给L。对于P中的其他列，也有类似的解释。如果多年以来从一次选举到下次选举转变的百分比保持恒定，则给出选举结果的向量序列就构成一个马尔可夫链。假设某次选举的结果是估计下一次、再下一次选举可能的结果。解：下一次、再下一次选举的结果可以分别用状态向量和来描述，其中为了理解为什么确实给出了下一次选举的结果，假设在第一次选举中有1000人投票，其中550人投票给D，400人投票给R，50人投票给L（见

24、中的百分比）。在下一次选举中，550人中的70%会再次投票给D，400人中的10%将会把选票从R转投给D，50人中的30%将会把选票从L转投给D，因此D的总票数将会是故在下一次选举中将会有44%的选票投给D的候选人。上式中的计算与中第一个分量的计算在本质上是相同的。类似可计算的其他分量以及的分量。马尔可夫链的一个最有趣的应用是研究链的长期行为。例如，在上面例子中多次选举以后的情况会怎样（假设仍用给定的随机矩阵描述从一次选举到下一次选举的支持转变率）？在回答这个问题之前，我们先来看一个数值计算的例子。例：设。考虑一个由马尔可夫链描述的系统。随着时间的变化，这个系统将如何变换？通过计算状态向量来求

25、解。解：进一步的计算结果如下所示，其中的分量四舍五入后保留4位或5位有效数字。这些向量看起来趋近于。当从当前值变到下一个值时，上面所列的概率变化非常小。注意，下面的计算是精确的（无舍入误差）：当系统处于状态时，从一次测量到下一次测量无变化。如果是一个随机矩阵，则的稳定向量（steady-state vector）或者平衡向量（equilibrium vector）是满足条件的概率向量。可以证明每个随机矩阵都有稳态向量。上面例子中就是的一个稳态向量。下面的例子告诉我们如何求稳态向量。例：假设，求的一个稳态向量。解：首先，解方程，即。对于上述的，为了求出的全部解，通过行变换化简增广矩阵：于是，其中

26、是自由向量，通解是。 第二步，我们为解空间选择一组简单的基。显然可以选择，但有更好的选择（不含分数，对应于）。最后，在的解集中找一个概率向量，这比较容易，因为每一个解都是的倍数。将的每个分量除以各分量之和，可以得到通过计算我们知道确实是的一个稳态向量。9. 电网预备知识：非齐次线性方程组简单电网中的电流可以用线性方程组来描述，电压电源（例如电池）迫使电子在电网中流动形成电流。当电流经过电阻（例如灯泡或者发动机）时，一些电压被消耗。根据欧姆定律，流经电阻时的电压降由下列公式给出：其中电压V、电阻R和电流I分别以伏特、欧姆和安培为单位。下图中的电网连接了3个闭回路，回路1，2，3中的电流分别用和表

27、示。回路电流的方向是任意的。如果一个电流为负，则表示实际的电流方向与图中闭回路的电流方向相反。如果电流所示的方向由电池（ ）正极（长的一端）指向负极（短的一端），则电压为正，否则电压为负。回路中的电流服从下列基尔霍夫电压定律：沿某个方向环绕回路一周的所有电压降RI的代数和等于沿同一方向环绕该回路一周的电源电压的代数和。例：确定上面图电网中的回路电流。解 回路1中，电流流过三个电阻，且电压降RI为回路2中的电流也流经回路1中的一部分，即从A到B的分支，对应的电压降RI为伏特。然而，回路1中电流在AB段的方向与回路2中选定的方向相反，因此回路1中所有电压降RI的代数和为。因为回路1中的电压为+30

28、伏特，基尔霍夫电压定律表明回路2的方程为其中是回路1中流经AB分支的电流（因为电流与回路2中的电流方向相反，所以电压为负）；是回路2中所有的电阻乘上回路电流的和；是回路3中流经CD分支上1欧姆电阻的电流，方向与回路2中该段的电流方向相反。回路3的方程为注意，在CD分支上5伏特的电池被当作是回路2和回路3中的一部分，但是由于回路3中电流方向，电池在回路3中为-5伏特。同理，20伏特的电池也应该取负值。回路电流要通过求解下列方程组得到 （9-1）对增广矩阵进行行变换，得到解：安培，安培，安培。取负值说明回路3中的实际电流与图中显示的方向相反。把方程组（9-1）看成向量方程将给我们很多启发： （9-

