(完整版)人教版文科数学椭圆讲义

1、2.1椭圆第1课时椭圆及其标准方程1.归纳总结，核心必记(1)椭圆的定义平面内与两个定点 F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两 个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.(2)椭圆的标准方程例题1 (椭圆定义理解)x2 y2已知椭圆主+ $=1(a>b>0), F1, F2是它的焦点.过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点, 求 ABF2的周长.解：.|AF1|十|AF2|=2a, |BF1|十|BF2|=2a,又. ZABF2 的周长=|AB|+ |BF2|十 |AF2|= RF1|+ |BF”+ |AF2|十 |BF2|=4a,.A

2、BF2的周长为4a.真题，遢浜由椭圆的定义可知，点的集合P=M| MF1|十|MF2| =2a(其中| RF2| = 2c)表示的轨迹有 三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当a=c时，集合P为线段F1F2；当a<c时，集合P 为空集.在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数与已知两定点之间 距离的大小关系.因为椭圆上的点与两个焦点构成一个三角形，所以可联系三角形两边之和 大于第三边来帮助记忆.案例11 .已知命题甲：动点P到两定点A, B的距离之和|PA|十|PB|=2a,其中a为大于0的常数;命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的 ()A .充分不必要条件B

3、.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B 若点P的轨迹是椭圆，则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0,为常数).所以甲是乙的必要条件.反过来，若|PA|+|PB|=2a(a>0,为常数)，当2a>|AB|时，点P的轨迹是椭圆；当2a= |AB| 时，点P的轨迹是线段 AB;当2a<|AB|时，点P的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件. 综 上可知，甲是乙的必要不充分条件.2.已知定点Fi, F2,且|FiF2|=8,动点P满足|PFi|十|PF2|=8,则动点P的轨迹是()A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段解析：选D因为|PFi|+|PF2|=

4、 |FiF2,所以动点P的轨迹是线段F1F2.例题2 (求椭圆的标准方程) 53(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(一2, 0), (2, 0),并且经过点-,求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2, 0)和(0, 1),求椭圆的标准方程.22解：(1) ,一椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为 ，+ b2=1(a>b>0).由椭圆的定义知2a= 5+22+ _32 + j-2 -f= 210,.匕=航.又.(=2, .-.b2= a2-c2= 10 4=6.， 小、x2 y2.所求椭圆的标准方程为而+y6=1.(2) 设椭圆方程为 mx2+ny2= 1(m>0, n>

5、;0, mwn).椭圆过(2, 0)和(0, 1)两点,4m= 1,n= 1, 1 .m4'n= 1.x2综上可知，所求椭圆的标准方程为 + y2 = 1.案例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(一3, 0), (3, 0),椭圆经过点(5, 0);(2)两个焦点坐标分别是(0, 5), (0, 5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为 26.解：(1)因为椭圆的焦点在 x轴上，所以设它的标准方程为:1(a>b>0).因为 2a=M (5+3) 2 + 02 +7 (5-3) 2+02 =10, 2c=6,所以 a= 5, c= 3,所以 b2=a2-

6、c2=52-32= 16.-,r 、 、 < x2 y2所以所求椭圆的标准方程为 +t=1.25 16(2)因为椭圆的焦点在 y轴上，所以设它的标准方程为 a2+b2= 1(a>b>0) .因为 2a=26, 2c= 10,所以 a= 13, c= 5.所以 b2=a2-c2= 144.广 广 , 小 、-y2x2所以所求椭圆的标准方程为 ：y7+=1.169 144例题3 (与椭圆有关的轨迹问题)已知圆M: (x+ 1)2+y2=1,圆N: (x-1)2 + y2 = 9,动圆P与圆M外切并且与圆 N内切， 圆心P的轨迹为曲线 C.求C的方程.尝试解答由已知得圆 M的圆心为

7、 M(1, 0),半径口=1;圆N的圆心为N(1 , 0), 半径2 = 3.设圆P的圆心为P(x, y),半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆 N内切，所以 |PM|十 |PN|=(R+ 门)+(2 R)=n + r2=4.由椭圆定义可知，曲线 C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2,短半轴长为 J3的椭圆x2 y2(左顶点除外),其万程为7+事=1(xw2).|真题*通建解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法:用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可.(2)相关点法:有些问题中的动点轨迹是由另一动点按

8、照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题,这种方法称为相关点法.案例3 如图，圆 C: (x+1)2+y2=16及点A(1, 0), Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,求点M的轨迹方程.解：由垂直平分线性质可知 |MQ|= |MA|, .,.|CM|+ |MA|= |CM|+ |MQ |= |CQ|.|CM|+ |MA|=4.又 |AC|= 2,. M点的轨迹为椭圆.由椭圆的定义知，a=2, c=1, .-.b2=a2-c2=3.所求轨迹方程为224+y3=1.例题4 (与焦点有关的三角形问题)x2 y2如图所不，P是椭圆4

9、十七=1上的一点，Fi,F2为椭圆的左、右焦点，且/ PFiF2= 120° ,求 PF1F2的面积.思考点拨由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF1,再代入三角形的面积公式求解.尝试解答由已知a= 2, b = V3,得 CnnTa22 ="/43 =1, |FF2|=2c= 2.在APF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2= |PF1|2+ |F1F2|22|PF1|F1F2| cos 120° ,即 |PF2|2= |PFi|2 + 4+2|PFi|,由椭圆定义，得|PFi|十|PF2|=4,即 |PF2|= 4 |PF1.代人解得|PFi| = 6.116 3

