2020-2021深圳中考数学《相似的综合》专项训练

1、2020-2021深圳中考数学相似的综合专项训练一、相似,BC于点 D, E,1 .已知：如图，在 4ABC中，AB=BC=1Q以AB为直径作O O分别交 连接DE和DB,过点E作EF1AB,垂足为 F,交BD于点P.(1)求证：AD=DE(2)若CE=2求线段CD的长；(3)在(2)的条件下，求 4DPE的面积.【答案】(1)解：:AB是。O的直径，Z ADB=90 ,即 BDXAC-.AB=BC,Z ABD=Z CBD在。O中，AD与DE分另1J是/ABD与/CBD所对的弦 .AD=DE;(2)解：二.四边形 ABED 内接于。O, ./CEDI CARCE CiZ C=Z C, ACED

2、IA CAB, . CA". AB=BC=10, CE=2, D 是 AC 的中点,(3)解：延长EF交。O于M,在 RtABD 中，AD=«/0, AB=10, BD=3 . EMXAB, AB 是。的直径, 屏-欣，/ BEP=/ EDB,.,.BPEABED,BP= 15 ,d DP=BD-BP= /J , Sadpe: Sabpe=DR BP=13: 32,1Sa bcd=- W灰 乂萩=15, Sabde: Sabcd=BE BC=4: 5, 1 Sa bdE=12 ,Sadpe=八5 .【解析】【分析】(1)根据已知条件 AB是。O的直径得出/ADB=90,再根

3、据等腰三角 形的三线合一的性质即可得出结论。(2)根据圆内接四边形的性质证得/CED=Z CAB,再根据相似三角形的判定证出 CEDACAEI,得出对应边成比例，建立关于CD的方程，即可求出 CD的长。(3)延长 EF交。于 M,在 RtAABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明 BPEABED,根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长，然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。2.如图，抛物线y=(6, 0),点C坐标为(x2+bx+c与x轴交于点 A和点B,与y轴交于点 C,点B坐标为(1)求抛物线的解析式及点 D的坐标;(2)如图1,抛物线的对称轴与

4、 x轴交于点 E,连接BD,点F是抛物线上的动点，当 /FBA=/ BDE时，求点 F的坐标；(3)如图2,若点M是抛物线上的动点，过点 M作MN /x轴与抛物线交于点 N,点P在 x轴上，点Q在坐标平面内，以线段 MN为对角线作正方形 MPNQ,求点Q的坐标.【答案】(1 )解：把 B ( 6 , 0 ) , C ( 0 , 6 )代入 y= : x2+bx+c ,得c = 6p = £- .解得%，抛物线的解析式是y=:x2+2x+6,顶点D的坐标是(2, 8)（2）解：如图1,过F作FGx轴于点G,/ _廿 + _节 + G，设 F （x,2 x2+2x+6）,贝U FG= ）

5、,FG BE / FBA=/ BDE, / FGB=Z BED=90 FB8 BDE,. BGDE ,. B （6, 0） , D （2, 8） , ，E （2, 0） , BE=4, DE=8, OB=6, . BG=6-x,/ -+ M + 61灯-£- * % + 6 I24当点F在x轴上方时，有 行工占，.xn-l或x=6 （舍去），此时 Fl的坐标为（-1,上），/ w 3 J 624j =1当点F在x轴下方时，有 6 乂百，x=-3或x=6 （舍去），此时 F2的坐&-iB标为（-3, 匚），口 IJ综上可知F点的坐标为（-1,1）或（-3,上）(3)解：如图2,

6、不妨M在对称轴白左侧，N在对称轴白左侧， MN和PQ交于点K,由题意得点 M, N关于 抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ为正方形，且点 P在x轴上，点P为抛物线的对称轴与 x轴的交点，点 Q在抛物线的对称轴上， .KP=KM=k,贝U Q (2, 2k) , M 坐标为(2-k, k),II点 M 在抛物线 y=三 x2+2x+6 的图象上，.1.k=(2-k)2+2(2-k)+6解得ki=B或k2=/ - 5，满足条件的点 Q有两个，Qi (2,二 人叮；)或Q2 (2, -J-入'").【解析】【分析】(1)根据点B、C的坐标，利用待定系数法建立关于b、c的方程组，求解

