2019江苏卷数学高考真题-精华版

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。 考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3 .请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4 .作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5 .如需作图，须用 2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

2、参考公式：2x ，其中x一xin i 121 n样本数据x1, x2，xn的方差s -xin i 1柱体的体积V Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.1锥体的体积V Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.3一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1 .已知集合 A 1,0,1,6, B x|x 0,x R,则 AI B .2 .已知复数（a 2i）（1 i）的实部为0,其中i为虚数单位，则实数 a的值是 .3 .下图是一个算法流程图，则输出的S的值是 .s第）4 .函数y J76xx2的定义域是.5 .已知一组数据6, 7, 8, 8,

3、9, 10,则该组数据的方差是.6 .从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.7.2在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2 -y2 1(b 0)经过点(3, 4),则该双曲线的渐近线b2方程是 8.*.已知数列 an( n N )是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5 % 0, S927 ,则&的值是9.如图，长方体 ABCD AiBiCiDi的体积是120, E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是P至U直线x+y=0的10.在平面直角坐标系 xOy中,距离的最小值是11.在平面直角坐标系 xOy中，点A在曲线y=lnx

4、上，且该曲线在点 A处的切线经过点(-e, -1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是12 .如图，在ZXABC中,D是BC的中点，E在边 AB上，BE=2EA, AD与 CE交于点。.若uuuABuurACUULT6AOULTECAB .,则里的值是 .AC13.已知tan,冗tan一42. 八 九二，则sin 2:的值是 .14 .设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4, g(x)的周期为2,且f(x)是 k(x 2),0 x 1奇函数.当x (0,2时，f(x)11 (x 1)2 , g(x) 1,其中k>0.若在区,1x22间(0, 9上，关于x的方

5、程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则 k的取值范围是 二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 .（本小题满分14分）在ABC4角A, B, C的对边分别为a, b, c.(1)若 a=3c,b= J2 , cosB=,求 c 的值;3(2),sin A若acosB,求 sin(B 2b一）的值.216.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱 ABC- ABC中,D, E分别为BC AC的中点，AB=BC求证：（1） AB/平面DEC； BE± CE.17.（本小题满分14分）2如图，在平面直角坐标系 x

6、Oy中，椭圆C冬 4 1（a b 0）的焦点为F1 （ - 1、0）,a bF2 （1,0）.过F2作x轴的垂线l ,在x轴的上方，l与圆F2：（X1）2y2 4a2交于点A,与椭圆C交于点D连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF.已知df=2-(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18 .（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥 AB (AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P、Q并修建两段直线型道路 PB QA规划要求：线段 PB QA 上的所有点到点 O的距离均不小于圆 O的半径.已知点 A B到

7、直线l的距离分别为 AC和BD(C D为垂足)，测得 AB=10, AC=6, BD=12 (单位：百米).(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路 PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路 PB和QA勺长度均为d (单位：百米).求当d最小时，P、Q两点间的 距离.19 .(本小题满分16分)设函数 f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R、f'(x)为 f (x)的导函数.(1)若 a=b=c, f (4) =8,求 a 的值； 若awb, b=c,且f (x)和f'(x)的零点均在集合 3,1,3中，

8、求f (x)的极小值；4(3)若a 0,0 b, 1,c 1,且f (x)的极大值为M求证：Me .2720.(本小满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ MJ数列”.(1)已知等比数列an(nN )满足：a2a4as©4a24a40 ,求证：数列an为M-数列”；122.一(2)已知数列bn(n N )满足：b1 1 ，其中S为数列bn的前n项和.Sbn 4 1求数列bn的通项公式；设m为正整数，右存在M-数列cn (nN ),对任意正整数k,当kwm时，都有ck蒯bkck 1成立，求m的最大值.2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考答案一、填空题：

9、本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.1. 1,62.23.54. 1,75. 56. 7. y、/2x3108.169.1010.411. (e, 1)12. . 313.14.1 .2 3,T二、解答题考查运算求15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,解能力.满分14分.解：(1)因为a 3Gb,2,cos B 2由余弦定理cosB2.2c b2ac商 c2 ( 2)2,即 c2 12 3c c所以c .3(2)因为s”a由正弦定理一sin AcosB2b '-b-,得sin BcosB2bsin-B ,所以 cos

