2016年北京市高考理科数学试题及答案

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)、选择题 共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)已知集合a丰加|yo,(A)(C)(B) sinx-siny 0(D) Inx+lny 0(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(D) 1将函数尸=所口 12#一3)图像上的点p,t )向左平移s (s 0)个单位长度得到点P.若P位于函数y = Eim (2h)的图像上，则

2、1 H巡Tt(A) t=7 , s的最小值为I(B) t=-7 , s的最小值为二2qNg(C) t=7 , s的最小值为?(D) t Oj b 0 ；1的渐近线为正方形 OABC的边OA , OC所在的直线，点 a* b2为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2,则a=.一 ”、自国一 3s. x a,(14)设函数 ffx)、2x； x de若a=0,则f(x)的最大值为 ;若f(x)无最大值，则实数 a的取值范围是 。三、解答题(共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)(15)(本小题13分)在 ABC 中，a3 c3 b3 J2ac(I)求 B的大小(II)求我

3、cosA cosC的最大值(16)(本小题13分)A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时) ；A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(I)试估计C班的学生人数;(II)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲， C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(III )再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7, 9, 8.25 (单位：小时)，这3个新数据与表格中的

4、数据构成的新样本的平均数记眄，表格中数据的平均数记为此，试判断 和向.的大小，(结论不要求证明)(17)(本小题14分)平 面 ABCD如 图， 在 四 棱锥 P-ABCD 中，平面 PADPA PD,PA=PD,AB AD,AB=1,AD=2,AC=CD= 5(I)求证:PD 平面PAB；(II)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(II I )在棱PA上是否存在点M,使得BMll平面PCD?若存在，求 公的 的值；若不存在，说明理由。AP(18)(本小题13分)设函数 f(x)=xe ea x +bx,曲线 y=f(x)d hko (2,f(2)处的切线方程为 y=(e-1)x+4 ,(

5、I)求a,b的值；(I I)求f(x)的单调区间。(19)(本小题14分)X 223已知椭圆C： 一 与 1 (ab0)的离心率为 ,A (a,0) ,B(0,b) , O (0, 0), AOAB的面积为1. a b2(I)求椭圆C的方程；(I I)设P的椭圆C上一点，直线 PA与Y轴交于点M ,直线PB与x轴交于点N。求证：lANl g旧Ml为定值。(20)(本小题13分)设数列A ： a1 , a2，aN (N2)。如果对小于 n(2 w nw N)的每个正整数k都有ak v an ,则称n是数列A的一个“ G时刻”。记“ G (A)是数列A的所有“ G时刻”组成的集合。(I)对数列A:

6、 -2, 2, -1, 1, 3,写出G (A)的所有元素；(I I)证明：若数列A中存在an使得an a1，则G (A)(I II)证明：若数列 A满足an-an1 1 (n=2,3,N),则G (A)的元素个数不小于 aN -a1。2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)参考答案一、选择题(共 8小题,(1) C C(5) C(6) A二、填空题(共 6小题,(9) 1(10)(11)2(12)(13) 2(14)三、解答题(共6小题, (15)(共 13 分)每小题5分，共40分)(3) B(4) D(7) A(8) B每小题5分，共30分)6062(,1)共80分)解

7、：(I)由余弦定理及题设得cosB a2 c2 b2 二ac 22ac 2ac 2又因为0 B,2 cos A cosC2 cos A43cos(A)42 cos A 2A . 2 . A 2 A 、2 . cos A sin A cos A sin Acos(A ), 4-3因为0 A ，所以当4(16)(共 13 分)解：(I)由题意知，抽出的计为 100 40.20A 一时，22 cos A cosC取得最大值1.420名学生中，来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法， C班的学生人数估(n)设事件 A为“甲是现有样本中 A班的第i个人”，i 1,2, ,5,事件Cj为“乙是现有样本中C