7、就可得出函数解析式，再求出顶点坐标。(2)过F作FGLx轴于点G,设出点F的坐标，表示出 FG的长，再证明 FB84BDE, 利用相似三角形的性质建立关于x的方程，当点F在x轴上方时和当点 F在x轴下方时，求出符合题意的x的值，求出点F的坐标。(3)由点M, N关于抛物线的对称轴对称，可得出点 P为抛物线的对称轴与 x轴的交点， 点Q在抛物线的称轴上 ，设Q (2, 2k) , M坐标为(2-k, k),再由点 M在抛物线上， 列出关于k的方程，求解即可得出点 Q的坐标。3.如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球(1)球在地面上的影子是什么形状？(2)当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变

8、化？(3)若白炽灯到球心的距离是1 m,到地面的距离是 3 m,球的半径是0.2 m,则球在地面上影子的面积是多少？【答案】(1)解：球在地面上的影子的形状是圆(2)解：当把白炽灯向上平移时 ，影子会变小(3)解：由已知可作轴截面，如图所示：依题可得：OE=1 m, AE=0.2 m, OF=3 m, AB± OF于 H, 在 RtA OAE 中,.-.OA= -.'W -= / aoh=z eoa, / aho=z EAO=90 ,° .OAHsOEA,OA Ob".OH=OE =UA24(m),OH OA又 / OAE=Z AHE=90 , / AEO

9、=Z HEA, .OAEAAHE,Oh AE=A = Ah .OE.AH=X=2625 (m).依题可得： AHOsCFQahcf=ohof , . CF= AH?OFOH = 2625 X 32425=64 (m) S 影子=兀 2=CF - (64)2 = 38 兀=0)375 兀(m答：球在地面上影子的面积是0.375兀m.【解析】【分析】(1)球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.(2)根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小(3)作轴截面(如图)由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三

10、角形的性质 对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积4.如图，抛物线 y=x2+bx+c经过B(-1, 0), D(-2, 5)两点，与x轴另一交点为 A,点H是线段AB上一动点，过点 H的直线PQ±x轴，分别交直线 AD、抛物线于点 Q、P(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点P,使/APB= 90°,若存在，求出点 P的横坐标，若不存在，说明理由；(3)连接BQ, 一动点M从点B出发，沿线段 BQ以每秒1个单位的速度运动到 Q,再沿 线段QD以每秒三个单位的速度运动到 D后停止，当点 Q的坐标是多少时，点 M在整个 运动过程中用时t最少？【答案】(1

11、 )解：把 B ( 1 , 0) , D ( 2, 5)代入* = + ' + d ,得： ,7 - b -f- c = 0b = - 2“ 二也一 、解得： 二一抛物线的解析式为：尸二/一a-3(2)解：存在点 P,使/APB=90.当 y=0 时，即 x2-2x- 3=0,解得：x1=- 1, x2=3,，OB=1, OA=3.设 P(m, m2 2m 3)，则一1WmC§ PH=一 ( m2 2m 3) , BH=1+m, AH=3 m , Z APB=90 ,° PHI± AB,，/PAH=/ BPH=90 ' / APH, / AHP=/

12、 PHB,AAHPAPHB,PH Ah阳/ 局,PH2=BH?AH, . - ( m2 - 2m - 3) 2= (1+m ) ( 3 - m ),解得 m1二 * + M，m2=，X,1' -1 , 点 P 的横坐标为：i 或，-7$(3)解：如图，过点 D作DNx轴于点N,D 作 DK/ xDN <5= 一则 DN=5, ON=2, AN=3+2=5,，tan/DAB=.博 § =1 , . . / DAB=45 .过点轴，则/ KDQ=/ DAB=45 , DQ=K' QG.由题意，动点 M运动的路径为折线 BQ+QD,运动时间：t=BQ+DQ,t=BQ+

