2020版高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用教案(理)(含解析)新人教A版

1、第3讲 平面向量的数量积及应用基础知识整合1 .数量积的有关概念(1)两个非零向量a与b,过O点作OA a, Ob= b,则即/AO个e ,叫做向量a与b的 夹角；范围是M20° w c W180° .2 2) a与b的夹角为堡90度时，叫a±b.(3)若 a 与 b 的夹角为 8 ,则 a b = 04| a| b|cos 8 .(4)若 a=(xi, yi) , b=(X2, y2)，贝U a b= 05xiX2+ yiy2.(5) a在b的方向上的投影为口06| a|cos 8 .(6)若 a =(xi,yi), b =(X2,y2),夹角为 0 ,则 |

2、a| =-07xi + y2, cos 0=08X1X2 + yiy22222 .xi+yi ；X2+y2a± b? xixz + yiyz： 0.a" b? t°xiy2-X2yi= 0.2.数量积满足的运算律已知向量a, b, c和实数 入，则向量的数量积满足下列运算律：(i) a - b=Hb a.(2)(入 a) - b= X (a b)=隼(入 b).(3)( a+b) - c = 13a - c+ b - c.i1 .数量积运算律要准确理解、应用，例如， a - b=a c（aw0）不能彳导出b=c,两边不 能约去一个向量.2 .数量积不满足结合律 （

3、a b） cw a （ b c）.3 .当a与b同向时，a - b= | a| b| ；当a与b反向时，a - b= - | a| b| ,特别地，a a =22或| a| =4?.1. (2019 重庆模拟)已知向量 a=(k, 3), b=(1,4) , c = (2,1),且(2 a3b)，c,则 实数k=()9A. -2B. 015C. 3D.答案 C解析 因为 2a3b= (2k3, 6), (2a3b)，c,所以(2a3b) c = 2(2 k3) 6 = 0,解得k= 3.选C.2. （2019 泉州质检）已知正六边形 ABCDE的边长为1,则危-（CW 的的值为（）A.C.答案

4、 D解析 由图知，AfeCB勺夹角为 120° . Aej- (CbBA) =Ab- Cb Ab- Ba= cos120°,23T=2.3.(2018 全国卷n )已知向量 a, b满足 | a| =1, a b= 1,则 a (2 ab)=()A.B. 3C.D. 0答案 B解析 因为 a (2 ab) =2a2a - b= 2| a|2( 1) = 2+1=3.故选 B.4.(2016 ,全国卷出)已知向量 BA= 2, 2 , BC= 2, 2 ,则/ ABC=()A.C.30°60°B. 45°D. 120°答案 A-BABC

5、 北-。解析 cos/ABC=+，所以/ ABC= 30 .故选 A.7 f 2|BA| BC5. （2019 三门峡质检 ）已知向量 a, b满足|2a+b|=g,且 a,b,则|2ab| =答案 7解析 |2a+b|=币，. . (2a+b)2= 7, IP 4a2+b2+4a - b=7, / a±b, . . a - t)= 0,4a2+ b2= 7,|2 a- b| = yj2a b2 = *a'+ b2 4a b =*.6.已知正方形 ABCD1边长为1,点E是AB边上的动点，则Db CB勺值为,5e- DC 的最大值为.答案 1 1解析 de- cb=(5A+

6、届- Cb=(热 届 Cb= | cb2 +AE- cb 因为 AE,由 所以 AE- Cb= 0.所以De- Cb= i2+o= i.设 AE=入 AB0 W 入 w 1),贝u DE. Dc=( DA+ AE) - DC= DA - DC+ AE - Dc=入 | DC |2(0< 入 W1),DE- DC勺最大值为1.核心考向突破考向一平面向量数量积的运算例1 (1)(2019 绍兴模拟)已知向量a, b满足|a|=艰，(a+2b) ±a,则向量b在向量a方向上的投影为()A.C.2D. - 2答案 A解析 (a+ 2b) ±a,(a+ 2b) a= 2 + 2

7、| a| b|cosa, b> = 0,| a| b|cos a,b> =1,即啦|b|cos a, b> = 1,向量b在向量a方向上的投影为|b|cos a, b>2 ,=一方,故选A.(2)(2018 上海高考)在平面直角坐标系中，已知点 打一1, 0), B(2,0) , E, F是y轴 上的两个动点，且|EF =2,则AEBF勺最小值为.答案 3解析 设 E(0 ,m), F(0 , n),又 A( 1,0) , B(2,0), . AE= (1, m), BF= ( -2,n).AE- BF= 2+ mn又知 | EF = 2,| m-H n| =2.当 m

8、= n+2 时，Ae- BF= mn- 2= (n+ 2) n- 2= n2+ 2n- 2=(n+1)23.当 n=1,即 E(0,1) , F(0 , 1)时，Ae- BFt得最小值一3.当 m= n2 时，Ae- BF= mn-2= (n-2) n-2= n2-2n- 2=(n1)23.，当 n=1,即 日0, 1), F(0,1)时，Ae- BFa得最小值一3.综上可知，Ae- BF的最小彳1为3.触类旁通向量数量积的两种运算方法(1)当向量的模和夹角已知时，可利用定义法求解，即 a - b= | a| b|cos a, b.2当向量的坐标已知时，可利用坐标法求解，即若 a= xi, y