8、班的第j个人”，j 1,2, ,8,由题意可知,1-1P(Ai) 5, i 1,2, ,5; P(Cj) 8, j1,2,8.-11P(AiCj) P(A)P(Cj)1 15 81 .,i 401,2, ,5, j1,2, ,8.设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,EAGA1C2A2C1A2c2A2c3A3C1A3c 2A3C3A4c1A4C2A4c3A5C1A5c 2A5c3A5c4因此P(E) P(AG) P(A1c2)P(A2c1) P(A2c2) P(A2c3) P(Ac1) P(A3c2) P(A3c3)_13P(A4c1) P(A4c2) P(A4c3) P(

9、A5c1) P(A5c2) P(A5c3) P(A5c4) 15-(m )1040 8(17)(共 14 分)解：(I)因为平面 PAD 平面ABcD, AB AD,所以AB 平面PAD.所以AB PD .又因为PA PD ,所以PD 平面PAB.(n)取AD的中点O,连结PO,cO .因为PA PD ,所以PO AD.又因为PO 平面PAD ,平面PAD 平面ABcD ,所以po 平面abcd.因为co 平面abcd,所以po co.因为Ac cD ,所以cO AD.如图建立空间直角坐标系 O xyz.由题意得，A(0,1,0), B(1,1,0),c(2,0,0),D(0, 1,0),P(

10、0,0,1).设平面PcD的法向量为n (x,y,z),则n 巴 0,即 y z 0,n PC0, 2x z 0,令 z 2 ,则 x 1, y 2.n PB n PB所以 n (1,2,2).又 PB (1,1, 1),所以 cos n,PB所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.3(出)设M是棱PA上一点，则存在0,1使得AM AP.因此点 M(0,1, ),BM ( 1,).因为BM平面PCD ,所以BM /平面PCD当且仅当BM n0,即(1, ) (1, 2,2) 0,解得所以在棱PA上存在点M使得BM/平面PCD ,此时则AP(18)(共 13 分)解：(I)因为f (x)xea

11、 x bx ,所以 f (x) (1 x)ea x b.依题设,f(2) 2e 2,即相:为 2e 2, f (2) e 1,ea2 b e 1,解得a 2,b e.(n)由(i)知 f (x) xe2 x ex.由 f (x) e2 x(1 x ex1)即 e2x 0知，U*)与1 x ex1 同号.令 g(x) 1 x ex 1 ,则 g (x)1 ex 1所以，当x (,1)时，g (x) 0, g(x)在区间(,1)上单调递减;当 x (1,)时，g (x) 0, g(x)在区间(1,)上单调递增.故g(1) 1是g(x)在区间(，)上的最小值,从而 g(x) Qx (,).综上可知，

12、f (x) 0, x ()，故f (x)的单调递增区间为(，).(19)(共 14 分)c 、. 3, a 21解：(I)由题意得一ab 1,解得a 2,b 1.2 2. 22a b c ,2所以椭圆C的方程为x- y2 1.4(n)由(I)知， A(2,0), B(0,1),2.2,仅 P(x0, y0),则 x0 4y0 4.当X0 0时，直线PA的方程为y (x 2). x022y0 .从而 BM 1 yM x0 212y0x02直线PB的方程为y -y0- x 1.x。x0.从而 AN 2 xN No 1x0y0 1所以 AN BM 2 x0- 1 -2y0-y0 1x0 22,2x0

13、 4 y0 4x0y0 4x0 8y0 4xy0 x 2y0 24x0y0 4x0 8 y0 8%V0 x0 2y024.当 x0 0 时，y01 , BM 2, AN 2,所以AN BM 4.综上，AN BM为定值.(20)(共 13 分) 解：(I) G(A)的元素为2和5.记 m min i N 2 i N,ai a1 ,则m 2,且对任意正整数k m, ak a1 am.因此m G(A),从而G(A) .(出)当aN a1时，结论成立.以下设aN ai.由(n)知 G(A) .设 G(A) n1，n2，,np,n1 “ 册，记 n0 1.贝U an。aman2对 i 0,1, , p，记 Gik N nik Naani如果Gi ，取mim