13、QG,即运动的时间值等于折线 BQ+QG的长度值.由垂线段最短可知，折线 BQ+QG的长度的最小值为 DK与x轴之间的垂线段. 过点B作BHLDK于点H,则t最小=BH, BH与直线AD的交点，即为所求之 Q点. A （3, 0） , D （- 2, 5） , 直线 AD的解析式为：y= - x+3, / B点横坐标为-1, . y=1+3=4, . .Q （ -1,4）.【解析】【分析】（1）把点B, D的坐标代入二次函数中组成二元一次方程组，解方程组 即可得到抛物线的解析式；（2）先按照存在点 P使/APB= 90。，先根据抛物线的解析式求 得点A, B的坐标，设出点 P的坐标，根据点 P

14、的位置确定 m的取值范围，再证 AHPAPHB,从而得到PH2=BH?AH,即可列出关于 m的方程，解方程即可得到m即点P的横坐标，且横坐标在所求范围内，从而说明满足条件的点P存在；（3）先证明/DAB=45；从而证得DQ= 2 QG,那么运动时间t值等于折线BQ+QG的长度值，再结合 垂线段最短确定点 Q的位置，再求得点 Q的坐标即可.5.如图，已知：在 RtABC中，斜边 AB=10, sinA= $，点P为边AB上一动点（不与 A,B重合），PQ平分/CPB交边BC于点Q, QMLAB于M, QNLCP于N.(1)当 AP=CP时,求 QP;(2)若四边形PMQN为菱形，求CQ;(3)探

15、究：AP为何值时，四边形 PMQN与4BPQ的面积相等?4【答案】(1)解：. AB=10, sinA=弓，BC=8,则 ac= ：/>/ =6, PA=PCZ PAC=/ PCA, PQ 平分 / CPB/ BPC=2Z BPQ=2/ A,/ BPQ=Z A, .PQ/ AC,PQ± BC,又 PQ平分 ZCPB,/ PCQ=Z PBQ, .PB=PC .P是AB的中点，PQ= AC=3(2)解：二四边形PMQN为菱形,MQ / PC,/ APC=90 ；(K J X ABX CP= AC¥ BC则 PC=4.8,由勾股定理得，PB=6.4, MQ / PC, PB

16、 历=24 解得，CQ=(3)解：PQ平分/CPB, QMXAB, QNXCP,.QM=QN, PM=PN, Sapmq=Sapnq ,四边形PMQN与ABPQ的面积相等,.PB=2PM,.QM是线段PB的垂直平分线，/ B=ZBPQ,/ B=/CPQ.CPCACBP, a a pc.辰=5=百,Cf BQ=,.5.CP=4 姆=4升=5,.BQ=8-Wb囹 一一.BM='，AP=AB PB=AB 2BM=AC=6, BC=8,因为 PQ平分【解析】【分析】(1)当 AP=CP时，由锐角三角函数可知 /CPB,所以PQ/AC,可知PB=PC所以点P是AB的中点，所以 PQ是4ABC的中

17、位线，PQ =3;(2)当四边形 PMQN为菱形时，因为 /APC=?0'，所以四边形PMQN为正方形，可得PB力利8M即以,- - - - - - - QC -PC=4.8,PB=3.6,因为MQ/PC ,所以"她MP就，可得 7 ；当QM垂直平分PB时，四边形PMQN的面积与 BPQ的面积相等，此时25 I 39QC - - - CPQsCBP,对应边成比例，可得8 ,所以 4,因为 AP=AB-2BM,所以IIAP=.6.如图，抛物线5- - mx2 - 810，112口施 0)与上轴交于 A, B两点(点B在点A的左 侧)，与y轴交于点C,顶点为D,其对称轴与轴交于点