10、B 2sin B . b从而cos2 B(2sinB)2,即2 、cos B因为sin B0,所以cosB2sin B22 _44 1 cos B ,故 cos B 52 50,从而 cosB .5因此sin B2/5cosB 2516.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：(1)因为D, E分别为BC AC的中点,所以ED/ AB在直三棱柱 ABC-ABC中，AB/ A1B,所以 AB1 / ED又因为ED?平面DEC, AB 平面DEG所以AB/平面DEC(2)因为AB=BC E为AC的中点，所以 BEL A

11、C因为三棱柱 ABC-ABC是直棱柱，所以 CCL平面ABC又因为BE?平面ABC所以CC, BE因为 GC?平面 AACC, AC?平面 AACC, CCA AC=C,所以BE1平面AACC因为CE?平面AACC,所以BE! CE.和17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解：（1）设椭圆C的焦距为2c.因为 Fi(-1 , 0) , F2(1 , 0),所以FE=2, c=1.一 一、.5一又因为DF=, AE,x轴,2所以DE=jDF12 F1F22 J(|)2 22

12、I，因此 2a=DF+DE=4,从而 a=2. 由 b2=a2- c2,得 b2=3.因此，椭圆C的标准方程为（2）解法一:x2由（1）知，椭圆C： 一41, a=2,因为A桎，x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程（x-1） 2+y2=16,解得y=±4.因为点A在x轴上方，所以A（1 , 4）.又 F1(-1,0),所以直线 AF： y=2x+2.由y (x2x 2221) y,得1625x2 6x 110,解得115，第17超）y 2x1211 一代入5因此B(1112一).又F2(1 , 0),所以直线BF>：53y 4(x1).y由2x434(x2y31

13、)，得 7x2 6x 13 0,解得 x1137又因为E是线段BE与椭圆的交点，所以 x 1 .31代入y -(x4，、一3一， 3、1）,得 y一.因此 E（ 1, ）22解法二:2由（1）知，椭圆C：42工1.如图，连结EF.3因为 BF>=2a, EF+EF2=2a,所以ER=ER从而/ BFE=Z B因为 F2A=F2B,所以/ A=ZB,所以/ A=Z BFE,从而 EF/ F2A 因为AE，x轴，所以EF，x轴.x 13 因为 Fi(-1 , 0),由 x2 y2，得 y -.y- 1243一. 一 ,，_、 ， 3又因为E是线段BE与椭圆的交点，所以 y -.2一3因此 E

14、( 1,-).218.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法一：(1)过A作AE BD,垂足为E.由已知条件得，四边形 ACD内矩形，DE BE AC 6, AE CD 8.'因为PBL AB,84所以 cos PBD sin ABE.10 5所以 PB BD 15. cos PBD 45因此道路PB勺长为15 (百米).(2)若PB皿，由(1)可得研圆上，则线段BE±的点(除B, E)到点O勺距离均小于圆 O勺半径，所以建在加不满足规划要求若Q在D处，连结AD,由(1)知A

15、D JAPED2 10 ,从而cos BAD_ 2_ 2 2AD AB BD2AD AB-7 0 ,所以/ BAD1锐角.25所以线段ADk存在点到点O勺距离小于圆O勺半径.因此，Q选在比也不满足规划要求.综上，可口 Q匀不能选在 皿.(3)先讨论点P勺位置.当/OBR90。时，线段PB:存在点到点 O勺距离小于圆 O勺半径，点P不符合规划要求；当/OB改90。时，对线段PBh任意一点F, O6OB即线段PBh所有点到点 O勺距离均不小于圆 O 的半径，点哨合规划要求.设P为l上一点，且PB AB,由(1)知，PiB=15,3 此时 PD PB sin P1BD RB cos EBA 15 -

16、 9;5当/ OBP90 时，在 APEB 中，PB RB 15.由上可知，d>15.再讨论点Q勺位置.由(2)知，要使得Q星15 ,点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当Q盒15时， CQ JQA2 AC2 J152 62 3/21.此时，线段QA：所有点到点O勺距离均不小于圆O勺半径.综上，当PBL AB点Q位于点C右侧，且C03用时，d最小，此时P, Q两点间白距离PQ=PDnCt+C017+ 3 .21 .因此，d最小时，P, Q两点间的距离为17+3J21 (百米).解法二：(1)如图，过OOHLl ,垂足为H.以刖坐标原点，直线 OH； y轴，建立平面直角坐标系.因为B