29、2）每个向量中的第一个分量都与回路1有关，第二、第三个分量也类似。第一个电阻向量列出了电流流经的不同回路中的电阻，并且当电流的方向与某个回路中的电流方向相反时，我们将取电阻为负值。观察上图，看中的分量是如何计算出来的，然后再考察和。方程（9-2）的矩阵形式为这就是用矩阵表示的欧姆定律。如果所有的回路电流都选同一方向（例如逆时针方向），则R的主对角线以外的所有元素都为负。容易看出，矩阵方程保证了该模型是线性的，即如果电压向量变成原来的两倍，则电流向量必然是原来的两倍。叠加原理同样成立，即方程（9-2）的解是下列方程解的和。上述每个方程都对应于仅含一个电压电源的电路（其余电源都用电线代替）。电流的

30、模型是线性的，这是因为欧姆定律和基尔霍夫电压定律恰好是线性的：经过一个电阻的电压降与流经它的电流成正比，且回路中电压降之和与电源电压之和相等。电网中的回路电流可以用来确定电网中每一个分支中的电流。如果只有一个回路电流流经一个分支，例如上图中的BD，则分支电流等于回路电流。如果多于一个回路电流流经一个分支，例如AB，则分支电流为该分支中回路电流的代数和，从而AB分支中的电流为安培，方向与相同，CD分支中的电流为安培。第五章 相似矩阵及二次型10. 离散动态系统预备知识：特征值，特征向量动态系统在许多科学领域中都会出现。例如，在控制系统的标准大学本科课程中会讨论动态系统的若干方面。这类教程所教授的

31、现代状态-空间设计方法很大程度上依赖于矩阵代数。控制系统中的稳态响应，也就是动态系统的长期行为在工程上的另一种表述。要理解由微分方程所描述的动态系统的长期行为或者演化，关键在于特征值和特征向量。向量给出了系统随时间变化的信息。假设可对角化，为其线性无关的特征向量，对应的特征值为。为了方便，假设特征向量重新排列使得。因为为的一组基，任意一个初始向量可以惟一地表示为 的这个特征向量分解决定了序列的行为。因为是特征向量，所以一般地， （10-2）下面的例题将解释当时，（10-2）中可能发生的变化。在红杉森林深处，斑点猫头鹰是褐脚森林鼠的主要捕食者，其多达80%的食物都来源于森林鼠。我们用线性动态系统

32、建立猫头鹰与森林鼠的自然系统模型。设猫头鹰和森林鼠在时刻的数量为，其中是以月份为单位的时间，是研究区域中猫头鹰的数量，是老鼠的数量（单位：千）。假设 （10-3）其中是一个待定的正参数。第一个方程中的0.5说明，如果没有森林鼠做食物，每个月只有一半的猫头鹰可以存活；第二个方程中的1.1说明，如果没有猫头鹰作为捕食者，森林鼠的数量每个月会增加10%。如果森林鼠充足，猫头鹰的数量将会增加0.4，负项用以度量猫头鹰的捕食所导致的森林鼠的死亡数（事实上，平均每个月被一只猫头鹰吃掉的森林鼠的数量是1000p）。当捕食参数是0.104时，试确定该系统的演化。当是0.104时，（10-3）的系数矩阵的特征值

33、为和，对应的特征向量为初始向量可以写成，于是，对于，当时，迅速地趋于0.假定，那么对于所有足够大的，近似于，写成 （10-4）当越大时，（10-4）的近似度就越高，所以对于大的， （10-5）（10-5）中的近似说明，最后的每个元素（猫头鹰和森林鼠的数量）几乎每个月都近似增加到原来的1.02倍，即有2%的月增长率。根据（10-4），约为的倍数，所以中元素的比值约为10比13，即每10000只猫头鹰对应者约13000只森林鼠。这个例题说明了动态系统的两个基本事实，其中为矩阵，它的特征值满足：，并且为对应于的特征向量。如果由（10-1）给出，其中，则对于所有充分大的， （10-6）且 （10-7）

34、我们可以选取充分大的，使（10-6）和（10-7）中的近似达到任意精度。由（10-6），最后每次增长为原来的倍，所以决定了系统的最后增长率。同样，由（10-7），对于大的值，中的任何两个元素的比值约等于中的对应元素的比值。11. 斐波纳契数列预备知识：相似矩阵，特征值，特征向量比萨的列奥纳多Leonardo（又名斐波那契Fibonacci）在他写的一本数学书中提出了下列问题。一对新生兔子在一个月大小时开始繁殖，因此每个月生产一对兔子。假定我们开始于一对新生的兔子，它们生的兔子没有死的。那么每个月初有多少对兔子产生？月 份 0 1 2 3 4 5兔子对数 1 1 2 3 5 8P1P1P1P1P