18、E,联接AD, OD.(1)求顶点D的坐标(用含1D的式子表示)；(2)若OD,AD,求该抛物线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，设动点 P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点 M,若 AME与4OAD相似，求点 P的坐标.【答案】(1)解： J'二血” -81nli + 121tl二鼠又一4户一金，.顶点D的坐标为(4,-4 m)(2)解：一皿工？-舐* J 12m m(x - 2)双 6).点 A (6, 0)，点 B(2,0),则 OA=6,二,抛物线的对称轴为 x=4, .点 E (4, 0), 贝U OE= 4, AE= 2,又 DE= 4m,由勾股定理得：加-/

19、.正-加+ ”,且/_/+,/_上而 f又 ODXAD ,则 上媪T4的 + 16 - 36 ,解得：m>0,，抛物线的函数表达式（3）解：如图，过点 P作PH,x轴于点H,则 APHM4AME,在RtOAD中，0D 人弓徐当 APHMAMEsAOD 时,L2- 42x + G2图 0D'- - '3.All QA解得：x=0, x=6 （舍去），.点P的坐标为D APHMMMEs OAD时,PH OA而一而一 7解得：x=1, x=6 （舍去），点P的坐标为综上所述，点P的坐标为向6v5,【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式即可求得顶点（2）要求抛物线的解析

20、式，只须求出m的值即可。因为抛物线与令y=0,解关于x的二次方程，可得点 A、B的坐标，则 OA、D的坐标；x轴交于点A、B,所以OD、AD均可用含m的代数式表示；因为ODLAD,所以在直角三角形 OAD中，由勾股定理可得将OA、OD、AD代入可得关于 m的方程，解方程即可得 m的值，则抛物线的解析式可求 解；(3) 4AME与4OAD中的对应点除直角顶点 D、E固定外，其余两点都不固定，所以分两 种情况： 当AMEsaod时，过点 P作PHI± x轴于点 H,易得APHMA AMEsAOD,可得 相应的比例式求解； 当AMEsOAD时，过点 P作PHI± x轴于点 H,易

21、得APHMA AMEsOAD,可得 相应的比例式求解。7.如图，在 ABC 中，/ACB=90°, AC=6cm, BC=8cm,点 D 从点 C 出发，以 2cm/s 的速 度沿折线 C-A-B向点B运动，同时点 E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运 动，设点E运动的时间为t (单位：s) (0vtv8).(1)当4BDE是直角三角形时，求 t的值；(2)若四边形 CDEF是以CD DE为一组邻边的平行四边形， 设它的面积为 S,求S关 于t的函数关系式；是否存在某个时刻 t,使平行四边形 CDEF为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：如

22、图1,当/BED=90时，4BDE是直角三角形，图1贝U BE=t, AC+AD=2t, .BD=6+10-2t=16-2t , / BED=Z C=90 ； .DE/ AC,BEDE 而一元 , ?F /)£8 6, ? . DE=4，竺. sinB='如364t=;如图2,当/EDB=90时，4BDE是直角三角形,贝U BE=t, BD=16-2t, BD BCScosB= R£ 田/心871答：当4BDE是直角三角形时，t的值为，工或(2)解：如图 3,当 0vtw 时,BE=t, CD=2t, CE=8-t,国二，S?cdef=2Szcde=2K X 21(

23、渴-t) =-2t2+16t,如图 4,当 3vt<8 时，BE=t, CE=8-t,过 D 作 DHL BC,垂足为 H,图业 . DH / AC,附BLAC AB ,DH 16 - 2t飞一矿,|3仃6-2) .DH= 5,/.1.S?cdef=2S>acde=2 >C3(16 2t) 696 38士X CEX DH=CEX DH= XS t2- 6 t+ 5 ；.S于t的函数关系式为：当 0vtw时，S=-2t2+16t, 6 回勉|当 3v tv 8 时，S="2. 3 t+ J .存在，如图5,当？CDEF为菱形时，DHL CE,D图E由 CD=DE得：C