17、D=12, AG6,所以OH9,直线l的方程为y=9,点A, B勺纵坐标分别为3,-3.因为A斯圆O勺直彳至,AB=10,所以圆O勺方程为x2+y2=25.一3从而A (4, 3) , B (-4, -3),直线AB勺斜率为-.44因为PBL AB,所以直线PB勺斜率为 4 ,3直线PB勺方程为y4x 25.33所以P (-13, 9) , PB J( 13 4)2 (9 3)2 15.因此道路PB勺长为15 (百米).(2)若PtD处，取线段BDE一点E (-4, 0),则EO=4<5,所以 理在皿不满足规划要求若Q在D处，连结AD,由(1)知D (-4, 9),又A (4, 3),一

18、一3所以线段AD y X 6( 4蒯x 4).4-2在线段ADk取点M (3, 15),因为OM 132 -5，32 42 5,4.4所以线段ADk存在点到点O勺距离小于圆O勺半径.因此Q选在皿也不满足规划要求.综上，所口 Q匀不能选在 加.(3)先讨论点印勺位置.当/OBR90。时，线段PB:存在点到点 O勺距离小于圆 O勺半径，点P符合规划要求；当/OB由90。时，对线段PBh任意一点F, OF>OB即线段PBh所有点到点 O勺距离均不小于圆 O 的半径，点哨合规划要求.设 P 为l 上一点，且 PB AB ,由(1)知，P1B=15,此时 PI (-13, 9);当/ OBO90

19、时，在 APEB 中，PB RB 15.由上可知，d>15.再讨论点Q勺位置.由(2)知，要使得QQ15,点QR有位于点C勺右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q(a, 9),由 AQ J(a 4)2 (9 3)2 15(a 4),得 a=4 3/2-,所以 Q (4 3幅,9),此时，线段QAb所有点到点O勺距离均不小于圆O勺半径.综上，当P (-13, 9) , Q (4 3用,9)时，d最小，此时P, Q两点间的距离PQ 4 3 21 ( 13) 17 3 21 .因此，d最小时，P, C两点间的距离为17 3/21 (百米).19.本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查

20、综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解：(1)因为 a b c,所以 f(x) (x a)(x b)(x c) (x a)3.因为f (4) 8 ,所以(4 a)3 8 ,解得a 2.(2)因为b c,所以 f (x) (x a)(x b)2 x3 (a 2b)x2 b(2a b)x ab2 ,从而 f'(x) 3(x b) x 之一b .令 f'(x) 0,得 x b或 x 四一b . 332a b 一 一 一 .一.因为a,b,包上，都在集合 3,1,3中，且a b, 32a b所以2ab 1,a 3,b3.3此时 f(x) (x 3)(x 3)

21、2, f'(x) 3(x 3)(x 1).令f'(x) 0,得x 3或x 1 .列表如下:x(,3)3(3.1)1(1,)f'(x)+0一0+f(x)Z极大值极小值Z所以f(x)的极小值为f (1) (1 3)(1 3)232 .(3)因为 a 0,c 1,所以 f (x) x(x b)(x 1) x3 (b 1)x2 bx,- 2 一f'(x)3x 2(b 1)xb.因为 0b1,所以4(b1)2 12b (2b 1)2 3 0,则f'(x)有2个不同的零点，设为 x1,x2 K x2 .b 1, b2 b 1 b 1 . b2 b 1由 f'

22、(x) 0 ,得 x1 , x2 .33列表如下:x(,x1)x1x1，x2x2(x2,)f'(x)+0一0+f(x)Z极大值极小值Z所以f(x)的极大值M f x解法一：32.M f x1x (b 1)x bx122x1 b 12bbi b(b 1)3x1 2(b 1)x) b - x1399922 b2 b 1 (b 1) b(b 1)279b(b 1)272(b 1)2(b 1)272； 327(, b(b 1) 1)b(b 1)24272727因此M427解法二：因为0 b 1,所以x1 (0,1).当 x (0,1)时，f (x) x(x b)(x 1) x(x 1)2.42

