2020年北京高考数学专项复习压轴题

1、2017年11月22日金博高数20的高中数学组卷一.解答题(共6小题)1 .设 an和bn是两个等差数列，记 cn=max bi ain, b2 a2n，,bn ann (n=1,2 , 3,)，其中maxx1, X2,，xs表示x，X2,，xs这s个数中最大的数.(1)若an=n, bn=2n - 1 ,求C1, C2, C3的值，并证明cn是等差数列；(2)证明：或者对任意正数 M,存在正整数m,当nm时，M；或者存 在正整数m,使得Cm, Cm+1, Cm+2, 是等差数列.3 .设数列 A: a1，a2,，aN (N2).如果对小于 n (20n&N)的每个正整 数k都有aka1，则G

2、 (A)半？(田)证明：若数列A满足an-an _101 (n=2, 3,，N),则G (A)的元素个 数不小于aN - a1.4 .已知数歹！J an?两足：a1 C N , a&36,且 an+1=,(n=1,2,)，记集合 M=an| n N*.(I )若a1=6,写出集合M的所有元素；(II)如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数； (田)求集合M的元素个数的最大值.5 .对于数对序列P:(a1,4),(a2,b2),，(an,bn),记T1(P)=a+b1, 4(P) =bk+maxTk 1 (P), a1+a2+- +ak (2 km时，gM；或者存在正整数

3、m,使得Cm, Cm+1 , Cm+2, 是等差数列.【分析】(1)分别求得a1=1, 82=2, a3=3, b1二1, b2=3, b3=5,代入即可求得C1,C2, C3； 由 (bknak) 一 (b1一 na1) 0, d1m, 9M,分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任 n意正数M,存在正整数m,使得当nm时，&M. n【解答】 解：(1) a1=1, a2=2, a3=3, b1=1, b2=3, b3=5,当 n=1 时，C1 =max b1 a1 =maX 0 =0,当 n=2 时，C2=maxb1 2a1, b2 2a2 =max 1, - 1 = - 1,当 n=3 时，

4、C3=maxb1 3a1, b2- 3a2, b3 - 3a3=max - 2, 3, 4 = 2,下面证明：对？ nCN*,且n2,都有。= - na1，当 n C N*,且 20k&n 时，贝 (bk-nak) 一 (b1-na1)，=(2k- 1) - nk - 1+n,=(2k-2) - n (k- 1),=(k1) (2 n),由 k10,且 2 n00,第3页(共12页)贝1! (bk nak) (bi nai) bk nak,因此，对？ nCN*,且 n2, Cn=bi - nai=1 n,Cn+1 - Cn= - 1 , C2 - C1= - 1 ,.二 Cn+1 - Cn=-

5、 1 对？ n C N* 均成立，:数列6是等差数列；(2)证明：设数列an和bn的公差分别为d1, d2,下面考虑的cn取值，由 b1一am, b2-a2n,，bn - ann,考虑其中任意ban, (i C N*,且1 0 i& n),贝1J bi ain= b1+ (i 1) d 一 a+ (i 1) d2 x n,=(b1 - am) + (i-1) (d2-dxn),下面分d1二0, d0, d10三种情况进行讨论，若 d1=0,贝U bi - an( b1 a1n) + (i 1) d2,当若 d200,贝 U (bi an) ( b1 - am) = (i 1) d20, (bi

6、 an) ( bn ann) = (in) d20,则对于给定的正整数n而言，Cn=bn- ann=bn- am,止匕时 Cn+1 Cn=d2- a1 ,数列cn是等差数列；此时取m=1,则C1, C2,，是等差数列，命题成立；若d10,则此时-dm+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在mCN*,使得nm时，-d1n+d2m 时，(bi an) ( b1 am) = (i 1) ( dm+d2) 0, (i N*, 1 im时，Cn=b1 - am,此时Cn+1 - Cn= - a1,故数歹U Cn从第m项开始为等差数列，命题成立；若d10,则当 ns时，(bian) (bn

7、ann) = (i1) ( din+d2)0, (iCN*, 1 s时，Cn=bn - ann, .t , b-. -Bv,止匕时=匚=-an+JL, nn， ,、 L d?=d2n+ (di ai+d2)+-n令di=A 0, di - ai+d2=B, bi - d2=C,下面证明：&!=An+B+上对任意正整数M ,存在正整数m,使得nm,：2M, n nn若C0,取m=J +i , x表示不大于x的最大整数，当 nm 时，-An+BAm+B=A(-LlzLL+i+BA?+B=M, nAA此时命题成立；若 Cm时，区An+B+-Am+B+C A? ! MC-B +B+C M - C- B