24、H=HE, 4(16 - 2t)8 - tBH= 5, BE=t, EH= ? .BH=BE+EH4(16 - 2t)8 - t=t+t=即当t二/时，？CDEF为菱形.【解析】【分析】（1）因为 BDE是直角三角形有两种情况: 当/BED=90 °时，可彳HDE/AC,根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得'丽质J,于是可得比例式将DE慨用含t的代数式表示，再根据 sinB=力工可得关于t的方程，解方程即可求解； 当/EDB=90。时，同理可求解；（2）当 0vt<3 时，S?CDEF=2S ACDE 可得s与t的关系

25、式；当3v tv 8时，过D作 DH ± BC ,垂足为H,根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得I小8加 /次：1,于是可得比例式将 DH用含t的代数式 表不则S?cdef =2S zxcde可得s与t的关系式；当3Vt<8时，同上； 存在，当？CDEF为菱形时，DHXCE,根据BH=BE+EH 可得关于t的方程，解方程 即可求解。8.如图，在平面直角坐标系中，点 A ( 5, 0),以OA为半径作半圆，点 C是第一象限 内圆周上一动点，连结 AC BC,并延长BC至点D,使CD= BC,过点D作x轴垂线，分别 交x轴、直线A

26、C于点E、F,点E为垂足，连结 OF.(1)当/BAC= 30o时，求 ABC的面积；(2)当DE= 8时，求线段EF的长；(3)在点C运动过程中，是否存在以点E、0、F为顶点的三角形与 4ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)解：.AB是。的直径，/ ACB=90 ；在 RtABC 中，AB=10, /BAC=30,1BC= AB=5,.AC=k/5-电'茄，1 ?而Sa abc=上 AC?BC=不.AD=AB=10,.DEXAB,.AE= 谶=6,BE=AB-AE=4, ，DE=2BE / AFE+/ FAE=90 , ° D DBE+Z

27、 FAE=90 ,° / AFE=Z DBE, / AEF=Z DEB=90 ,° .AEFADEB,b=2,.EF=工 AE=-X 6=3(3)解：连接囱当BC的度数为EC,设 E(x, 0),600时，点E恰好与原点O重合;团0。式 的度数<60 °时，点E在O、B之间，/EOF/ BAC=Z D,又 /OEF玄 ACB=90,由相似知 /EOF=/EBD,此时有 EOD EBD,0E 班二的应，EC是RtA BDE斜边的中线,.CE=CB/ CEB=Z CBE, / EOF玄 CEB.OF/ CE,.AOFAAECAO OFAE CE国 20h解得x=

28、- 15 十因为x>0,td60 ° <'的度数<90 °时,点E在O点的左侧,若/ EOF=Z B,贝U OF/ BD, .OF= BC= BD,OFOE1- x18加BE:即 5 - xJ 解得x= J,一/ ni N若 / EOF=Z BAG,贝U x=- J ,| 一16十员"J5综上点E的坐标为（-1 ,0）;（ 彳，0）;（-工，0）【解析】 【分析】(1)根据圆周角定理求得 /ACB=90,根据30。的直角三角形的性质求得BC,进而根据勾月定理求得 AC,然后根据三角形面积公式即可求得；( 2)连接AD, 由垂直平分线的性质

29、得 AD=AB=10,又DE=8,在RtA ODE中，由勾股定理求 AE,依题意证明AED4DEB,利用相似比求 EF; (3)当以点E、0、F为顶点的三角形与 ABC相似 时，分为两种情况： 当交点E在0, B之间时；当点E在0点的左侧时；分别求 E点坐标.9.如图，已知一次函数 y=- J x+4的图象是直线1,设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B.(1)求线段AB的长度；(2)设点M在射线AB上，将点 M绕点A按逆时针方向旋转 90°到点N,以点N为圆 心，NA的长为半径作 ON.当。N与x轴相切时，求点 M的坐标；在的条件下，设直线 AN与x轴交于点C,与。N的另一个交点为