9、i, b= X2, y2 ,贝U a b= xiX2+yiy2.即时训练 1.(2019 湖北模拟)已知点 A(1,1) , B(1,2) , Q2, 1), 口3,4),则 向量ABbC方向上的投影为()B.3 .2D.3 115222答案 A5/iCd解析 AB-(2,1) , Ca(5,5),由定义知ABbCdt向上的投影为AB 吗5=呼22.已知e1, e2是夹角为丁的两个单位向重， a=e1 2巳，b=ke + e2,右a - b=0,则3实数k的值为.答案 74解析 因为 a , b= (e1 2e2) ( ke+ e2) = ke2 +(1 2k)( e1 - e2)2e2,且

10、| e1| = | e2| =1 .151, e1 e2= 2,所以 k+(1 2k) - -2 -2=0,解得 k = -.考向二平面向量数量积的性质角度1平面向量的垂直例 2 (1)已知向量 a= (1,2) , b= (2 , 3).若向量 c 满足(c+ a) / b, c±( a+ b),则 c=()7 7一 一9' 377- 3'9C.二,二D.-,一二3' 99'3答案 D解析 不妨设 c = (m n),则 a+ c= (1 + m,2 + n),a+b=(3, 1),由(c+a)/b 得3(1 + m = 2(2 + n),由 c，(

11、a+b)得 3 m- n=0,7 m=联立，解得7故选D.(2)如图所示，在 ABC, ADLAB BC出丽|前=1,则以 而=()A.2 3B.-2-C.-33D. , 3答案 D解析 AC- AD= ( AB+ BQ - AD= AB- AN BC AD= BC AD= /3BD- AD=43| BD| AD |cos / BDA 5|的2=也.故选D.角度2平面向量的模例 3 (1)(2019 济南模拟)设向量 a, b 满足 |a| = 1, | a b| =也，a- (a-b)=0, 则 |2a+b|=()A. 2B. 2 3D. 4 .3C. 4答案 B解析 a ( ab) = 0

12、,，a2= a b= 1, | a b| 2= a22a b+b2= 3,，b2= 4,，12 a+ b| = 4a2+4a b+b2 = 4 + 4+ 4 = 2/3.故选 B.(2)已知向量a与b的夹角为120° , | a| =3, |a+b| =甲3,则|b|等于()A. 5B. 4C. 3D. 1答案 B解析 | a+b| 2= (a +b)2= a2+2a b+b2= |a|2+2|a| b|cos120 ° 十 |b|2212= 32 + 2X3x I b| x 2 +| b|2=93| b| + | b| =13,即| b|2 3| b| -4 = 0,解得

13、|b| =4或|b|= 1(舍去).故选B.角度3平面向量的夹角例4 (1)若非零向量a,b满足|a| =232|b|,且(ab)，(3a+2b),则a与b的夹角为()兀A?7tB.万C 37tD.兀答案解析又|a|A由条件，得(a-b) - (3a+2b) = 3a2-2b2-a - b=0,即 a - b=3a22b2.型|b|,3所以a - b=3x 232|b| 2-2b2=|b2,所以cos2b2. a- b3b也a, b=；-=,|a| b|2 '所以a,兀b=-.故选 A.(2)(2017山东高考）已知e1, e2是互相垂直的单位向量.若 J3e e2与e1+入e2的夹角

14、为60° ,答案则实数入的值是J33解析由题息知 | e1| = | e2| = 1, e ,0,| >/3e1 -阂= a e2=,3e2 2 3e1 e?+e2=、30+ 1 =2.同理|ei+入e2| =勺1+入2.。/3ei e2,ei+ 入 e2所以 cos60 = -X| y 3ei -e2| ei+ 入 e2|y3ei+yJ3 入 一 i ei e2-入 e2"3 - 入 i2：i + 入2 2.i+ 入2 2解得入=坐.3触类旁通求两向量的夹角:平面向量数量积求解问题的策略cos 0 = . a.,要注意| a| b|2两向量垂直的应用： 两非零向量垂

15、直的充要条件是：a-L b? a , b= 0? | a b| = | a+ b|.3求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有: a2 = a a = | a|2或 | a | = 7a a ；| a±b| =个a± b2 = a2±2a b+ b2;若 a= x, y ，则 | a| = .x，y2.即时训练 3.（20i9 济宁模拟）平面四边形 ABCDK AB+CD= 0, （AB-AC） - AC>0, 则四边形ABCDb （）A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形答案 C解析 因为AB+ Cb= 0,所以AB= Cd=DC所以四边形 abcd1平