8、+B+C=M, nnA此时命题成立，因此对任意正数M,存在正整数m,使得当nm时，&M;n综合以上三种情况，命题得证.【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用, 考查 放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转 化思想，考查计算能力，属于难题.2.设数列 A: ai, a2,，aN (N2),如果对小于 n (20n&N)的每个正整 数k都有ayan,则称n是数列A的一个“叫刻”，记G (A)是数列A的所有“G 时亥厂组成的集合.(I )对数列A: - 2, 2, - i, i, 3,写出G (A)的所有元素；(H )证明：若数列A中存在a

9、使得anai,则G (A)丰?(田)证明：若数列A满足an-an-i&i (n=2, 3,，N),则G (A)的元素个 数不小于aN - ai.【分析】(I )结合“G时刻”的定义进行分析;(n)可以采用假设法和递推法进行分析； (田)可以采用假设法和列举法进行分析.【解答】 解：(I)根据题干可得，ai = -2, a2=2, a3=- 1, a4=1, a5=3, aia3不满足条件，3不满足条件，a2a4不满足条件，4不满足条件，ai, a2, a3, a4,均小于a5,因此5满足条件， 因此 G (A) =2, 5.(n )因为存在anai,设数列A中第一个大于ai的项为ak,则aka

10、iai,其 中 20&k 1,所以 kC G (A), G (A)丰？(田)设A数列的所有“叫刻”为iii2ai ai (i=2, 3,，ii-i),则3一ai& - 8 _i&i11x i 1对于第二个“G时刻”ij有&一 社.ai (i=2, 3,，ii - i),则a -一工0a： _ a - _尸1.工2工2 1类似的 a - - a - 01,，a - - a 01.X乜 Lh-1第7页(共12页)一ai.对于a*若N C G (A),则色- =aN.乜若N?G (A),则aN a - ai aN - ai.【点评】本题属于新定义题型，重点在于对 “G时刻”定义的把握，难度较大.3.

11、已知数歹U an满足：aiC N*, ai&36,且 an+i =2小2a -36,n18(n=1,2,)，记集合 M=an| n C N*.(I )若ai=6,写出集合M的所有元素；(II)如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数; (田)求集合M的元素个数的最大值.一 fa186, 12, 24;(n)因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由一an+i=(n=1,2,)，可归纳证明对任息nk, an是3的倍数；(m)分ai是3的倍数与ai不是3的倍数讨论，即可求得集合 M的元素个数的 最大值.、一 ，一a k, an是3的倍数.如果k=i, M的

12、所有元素都是3的倍数；如果ki,因为ak=2ak i,或ak=2a1, an是3的倍数；综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数,、一f2an-r一，(田)对ai036, an=(n=1, 2,)，可归纳证明对任息n2%.36,%1号k, an36 (n=2, 3,)因为ai是正整数,所以a2是2的倍数. 从而当n2时，an是2的倍数.如果ai是3的倍数，由(H)知，对所有正整数n, an是3的倍数.因此当n3时，anC12, 24, 36,这时M的元素个数不超过5.如果ai不是3的倍数，由(H)知，对所有正整数n, an不是3的倍数.因此当n3时，anC4, 8,

13、 16, 20, 28, 32,这时M的元素个数不超过8.当 a1=1 时， M= 1， 2， 4， 8， 16， 20， 28， 32，有8个元素综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8【点评】 本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题4.对于数对序列P:(ai,bi), (%,b2),，(an,bn),记Ti(P)=ai+bi,Tk(P) =bk+maxTk i (P), ai+m+Tak (20k& n),其中 maxTk i (P), ai+a2+- +ak 表示Tk-1 (P)和ai+a2+ak两个数中最大的数，(I)对于数对序列 P:

14、 (2, 5), (4, i),求 Ti (P), T2 (P)的值；(H )记m为a, b, c, d四个数中最小的数，对于由两个数对(a, b), (c, d) 组成的数对序列P： (a, b), (c, d)和P： (c, d), (a, b),试分别对m=a和 m=d两种情况比较T2 (P)和T2 (P)的大小；(田)在由五个数对(ii, 8), (5, 2), (i6, ii), (ii, ii), (4, 6)组成的 所有数对序列中，写出一个数对序列 P使T5 (P)最小，并写出T5 (P)的值(只 需写出结论)【分析】(I )利用Ti(P)=ai+bi,Tk(P)=bk+maxT

15、ki(P),ai+a2+- +ak(2k n),可求 Ti (P), T2 (P)的值；(H) T2 (P) =max(a+b+d, a+c+d , T2 (P) =max(c+d+b, c+a+b,分类讨论， 利用新定义，可比较T2 (P)和T2 (P)的大小；(m)根据新定义，可得结论.【解答】解：(I ) Ti (P) =2+5=7, T2 (P) =i+maxTi (P), 2+4 =i+max7, 6=8;(n ) T2 (P) =maXa+b+d, a+c+d , T2 (P) =maXc+d+b, c+a+b.当 m=a 时，T2 (P) =max(c+d+b, c+a+b =c