30、D,连接MD交x 轴于点E,直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q,当 APQ与 CDE相似时，求 点P的坐标.【答案】(1)解：当x=0时，y=4,A (0, 4),.-0A=4,4当 y=0 时，-3x+4=0,x=3,.B （3, 0）,.OB=3,由勾股定理得：AB=5(2)解：如图1,过N作NHy轴于H,过M作MEy轴于E,OBEH S tan Z OAB= OA AE 7, 设 EM=3x, AE=4x,贝U AM=5x,.M (3x, -4x+4),由旋转得：AM=AN , /MAN=90 , / EAM+Z HAN=90 ； / EAM+Z AME=90 ;/ HAN=Z

31、AME, / AHN=Z AEM=90 ；.-.ahnamea,.AH=EM=3x,.ON与x轴相切，设切点为 G,连接NG,则NG±x轴, .NG=OH, 则 5x=3x+4, 2x=4, x=2,.M (6, -4);如图2,由知N (8, 10), . AN=DN, A (0, 4), .D (16, 16), 设直线 DM： y=kx+b, 把 D (16, 16)和 M (6, -4)代入得：, b=16:能=-i , -k=2 解得：， 直线DM的解析式为：y=2x-16, 直线DM交x轴于E, 当 y=0 时，2x-16=0,x=8, E (8, 0),由 知：ON与x

32、轴相切，切点为 G,且G (8, 0), .E与切点G重合， / QAP=/ OAB=Z DCE.APQ与CDE相似时，顶点 C必与顶点 A对应， 分两种情况：i)当DC上QAP 时，如图 2, /AQP=/ NDE, / QNA=Z DNF,/ NFD=Z QAN=90 ；1. AO/ NE,.ACOANCE, AO _CGI：.-00= 3|,连接BN,.AB=BE=5, Z BAN=Z BEN=90 ,Z ANB=Z ENB,.EN=ND,Z NDE=Z NED,Z CNE士 NDE+Z NED,Z ANB=Z NDE,. BN II DE,J Si _寸RR ABN 中，BN八'

33、;/VAB _A7sinZANB=Z NDE= BN ,5 _凶 一冗,NF=2 ', 1. DF=4 '6， Z QNA=Z DNF,tan Z QNA=tan Z DNF= ' 川5 AC，城二“ .AQ=20, 3 4,. tan Z QAH=tan Z OAB=V A 设 QH=3x, AH=4x,则 AQ=5x, 5x=20,x=4, 1.QH=3x=12, AH=16, Q (-12, 20),同理易得：直线NQ的解析式: P (0, 14);y=- x+14,3,ii)当DC&PAQ时，如图/ APN=/ CDE, / ANB=Z CDE1. AP

34、/ NG,/ APN=Z PNE,/ APN=Z PNE=Z ANB, .B与Q重合，.AN=AP=10, .OP=AP-OA=10-4=a P (0, -6);综上所述，APQ与CDE相似时，点P的坐标的坐标(0, 14)或(0,-6)【解析】【分析】(1)由一次函数解析式容易求得 A、B的坐标，利用勾股定理可求得AB0B闽 J的长度；(2)根据同角的三角函数得：tan/OAB=R! AE 也设EM=3x, AE=4x,则 AM=5x,得 M (3x, -4x+4),证明AHNMEA,则 AH=EM=3x,根据 NG=OH,列式可 得x的值，计算M的坐标即可； 如图2,先计算 E与G重合，易