35、1P1P6P4P3P3P3P4P7P2P2P2P2P5P5P8兔子的繁殖模式如上图，其中箭头表示兔子后代。当月份为0时，我们只有一对新生的兔子。一个月后我们仍然只有一对新生的兔子，因为它们还没有产生后代。2个月后我们有原始的那对兔子和它们产生的第一对后代。3个月后我们有原始的兔子对，它们在2个月时生的第一代兔子对以及它们生的第二代兔子对。4个月后我们有兔子对和的后代以及的后代。用表示个月后兔子对数，那么我们知道为了得到的通项表达式，我们通过下列方式来求。个月后兔子对数等于个月后的兔子对数加上第n个月新生的兔子对数。后者是，因为一对兔子在2个月后产生新兔子。这样 （11-1）即每个数是前面两个数

36、之和。这样得到的数列称为斐波纳契数列，这个数列有广泛应用，例如，某种树叶的分布、向日葵籽的分布、数值分析中的搜索技术，统计学随机数的生成等等。为了用递归关系（11-1）来计算，我们必须计算。当n比较大时，计算相当复杂。下面我们介绍一种直接计算的公式。记则 （11-2）我们把它写成矩阵形式：现在我们定义则于是（11-2）能写成所以 （11-3）由此我们知，为了计算，我们只需计算。当n比较大时，计算仍然相当繁琐。为了克服这个困难，我们找一个与矩阵相似的对角矩阵B。因为的特征方程为故的特征值为从而相应的特征向量为于是并且，所以对任意非负整数k，有因为D是对角矩阵，故容易计算，它的元素是D的对角元素的

37、k次幂。根据等式（11-3），我们有这个等式给出的直接计算公式：用计算机，我们计算出当时，近似于203.65亿。12. 圆锥截面预备知识：特征值，特征向量，正交矩阵，矩阵对角化下面我们将对平面的圆锥截面进行分类。以和作为变量的二次方程为 （12-1）其中和是实数。上面这个方程的图形为圆锥截面，得名于它是用平面去截双叶圆锥所得。由下图我们知道用平面去截双叶圆锥可以得到圆、椭圆、抛物线或者双曲线。圆锥截面的退化情形是一个点、一条直线、两条直线或者空集。如果非退化圆锥的图形和方程如下图所示，则称它们位于标准位置，其方程称为是标准方程。下面我们转向研究图形不是位于标准位置的圆锥截面。首先，注意位于标准

38、位置的圆锥截面的方程不包含项（称为交叉项）。如果圆锥截面的方程含有交叉项，那么其图可以由处于标准位置的圆锥截面通过旋转而得，见下图（a）。其次，下图（b）没有方程同时含有项与项或者同时含有项与项。如果是这样并且方程不含项，则其图可以由处于标准位置的圆锥截面通过平移而得。另一方面，如果方程含有项，那么其图由处于标准位置的圆锥截面可能通过旋转而得也可能通过平移而得，见下图（c）。xxxyxyxyx(a)(b)(c)为了鉴别其图不是处于标准位置的非退化圆锥截面，我们按下列步骤进行：第一步 如果给定的方程含有交叉项，那么通过正交线性变换旋转坐标轴使得方程不含交叉项；第二步 如果给定的方程不含交叉项，但

39、含有项与项或者含有项与项，那么通过配方平移坐标轴使得新方程的图形关于新坐标系的原点位于标准位置。这样，如果给定的方程含有交叉项，我们先旋转坐标轴，然后平移旋转后得到的坐标轴（如果有必要的话）。现在我们转向方程（12-1）其图形的鉴定问题，假设，即方程含有交叉项。这个方程可以写成矩阵形式： （12-2）其中因为是对称矩阵，我们知道它可以通过正交矩阵对角化，从而其中和是的特征值，的列是的分别与和对应的正交特征向量和。令我们可以把方程（12-2）写成即或者 或者 （12-3）这个方程就是给定圆锥截面方程的最后形式，它不含交叉项。注意特征向量和分别位于和坐标轴上。因为是正交矩阵，。如果需要，我们可以交

40、换的列（的特征向量和）或者用乘以的列使得。矩阵是沿逆时针方向旋转变换对应的矩阵，其中旋转角度可以如下确定。首先，我们容易证明如果，那么。因为是从原点到点的有向线段的夹角，故例：指出并画出方程的图形，并写出其标准方程。解：把给定的方程写成矩阵形式，得下面我们求矩阵的特征值，其中因为所以的特征值为与它们对应的特征向量可以通过解下列齐次线性方程组得到：当，我们有则与对应的一个特征向量为当，我们有则与对应的一个特征向量为把这些特征向量正规化，我们得到正交矩阵从而令，我们把给定的圆锥截面方程写成形如（12-3）的形式：即为了判定这个方程的图形，我们需要平移坐标轴，所以我们配方得即 令上面方程变成 （12

