(整理)基本函数求导公式

1、基本初等函数求导公式(C) =0(sin x) = cosx(cosx) - - sin x(tan x) = sec x(6)(cot x) = - csc2 x(secx) = secx tan x(8)(cscx) = - cscxcot x(ax) = ax In a(10)(e) = ex(11)、1(lOg 3 x) ;寸(12)(In x) = 1 x ,(13)(15)(arcsin x)(arctan x)=1 -x211 x2函数的和、差、积、商的求导法则设 u=u(x), v=v(x)都可导，贝(1)(u ±v),=u *V'(3) (uv)'

2、= uV+uv'反函数求导法则(14)(16)(2)(4)(arccosx)'= -,12.1 - x2(arccot x) = 一 -11 x2(Cu) =Cu ( C 是常数)u _ u v - uvV V2若函数x=*(y)在某区间1y内可导、单调且*(y)"°,则它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，且f (x)=dydx dxdy复合函数求导法则y=fP(x)的导数为设y = f(u),而u=B(x)且f(u)及刊x)都可导， 则复合函数dy dy dudx du dx 或 y = f (u)Li (x)2 .双曲函数与反双曲函数的导数.双

3、曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求 出.可以推出下表列出的公式：(shx)' = chx(chx)' = shx一一 1(thx) 2ch x,1(arshx) = 2Vl +x,1(archx)xx -11 (arthx)_21 - x、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程f(x，y)=0求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导 出隐函数的导数公式.隐函数存在定理1设函数F (x, y)在点P(xo, y0)的某一邻域内具有连续的偏导数,且F(

4、x0, yj =0 , , Fy(x0，yo)#0,则方程F(x, y) =0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y = f (x),它满足条件yo = f (xo),并有dy 二 F(2)dxFy公式(2)就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。将方程(i)所确定白函数y = f (x)代入，得恒等式F(x, f(x) = 0,其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍 然恒等，即得干 干dy -77 77dx - ,由于Fy连续，且Fy（x0，y0）。0 ,所以存在（x°,y0）的一

5、个邻域，在这个邻域内Fy0 ,是得dy _ Fxdx Fy如果F（x, y）的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式（2）的两端看作x的复合函数而再一次求导，即得d2y dx2FxFx dy2yFxxFy -FyzFxFy2FydxFxyFy -FyyFxFy2FxFyJdy 二 dxFyd2y y -xyT2dx = yy -x(-) y2y22y x3yFxxFy2 -2FXyFXFyFyyF：Fy322例1验证方程x +y -1=0在点（0,1）的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x=0时，y =1的隐函数y = f（x）,并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值。解设 F(x,y)

6、 = x2 + y2 -1 ,则 Fx = 2x，Fy =2y F (0,1) = QFy(0,1) = 2 / 0 .因此22由定理1可知，方程x +y -1=0在点（0，1）的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x=0时，y =1的隐函数y = f（x）。卜面求这函数的一阶和二阶导数dydx x=0d2y=-1x=oo隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函 数，那末一个三元方程f (x,y,z)=o就有可能确定一个二元隐函数。与定理1 一样，我们同样可以由三元函数F (x,y,z)的性质来断定由方程 F (x,y,z)=o 所确定的二元函数 z

7、 = (x, y)的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。隐函数存在定理2设函数F (X, y,z)在点P(x0, y0, zo)的某一邻域内具有连续的偏z= f(x,y),它满足条件导数，且 F(xo, yo,Zo) 二 °, Fz(xo, yo,Zo) #0 ,则方程 F (x,y, z)=o 在点(x0, yo,zo)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数Zo = f (xo,yo),并有.zFx ； zFy(4).x =Fz ：y这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.由于f(x,y, f (x,y)o,将上式两端分别对x和y求导，

8、应用复合函数求导法则得:z-ZFx+ Fz &=0,Fy+ Fz 乃=0。因为Fz连续，且Fz(xo,yo,zo)#0,所以存在点oOoizJ的一个邻域，在这个邻域内FW0,于是得FxFzFyFz。222例 3 设x +y +z 4z = o,22 z求.:x2.222设 F(x,y,z)= x +y +z _赦，则 Fx=2x, Fz = 2z 4 .应用公式(4),得:zx：x = 2 -z。再一次x对求偏导数，得2(2 - z)x；：2z丛-_2(2-z) x,x <2-z.J(2-z)2 +x(2-z)2(2-z)3Fx2(2-z)、方程组的情形卜面我们将隐函数存在定理作

9、另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数，例如，考虑方程组，F(x,y,u,v) =0, =G(x, y,u,z) = 0.这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。在这种情形下，我们可以由函数F、G的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。隐函数存在定理3设函数F(x, y,u,v)、G(x, y,u,v)在点p0(x0, y0，u0,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F(x0,y0，u0，vo) = 0, G(x0,y0，u0，vo) 二0,且偏导数所组成的函

10、数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):“F,G)J = -：(u,v)=干.:U.:G.:u干,:V.:Gvv在点 P0(x0, y0,u0,v0)不等于零，则方程组 F(x, y,u,v) =0 , G(x,y,u,v) = 0 在点(x0, y。，。,。)的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数u =u(x, y),v=v(x,y),它满足条件 u0 =u(x0,y0),V0 =v(x0,U0),并有FxFvGxGv演1 c(F,G)FuFv,氏=_ J c(x, v) = _GuGvFuFxGu Gxcv1 c(F,G)FuFv,£x = J 3(u,x)GuGv(6)FyFvIGyGv加1 c(F,G)FuFvf3 = _ J &y,v)=GvGv1FuFyGuGy包 1 c(F,G)FuFv.为=J 穴u, y) = _Gu 6这个定理我们不证.cugu v,受例4 设 xu yv =0, yu +xv =1，求 £x ,切纵和方y.解此题可直接利用公式（6）,但也可依照推导公式（6）的方法来求解。下面我们利用后一种方法来做。将所给方程的两边对 x求导并移项，得cu cv xy = u,.x.xuvy+ x=-v.l. dx女x -y 22J =x2