23、720.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化人21令 g(x) x(x 1) ,x (0,1),则 g'(x) 3 x - (x 1).31令g (x) 0,得x -.列表如下:3x1 (0,-)3131(?1)g'(x)+0一g(x)Z极大值1 . . 14所以当x -时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)max g 33274所以当x (0,1)时，f(x) g(x) 会因此M与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.解：(1)设等比数列an的公比为q,所以a1W0, qw 0.,a2 a4 a5 由出 4

24、 a2 4a12 44aq aqa1q2 4a1q 4a1因止匕数歹U an为“MH数歹(2)因为22-,所以bnbnbn 11 2 2由 bi 1,S1 b1，得 1 1 b",则 b2 2 .122 c bb 1由 k，得 Sn1，Sn bn bn 12孙1 H)当n 2时，由bnSnSn 1 ,得 bnbnbn 12 bn 1bnbn 1bn2 bnbn 1整理得 bn 1 bn 1 2bn .所以数列 bn是首项和公差均为1的等差数列. 一 _ *因此，数列b的通项公式为bn=n n N .由知，bk=k, k N*.因为数列cn为“M-数列”，设公比为q,所以c=1, q&

25、gt;0.k 1k 一“.因为 CkW bkW Ck+1,所以 q k q ,其中 k=1, 2, 3,，m当k=1时，有q> 1;、“，Jn k . In k当k=2, 3,，mm寸，有 lnqkk 1一 In x-1 In x设f (x)=(x 1),则 f (x) 2 xxx(1,e)e(e , +°0)f'(x)+0一f (x)极大值aln8 ln9 ln 3 ln3，所以 f (k)max f (3).6633因为取qln2233令f'(x) 0 ,得*=3.列表如下：，一一 ln kk,当 k=1, 2, 3, 4, 5时，ln q ,即 k q ,

26、 k经检验知qk 1 k也成立.因此所求m勺最大值不小于5.若命6,分别取 k=3, 6,彳#3<q3,且q5W6,从而 q 243,且 q15w216,所以q不存在.因此所求m勺最大彳1小于6.综上，所求m勺最大值为5.数学n（附加题）21 .【选做题】本题包括 A B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选彳4-2:矩阵与变换（本小题满分10分）3 1已知矩阵A 3 2 2（1）求A2;（2）求矩阵A的特征值.B.选修4-4 :坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点A

27、3- ,B J2,直线l的方程为 sin 3.424（1）求A, B两点间的距离；（2）求点 由IJ直线l的距离.C.选修4-5:不等式选讲（本小题满分10分）设x R ,解不等式|x|+|2 x 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2a2a4.,（n,0）22.（本小题满分 10分）设（1 x）n a0 a1x a2x2 Lanxn,n4,n N .已知 a；(1)求n的值；(2)设(1褥)nabJ3,其中a,bN* ,求a23b2的值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOH，设

28、点集 An (0,0),(1,0),(2,0),Bn(0,1),(n,1),Cn(0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2), n N .令MnAn U Bn UCn.从集合M中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离(1)当n=1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数n (n>3),求概率P (X< n)(用n表示).数学n (附加题)参考答案21.【选做题】A.选彳4-2:矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.3 1解：(1)因为A2 2一 2所以A3 13 12 2 2 2(2)矩阵刖特征多项式为f（）11

29、510 64.令f( ) 0,解得A的特征值1 1, 2 4.B.选彳4-4:坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.解：(1)设极点为 O 在4OA呼，A (3, 7), B ( & , 3)，由余弦定理，得 AB=, 32 （；2）2 2 32 cos, 1- 5 .(2)因为直线l的方程为 sin( -) 3,4则直线l过点(3夜,-),倾斜角为3-.又B(J2,一),所以点囱直线l的距离为(3衣 枪 sin(3- -) 2.242C.选彳4-5:不等式选讲本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.满分10分.“, ,1解：当x<0时，原不等式可化为x 1 2x 2,解得x<-；3“1 一 - rr当0WxW时，原不等式可化为 x+1 - 2x>2,即x<T,无解; 2,1 一 _当x> 时，原不等式可化为x+2x-1>2,解得x>1.2，一一一一一.1