41、-4）其图是关于坐标轴的标准椭圆，坐标系的原点是（4，-2）。方程（12-4）是椭圆的标准形式。因为坐标轴旋转角度，其中所以 给定的关于和的二次方程的图形可以通过旋转坐标轴后得到的新方程判定，即从方程（12-3）判定。这些方程表示的圆锥截面可以由下表判定：第六章 线性空间与线性变换13. 计算机图形学预备知识：线性空间，坐标变换，线性变换计算机图形即计算机屏幕上显示或者放映的图像。计算机图形学的应用相当普遍，并且发展迅速。例如，计算机辅助设计（CAD）已经成为飞机设计等许多工业流程的主体部分，计算机图形在娱乐业的应用也十分可观，从黑客帝国中的科技到游戏机PlayStation 2和Xbox，都

42、使用了这项技术。工商业中，大多数交互式计算机软件在屏幕显示、数据的图形显示、桌面印刷系统以及商业和教育类幻灯片制作等方面都使用了计算机图形。因此，任何学习计算机语言的人都应该学习计算机图形学，并且至少掌握二维（2D）图形的使用。下面将考虑在处理和显示计算机图形时所需的数学基础知识，例如，飞机的曲线框架模型。这样一幅图像（或图片）包含大量的点、连接线（直线或曲线）以及连接线所围成封闭区域的填充方式信息。曲线往往用一些短的直线段来近似，图则被定义成数学上的一个点列。屏幕上呈现的字母是最简单的2D图形符号，它们中某些被存储成曲线框架对象，对于含有弯曲部分的字母还另外存储了曲线的数学公式。例：下图中的

43、大写字母N由8个点或顶点确定，点的坐标可以存储在数值矩阵D中。实际上，除了D以外，我们还需要详细说明哪些点之间有直线相连，在这里我们省略了。 使用直线段描述图形对象的主要原因是，计算机图形的标准变换将直线段映射为直线段。一个对象只要对其顶点施以变换，然后用适当的直线连接各顶点的像，就能得到这个对象在该变换下完整的像。假设，现在我们来描述剪切变换在上面例子中字母N上的作用。根据矩阵乘法的定义，乘积的列就是字母N各个顶点的像。下图中绘出了变换后的顶点以及与原图对应的连接线。计算机图形所用的数学主要是矩阵乘法，但是，屏幕上对象的平移并不能直接对应于矩阵乘法，因为平移不是线性变换。消除这一障碍的标准做

44、法是引入所谓的齐次坐标。中每个点都可以等同于点，后者是中平面上方1个单位的平面上的点。我们称有齐次坐标。例如，点有齐次坐标。虽然点的齐次坐标不能进行加法和数乘运算，但可以通过矩阵进行变换。形如的平移用齐次坐标可以写成，这一变换可以用下列矩阵乘法表示：14. 编码理论预备知识：线性空间，线性变换在当今全球社会通讯广泛用于商业、政府、科研以及教育之中。代表图像、声音或者两者兼而有之的数据从一个地方传送到另外一个地方或者以各种方式记录下来。不考虑传送距离，基本过程是一样的。数据以一定失真概率被发送和接收，所以对于接收到的数据，我们必须通过一些方法来检出传送的错误。编码是信息和通讯理论的一个分支，它已

45、经发展起来了一些用于检错和纠错的技术。编码广泛汲取许多数学领域的精髓，例如，线性代数、抽象代数、数论、概率与统计以及组合。下面我们用线性代数来简单介绍编码理论。数据传送的核心问题是高效率并且低成本。在这一原则下，考虑速记法是合理的（例如，省略一些字的某些字母）。不幸的是，这样做节约了时间但增加了接收信息被误解的可能性。大多数编码技术是一种反速记，即我们传送更多信息去帮助检出传送错误。怎样选择和选择多少是编码理论的本质。一个信息是字母表中的字符的一个有限序列。我们选字母表为。我们想传送的每个字符、数字、或符号将被表示为一个m-维比特向量，即每个字符、数字、或符号将被表示二元形式，这样一个信息由字组成，其中每个字是一个m-维比特向量。所有m-维比特向量组成的集合记作。我们知道比特向量和比特矩阵与实向量和实矩阵具有相同的性质，当然除了前者计