(完整版)初中数学一元二次方程知识点总结与练习

1、知识点总结：一元二次方程知识框架 it来曲横.科才事实标问题数学问题+历+ e = O(d学0)升平方起才去酢犬法次分篇因式总知识点、概念总结1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次)的方程，叫做兀二次方程。2. 一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2 ;(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a丰0)的形式，则这个方程就为一元二次方程；(4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足(aw。)；3

2、. 一元二次方程的一般形式 ：一般地，任何一个关于 x的一元二次方程，经过整理，？都能化成如下形式 ax2+bx+c=0(aw。)。一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0 (aw0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。4. 一元二次方程的解法(1)直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 (x a)2 b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b 0时，x a 屈，x a Jb ,当b<0时，方程没有实数根。(2)配方法配方法是一种重要的数学方法，它

3、不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a2 2ab b2 (a b)2 ,把公式中的a看做未知数 x ,并用x代替，则有x2 2bx b2 (x b)2。配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为 (x+p) 2=q的形式，如果q>0,方程的根是x=-p 土， q；如果q<0,方程无实根.(3)公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2 bx c

4、0(a0)的求根公式：b . b2 4ac 2x (b 4ac 0)2a(4)因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。5. 一元二次方程根的判别式 222根的判别式：一兀一次万程ax bx c 0(a 0)中，b4ac叫做一元二次万程 ax bx c 0(a 0)的根的判别式，通常用“”来表示，即b2 4ac6. 一元二次方程根与系数的关系2bc如果万程ax bx c 0(a0)的两个实数根是x1,x2，那么x1x2一，x1x2一。也就是说，对于任何一个aa有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数

5、所得的商的相反数；两根之积等于常数项 除以二次项系数所得的商。7 .分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。8 .分式方程的一般解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：(1)去分母，方程两边都乘以最简公分母(2)解所得的整式方程(3)验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。例题：1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打，不是的打“X”，并说明理由.(1)2x 2 -x-3=0.(2) : -y 2 =0.(3) t 2 =0.

6、 x 3-x 2 =1.(5) x 2-2y-1=0.(6) 2-3=0.x(7) x2 3x =2.(8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.(9)3x 2- 4+6=0.(10)3x 2 = x-3.x41、若关于x的方程a(x1)2=2x22是一元二次方程，则 a的值是 ()(A) 2(B) 2(C) 0(D)不等于 2222、已知关于x的万程 m 1 x n 3 x p 0 ,当 时，万程为一次万程；当 时，两根中有一个为零a。m2 23、已知关于x的万程 m 2 x x m 0 ：(1) m为何值时方程为一元一次方程；(2) m为何值时方程为一元二次方程。知识点二.一元二次方程的一般

7、形式22一兀一次万程的一般形式是：ax bx c 0 a 0 ,其中ax是二次项，a叫二次项系数；bx是一次项，b叫一次项系数，c是常数项。特别警示：(1) “a 0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；(2)二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。知识点三.一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。例题：21、已知方程3x 9x0的一个根是1,则m的值是一 一、一22、设a是一元二次方程x5x 0的较大根,_2b是x 3x 2 0较小根,那么a b的值是(A) -4(B) -3(C)

8、 1(D) 2, 一一 一 ，、一23、已知关于x的一兀二次方程xkx 20的一个解与方程3的解相同。(1) 求k的值;2(2) 求万程x kx 2 0的另一个解。知识点四.一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：(1) 直接开平方法：如果 x2 k k 0 ,则xVk(2) 配方法：要先把二次项系数化为1,然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式,右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解;(3) 公式法:二次方程 ax2 bxc 0 a 0的求根公式是xb . b2 4ac2a.2b 4ac 0 ；(4) 因式分解法：如果 x a x b0 则 x 1 a,x2温

9、馨提示:二次方程四种解法都很重要,尤其是因式分解法,它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。例题：解方程:1、解下列方程:(1) 2,3 y22.3 y2_(3) (x 3) 2x知识点五.二次方程根的判别式对于二次方程ax2 bx c 00的根的判别式是b24ac :(1)当 b2 4ac0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当 b2 4ac0时,方程有两个相等的实数根;(3)当 b2 4ac0时,方程无实数根。温馨提示：若方程有实数根,则有 b2 4ac 0。例题:21、已知万程x 3xk 0有两个不相等的实数根，则k=2、当m满足何条件时,、一一2 一 ， 一 ，万程