16、+d+b,a+b+dc+d+b,且 a+c+d&c+b+d, . T2 (P) T2 (P)；当 m=d 时，T2 (P) =max c+d+b, c+a+b =c+a+b, a+b+dc+a+b,且 a+c+d c+a+d,T? (P) T2 (P)；. .无论 m=a 和 m=d, T? (P) T? (P);(m)数对(4, 6), (11, 11), (16, 11), (11, 8), (5, 2), T5 (P)最小；T1( P) =10， T2( P) =26； T3( P) 42， T4( P) =50， T5( P) =52【点评】 本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力

17、，正确理解与运用新定义是解题的关键5.已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n项的最大值记为An,第 n项之后各项an+1, an+2的最小值记为Bn, dn=An - Bn.(I)若an为2, 1, 4, 3, 2, 1, 4, 3，是一个周期为4的数列(即对任意nCN*, an+4=an),写出 d1, d2, d3, d4 的值；(H)设d是非负整数，证明：dn=- d (n=1, 2, 3)的充分必要条件为an是公差为d 的等差数列；(田)证明：若a1二2, dn=1 (n=1, 2, 3,)，则an的项只能是1或者2,且有无穷多项为1【分析】(I )根据条件以及dn=An-

18、Bn的定义，直接求得d1 , d2, d3, d4的值.(H )设d是非负整数，若an是公差为d的等差数列，则an=a1+ (n- 1) d, 从而证得dn=An - Bn= - d ,(n=1, 2, 3, 4).若 dn=An- Bn= - d, ( n=1, 2, 3, 4可得an是一个不减的数列，求得dn=An- En = - d,即an+1 - an=d,即an是公差为d的等差数列，命题得证.(田)若a1二2, dn=1 (n=1, 2, 3,)，则an的项不能等于零，再用反证法得到an的项不能超过2,从而证得命题【解答】解：(I )若an为2, 1, 4, 3, 2, 1, 4,

19、3，是一个周期为4的数 列，d1=A1- Bi=2- 1=1,d2=A2- E2=2- 1=1, d3=A3B3=4 1=3, d4=A4B4=4 1=3.(n)充分性：设d是非负整数，若an是公差为d的等差数列，则an=a1+ (nT) d, An=an=ai+ (n 1) d, Bn=an+i=ai+nd,dn=An- Bn=- d, (n=1, 2, 3, 4).必要性：若 dn=An- Bn= - d, (n=1, 2, 3, 4).假设 ak是第一个使 ak ak iak i - ak0,这与 dn=-d00 相矛盾，故an是一个不减的数列dn=An - Bn=an - an+i=-

20、 d,即 an+i - an=d,故an是公差为 d 的等差数列.(田)证明：若ai=2, dn=i (n=i, 2, 3,)，首先，an的项不能等于零，否 贝(J di=2 0=2,矛盾.而且还能得到2的项不能超过2,用反证法证明如下：假设an的项中，有超过2的，设am是第一个大于2的项，由于an的项中一定 有i,否则与di=i矛盾.当nm时，an2,否则与dm=i矛盾.因此，存在最大的i在2到m-i之间，使ai=i,此时，di=Ai- Bi=2- B2 - 2=0,矛盾综上，an的项不能超过2,故an的项只能是i或者2.下面用反证法证明an的项中，有无穷多项为i.若ak是最后一个i,则ak

21、是后边的各项的最小值都等于2,故dk=Ak- Bk=2 - 2=0,矛盾，故 an 的项中，有无穷多项为i综上可得，aj的项只能是i或者2,且有无穷多项为i.【点评】 本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明，等差关系的确定，用反证法和放缩法证明数学命题，属于中档题6.设A是由mXn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大 于i,且所有数的和为零，记s (m, n)为所有这样的数表构成的集合.对于 A C S (m , n),记ri (A)为A的第i行各数之和(i& i &m), Cj (A)为A的第 j 列各数之和(iwjwn);记 K (A)为| ri (A) | , | 及

22、(A) | , | Rm (A) | ,第 9页(共12页)| Ci (A) | , | C2 (A) | ,，| Cn (A) | 中的最小值.(1)如表A,求K (A)的值；11-0.80.1-0.3- 1(2)设数表ACS (2, 3)形如11cab-1求K (A)的最大值；(3)给定正整数t,对于所有的AC S (2, 2t+1),求K (A)的最大值.【分析】(1)根据 ri (A), C (A),定义求出 门(A), r2 (A), C1 (A), C2 (A), C3 (A),再根据 K (A)为| 门(A) | , | R2 (A) | , | R3 (A) | , | C1 (A) | , | C2(A) |, |C3(A) |中的最小值，即可求出所求.(2)先用反证法证明k (A) 1,然后证明k (A) =1存在即可；(3)首先构造满足卜值)二义L的A=(ai, j (i=1, 2, j=1, 2,，2t+1),然后证明组-是最大值即可.t+2【解答】解：(1)由题意可