35、得 /QAP=/ OAB=Z DCE,所以4APQ与4CDE相似时， 顶点C必与顶点A对应，可分两种情况进行讨论：i)当DCaQAP时，证明AC84NCE,列比例式可得CO= 3 ,根据三角函数得：DF眼g 磔tanZ QNA=tanZ DNF=4产 心,AQ=20,则 tan / QAH=tan / OAB= 41* ,设 QH=3x ,AH=4x,贝U AQ=5x,求出 x 的值，得 P (0, 14);ii)当DC上PAQ时，如图3,先证明B与Q重合，由AN=AP可得P (0, -6).10.如图，以AB为直径的。外接于4ABC ,过A点的切线 AP与BC的延长线交于点 P , /APB

36、的平分线分别交 AB , AC于点D , E ,其中AE , BD (AEv BD)的长是一 元二次方程x2-5x+6=0的两个实数根.(1)求证：PA?BD=PB?AE;(2)在线段BC上是否存在一点 M ,使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明,并求其面积；若不存在，说明理由 .【答案】(1)解：PD平分/APB,/ APE=Z BPD,AP与。O相切,/ BAP=Z BAC+Z EAP=90 ,.AB是。的直径，/ ACB=Z BAC+Z B=90 ；/ EAP=Z B,.PAEAPBD, PA PB 瓯, PA?BD=PB?AE(2)解：如图，过点 D作DU PB于点F,作DGA

37、C于点G,PD 平分/APB, ADXAP, DF± PB, .AD=DF, / EAP=/B,Z APC=Z BAC,易证：DF/ AC,/ BDF=Z BAC,由于AE, BD (AEV BD)的长是x2 - 5x+6=0的两个实数根,解得:AE=2, BD=3,，由(1)可知:，DF=2, . DF=AE,四边形ADFE是平行四边形，.AD=DF,，四边形ADFE是菱形，此时点 F即为M点,一. cos/ BAC=cosZ APC= 3 ,sin / BAC= 3 ,dDG= 3 ,I/J3菱形 ADME 的面积为：DG?AE=2 X3 = J .【解析】【分析】（1）易证/A

38、PE=Z BPD, /EAP=/ B,从而可知 APAEAPBD,利用相似三角形的性质即可求出答案 .（2）过点D作DF± PB于点F, D DGLAC于点G,易求得 口4二AE=2, BD=3,由（1）可知： 二 3 ,从而可知 cos/ BDF=cosZ BAC=cosZ APC= ,从而 可求出AD和DG的长度，进而证明四边形 ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四 边形的面积即可求出菱形 ADFE的面积.11.如图，正方形 ABCD的边长为 4,点E, F分别在边 AB, AD上，且/ ECF= 45°, CF的 延长线交BA的延长线于点 G, CE的延长线交

39、DA的延长线于点 H,连接AC, EF. , GH.露用陶（1）求/AHC与/ACG的大小关系（冬”或2"或竺"）（2）线段AC, AG, AH什么关系？请说明理由；(3)设 AE= m,AAGH的面积S有变化吗？如果变化.请求出 S与m的函数关系式；如果不变化，请 求出定值. 请直接写出使4CGH是等腰三角形的 m值.【答案】(1)二.四边形ABCD是正方形，.-.AB=CB= CD= DA= 4, /D=/DAB= 90 °Z DAC= Z BAC= 45 °,.AC= .工户-F = N-, / DAC= / AHC+Z ACH= 45 °

40、;, / ACH+ Z ACG= 45 °,/ AHC= / ACG.故答案为=.(2)解：结论：AC?=AG?AH .理由： ZAHC= Z ACG , /CAH=/CAG= 135°,.AHCAACG ,AH AC五元，.,AC2 = AG?AH .(3)解：AAGH的面积不变.理由：S agh=1?AH?AG=三 Ad= - X (4U :)2=16.AGH的面积为16.如图1中，当 GC= GH时，易证 AHGBGC,1. BC/ AH ,BC BE 1 AH AE 二 ,.AE=: AB= I如图2中，当CH= HG时,. BC/ AH ,BE B(.AE 出=1, .AE= BE= 2./ ECB= / DC已 22.5.在BC上取一点M ,使得BM如图3中，当CG= CH时，易证/ BME= ZB