10、mx 2 m 1 x 9m 10有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根?一一、一 23、美于x的万程mx22 m 2 x m 5 0无实根，试解关于 x的万程m 5 x 2m 2xm0。.2. 4、已知关于x的一兀二次万程 x 4 m 1 x 2m 1 0,求证：不论 m为任何实数，总有两个不相等的实数根。知识点六.一元二次方程根与系数的关系2b c右一兀一次万程 ax bx c 0 a 0的两个实数根为 为，x2，则x1 x2-, x1x2 。a a温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。例题：2-2_x1,x2 ,且满足 x1 x2 x1x2,则 k的值为:1、关于

11、x的一元二次方程 x2 kx 4k2 3 0的两个实数根分别是，、，、3（A）1或一（B）14-3_ 一(C) (D)不存在4是关于x的一元二次方程x2c c2112、已知2m 3 x m 0的两个不相等的实数根，且满足 一 一值是(A) 3 或-1(B) 3(C) 1(D) -3 或 1、一 23、方程x3x 620与方程x2 6x 30的所有根的乘积是4、两个不相等的实数2m,n满足m6m一 24,n 6n 4 ,则mn的值为、一一、.一 ,、一25、设x1，x2是关于x的一兀二次万程 x2px q 0的两个根，X 1,x2 1是关于x的一兀二次万程x qx p 0的两个根，则p,q的值分

12、别等于多少?知识点七.一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。1、有一个两位数，十位数字比个位数字大3,而此两位数比这两个数字之积的二倍多5,求这个两位数。2、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128 元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少?1、卜列方程中，关于 x的二次方程是元二次方程综合复习“ c , 2 C -11A. 3 x 12 x 1 B.x x2、方程(m21) x2+ mx-

13、 5 = 022 0 C.ax是关于(D) m= ± 13、若x、一2.二次万程 ax bx4、实数b . b2 4ac 已是万程 的根2a(A) ax2bx c 0(B) ax2(C) ax2bx c 0，一、2(D) ax,八 2-2bx c 0 D. x 2x x 1二次方程，则m满足的条件是0的一个根，则a bbxbx)(A) mw1(B) mw 0(C)、一 25、方程x25 0的解是:A. x 1 x25 B. x 1 x225C.x 15,x2D. x 1 25, x2256、关于x的二次方程kx22x0两个不相等的实数根，则 k的取值范围是(A) k 1(B)(C)(

14、D) k7、在下列方程中,有实数根的是2A) x 3x 10 B) J4x 1C)2x 3 0 D)8、关于x的2二次方程 2x2x3m0有两个实数根x1，x2x1x2x1 x24,则m的取值范围是(A) m1(B) m 一2(C) m 一35(D)一39.若(x+y )(1x y) +6=0,贝U x+y 的值是()B. 3C. 2或 3D. 2 或一3m(m 2) 110、右(m+1) x +2mx 1=0 是关于 x 的二次方程，则 m的值是11、填上适当的数，使等式成立：x2 5x=(x -)2.12、当 x =时，代数式x2 3x比代数式2x2 x 1的值大2 .13、某商品原价每件

15、 25元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16元，则该玩具平均每次降价的百分率17、设X1,X2是关于X的方程Xm 0 m 0的两个根，且满足19、已知关于x的一元二次方程x2 kx 1 0。(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设的方程有两根分别为 x1,x2,且满足x1 x2 x1 x2求k的值。_.、一2221.已知： ABC的两边AB、AC的长是关于x的一兀二次万程 x 2k 3 x k 3k 2 0的两个实数根，第三边BC的长为5,问：k取何值时， ABC是以BC为斜边的直角三角形？22、一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5cm,容积是5 0 0

16、 cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。23、如图，有一面积为 150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长18 m),另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为 35 m,求鸡场的长与宽各为多少米？H- E -24、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销,该经营户决定降价，经调查发现，这种小西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出 40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利 200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？25、在矩形ABCD中，AB=6cm , BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点 Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t (s)表示移动的时间(0wtw3)。那么，当t为何值1. (I)已知a,b,c均不为0,且a 2b 3b c 2c a757c 2b2b 3a的值;时， QAP的面积等于2cm2?(n)已知：x 0,且x 6jXy 7 y 0 ,求2的值. y22 .已知关于 x的一兀二次方程 x 4x+k+1 = 0(1)若x=1是方程的一个根，求 k值和方程的另一根；(2)设xi, x2是关于x的方程x24x+k+1=0的两个实数根，是否存在实数 k,使得xiX2>Xi+x2成立？请说明理由.