16、行四边形.又（AB- AD AC= DB- AC= 0,所以四边形对角线互相垂直，所以四边形abcD1菱形.故选 c.4. （20i9 江西六校联考 ）设向量 a, b 满足 | a| =2, | b| =|a+b| = 3,则 | a+2b| =答案 4、2解析 由|a+b| =3 知|a|2+| b|2+2a b=9,又|a|=2, |b|=3,2a,b=-4,| a+ 2b| =M a| 2+ 4a b + 4| b|2 = 4g.5. （20i9 安徽“江淮十校”联考 ）若非零向量 a, b满足| a| = 3| b| = | a+ 2b| ,则a 与b的夹角余弦值为.答案解析 | a

17、| = | a+ 2b| ,| a| 2= | a| 2+4a - b+ 4| b|2,2 a , b = | b| ,2=4V-1|a| b| 3|b|b|3考向三 向量运算的最值或范围问题例5 （1）（2017 全国卷H ）已知 ABB边长为2的等边三角形，P为平面ABC一点, 则PA （血 PC的最小值是（）.cr3A. 1 2B.2一 4一C. - 5D. 13答案 B解析解法一：（解析法）建立坐标系如图1所示，则A,B,C三点的坐标分别为A(0,木),B( 1,0) ,qi,0).设 P 点的坐标为(x, y),则 PA= ( -x, J3 y), PB= ( 1 -x, y), P

18、C= (1 -x, y),，PA(PB+PC =( x,羽一y) ( 2x, 2y) = 2(x2+y2y)=2 x2+ y坐 2 4 >2X 3= 2.当且仅当 x=0, y =平时，PA(PB+PC取得一3取小值，取小值为 2.故选B.解法二：(几何法)如图2所示，P母 P> 2丽D为BC的中点），则PA（他用 =2丽-PD要使Pv PD最小，则亦与前方向相反，即点P在线段AD上，则（2屈-P）min = 2|前| PD|,问题转化为求|PA| PD的最大值.又 iPA + i pD = i AD =2x 专=®.|PA| 咏 |西；的 2=乎2=*PA-（PB+PC

19、 min = （2pA- Pt）min = - 2 X 4 = 一 . 故选B.（2）在矩形ABC珅，AB= 2, AD= 1, E为线段BC上的点，则At- DE勺最小值为（）15A. 2B4D. 417C 7答案 B解析 解法一：设BE= XBCOW入W1）,则栏通入配DE= DO CE= AB+ (入-1) BQ.AE- DE= (AB+ 入 BC) A班(入-1)BQ .又 |AB=2, |BQ = 1,且 ABL BC 即 AB- BC= 0,AE- De= 4+入(入-1)=入2-入+4=入-J2+¥.241 一一 15，当入=2时，AE- DEIM、为I，故选B.A(0

20、,0) , B(2,0) , D(0,1),解法二：如图建立平面直角坐标系，则设 E(2, y)(0 <y<1),则AE= (2 , y) , DE= (2 , y-1), .AE- DEi= y2-y+4= y-1 2+ 15.24当 y=2时，aEe- Dm小为 145,故选 b.触类旁通求向量的最值或范围问题求最值或取值范围必须有函数或不等式， 因此，对于题目中给出的条件， 要结合要求的 夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数（包括自变量的范围），然后利用相关知识求 出最值或取值范围.即时训练 6. （2019 温州模拟）如图， AOB为等腰直角三角形， OA 1, OC

21、为斜边 AB的高，点P在射线OC上，则AP-OP勺最小值为（）A. 1B.D.答案 B解析 设| Op = t>o,因为 AP=Op-OA 则 AP- Op=（Op-OA Op=OPOa- Op= t23 = t 乎2卜1,当t =平时取等号，所以 鬲 Op勺最小彳1为1故选b.兀7.在平行四边形 ABCDK / A=w，边AB, AD的长分别为2,1 ,若M N分别是边BC 3CD上的点，且满足画=应,则AM-AN勺取值范围是|BC iCD答案2,5解析mbM |CN设=入（0W 入 W1）,| BC | CD则孤入鼠入配靠（1 - X）D3=（1 -入）危则俞!俞=（曲的（超亦=（超

22、入雨（1 -入）雨=痴MH（1 -入）而+入而+入（1 一入）加前又,危 D=2X 1 Xcos。=1,庙=4,而=1, O，京京=-入22入+5=-（入+1）2+6.- 0< X <1, .,.2< M/I-俞<5,即Hw床的取值范围是2,5.（2018 天津高考）在如图的平面图形中，已知OM=1,ON=2, ZMOI4120 , Svi=2MACn 2NA 则 Bb Omj值为（）B9D 0A15C6答案C解析解法一：(基向量法)如图所示，连接 MN由BM= 2MA CN= 2NA可知点M N分别为线段 ab ac上靠近点a的三等分点，则 BC= 3Mn= 3(On- ObM,由题意可知，OM= i2=i, Omi On = 1X2Xcos120° =- 1,结合数量积的运算律可得，BC- OM= 3( ON- OM - OM= 3OIN- OM-3OM= 3-3=- 6.故选 C.解法二：(坐标法)在AB8,不妨设/ A= 90。，取特殊情况 ONLA