3.4《基本不等式》优质课教案

1、3.4基本不等式教案赵晓雪1、本节教材的地位和作用“基本不等式”是必修 5 的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。它是在学完“不等式的性质”、 “不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。2、教学目标（ 1）知识目标: 探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。（ 2）能力目标: 培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。（ 3）情感目标: 培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略

2、数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。3、教学重点、难点根据课程标准制定如下的教学重点、难点重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。难点: 基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。二、教法说明本节课借助平板，使用多媒体辅助进行直观演示. 采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动运用生活中的实际例子, 让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。通过师生和谐对话, 使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使第 2 页 共 5 页会颜好D认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会

3、。三、教学设计运用2002年国际数学家大会会标引入运用分析法证明基本不等式不等式的几何解释基本不等式的应用1、运用2002年国际数学家大会会标引入如图，这是在北京召开的第2 4届国际数学家大 会标.会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的， 色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情 客。（展示风车）正方形 ABCD中,AE，BE,BF，CF,CGL DG,DH LAH,设AE=a,BE=b则正方形的面积为S=, RtAABE,RtA BCF,RtA CDG,Rt ADH 是全等三角 形，它们的面积之和是S' =从图形中易得，sns',即a2 b2 2ab问题1：它们有相等的

4、情况吗？何时相等？问题2：当a,b为任意实数时，上式还成立吗？（学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解）一般地，对于任意实数a、b,我们有a2 b2 2ab当且仅当（重点强调）a=b时，等号成立（合情推理）问题3:你能给出它的证明吗？（让学生独立证明）设计意图(1)运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学 的历史悠久，感受数学与生活的联系。(2)运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系，引入基本不等式很直观。(3)三个思考题为学生创造情景，逐层深入，强化理解.2、运用分析法证明基本不等式如果 a>0,b>0 ,用 va和Vb"分别代替a,b。可以得

5、到(ja-Jb)2 o也可写成 Vab a+b (a>0,b>0)(强调基本不等式成立的前提条件“正”)(演绎推理)问题4:你能用不等式的性质直接推导吗？要证 a+b 2庖只要证 嘤而要证，只要证 a+b-2 Jal 0要证，只要证(JU丁)20显然，是成立的.当且仅当a=b1 不等式中的等号成立.(强调基本不等式取等的条件“等”)设计意图(1)证明过程课本上是以填空形式出现的，学生能够独立完成，这也能进 一步培养学生的自学能力，符合课改精神；(2)证明过程印证了不等式的正确性，并能加深学生对基本不等式的理解;(3)此种证明方法是“分析法”，在选修教材的推理与证明一章中会重点讲解，

6、此处有必要让学生初步了解。D3、不等式的几何解释如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b, 过A B BC,点C作垂直于AB的弦DE连AD,BD,则CD二 ,/ 半/ 一、一径为E问题5:你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 ？(学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解)设计意图几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。4、基本不等式的应用2例1： (1)如图，用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各 为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？例2:如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长 和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 设计意图(1)这道例题很简单，多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明 ，能够练习“分析法”证明不等式的过程；(3)此例是课本例题，这样，循序渐进，有利于学生理解不等式的内涵。例3:讨论：芒0.求x+工的最大值 x第5页共5页(让学生分组合作、探究完成)设计意图(1)此题目利用基本不等式求最值，包含正用，逆用，体现了基本不等式的应用价值；(2