10、 3 3. S#F1F2 = 2|PF1| |F1F2| sin 120 = X5X2X 2- = -5-即APF1F2的面积是与g.5第2课时 椭圆的简单几何性质1.预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P37P40 “探究”的内容，回答下列问题.观察教材P38图2.17,思考以下问题：丫2,2(1)椭圆拿+ /= 1(a>b>0)中x, y的取值范围各是什么？提示：aw xw a, bw yw b.(2)椭圆£= 1(a>b>0)的对称轴和对称中心各是什么?提示：对称轴为 x轴和y轴，对称中心为坐标原点 (0, 0).(3)椭圆号+ b1= 1(a>

11、;b>0)与坐标轴的交点坐标是什么?提示： 与 x轴的交点坐标为(七，0),与 y轴的交点坐标为(0, ±b).(4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段?提示：长轴为 AiA2,短轴为 BiB2.(5)椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么?提不：离心率e= : 0<e<l.b的变化与(6)如果保持椭圆的长半轴长 a不变，改变椭圆的短半轴长 b的值，你发现 椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：b越大，椭圆越圆；b越小，椭圆越扁.(7)根据离心率的定义及椭圆中a, b, c的关系可知,e=aa2记萨 =、/i a :所以e越接近于1,则c越接近于a,从而

12、b =*2 c2就越小；e越接近于0,则c越接近于0,从而b越接近于a.那么e的大小与椭圆的 扁圆程度有什么关系？提示：e越大，椭圆越扁； e越小，椭圆越圆.2.归纳总结，核心必记 椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程Ll1 = 13沉露问题思考(1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些?提示：短轴端点Bi和B2到中心O的距离最近；长轴端点Ai和A2到中心O的距离最远.(2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？提示：点(a, 0), (a, 0)与焦点F1(c, 0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最

13、大距离和最小距离，分别为 a + c和 a c.(3)如何用a, b表示离心率？c c c2 a2 b2 提不： 由e=占得e2 = /= a2-,续表焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上范围一aw xw a 且一bw yw b一bwxw b且一aWyWa顶点A1(a, 0), A2(a, 0),A1(0： a)： Az(0： a)：Bi(0, b), B2(0, b)Bi(b, 0), Bi(b, 0)轴长短轴长=在，长轴长=2a焦点匚（一c, 0）, F2（c, 0）F1（0, - c）, F2（0, c）焦距|F1F2|=2c对称性对称轴x轴和y轴,对称中心(0, 0)离心率ce=-（0&

14、lt;e<1） a'/例题1 (由椭圆的标准方程研究几何性质)求椭圆4x2+9y2= 36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率. x2 y2尝试解答将椭圆方程变形为 5+：=1,- a = 3, b= 2. 'c=yja2b2="j9 4 = >/5.二椭圆的长轴长和焦距分别为 2a =6, 2c=2，5,焦点坐标为Fi(-木,0), F2(V5, 0),c 5顶点坐标为 Ai(-3, 0), A2(3, 0), Bi(0, 2), B2(0, 2),离心率 e=-=Tr. a 3案例1求椭圆m2x2+4m2y2= 1(m>0)的长轴长、短轴长

15、、焦点坐标、顶点坐标和离心 率.解：椭圆的方程 m2x2+ 4m2y2 = 1(m>0),x2y2可转化为不十=1.m2 4m2-m2<4m2,匕>六，m2 4m2椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长 a = A,短半轴长b=-L,半焦距长c=乎.m2m2m 2 ，一1，椭圆的长轴长2a=m,短轴长2b = m,焦点坐标为一23,0,23,0，1 一 1 一 一 1 一 1顶点坐标为m, 0 , -m, 0 , °，茄，0，茄.c离心率e= a32m ,3 _12 .例题2 (由椭圆的几何性质求方程)求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点 A

16、(5, 0);3(2)离心率e= 5,焦距为12.x2 y2尝试解答(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为 7 + b2=1(a>b>0),由题意得2a=5X 2b,25 02= 1, a ba= 5)解得b= 1.x2故所求椭圆的标准方程为25+y2=1;若焦点在y轴上，设其标准方程为 5 +1(a>b>0),2a=5X2b,由题意，得 0 25 .h *= 1 , a ba= 25, 解得b= 5.故所求椭圆的标准方程为 ±7+77=1.625 25222综上所述，所求椭圆的标准方程为藐+y2=1或氏+族=1.25625 25(2)由 e=a = 5,

17、2c=12,得 a= 10, c=6,. b2= a2 c2 = 64.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为22y100+64 1y2 x2当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为100+64=1.一 , 一 , 一 、一x2 y2, y2 x2综上所述，所求椭圆的标准方程为赤+64= 1或100+64= 1.案例2求满足下列条件的椭圆的标准方程.长轴长是短轴长的 2倍，且经过点 A(2, 3);,3.(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设标准方程为4b2+卜=1(b>0),.椭圆过点 A(2, 3),，三+W=1, b2=

18、10. b b22方程为才21.若椭圆的焦点在y轴上.22设椭圆方程为4b+b= 1(b>。)，94 c 25,椭圆过点 A(2, 3),，4b2 + 小=1，b2="4.y2 4x2，万程为界十宝= 1.25 25 , , 、土x2 y2, y2 4x2综上所述，椭圆的标准方程为40+10=1或25+45=1.a=2c,a =2/3,(2)由已知从而b2=9,a c=*,c=V3.，/ 、x2 y2_x2 y2.所求椭圆的标准方程为72+;=1或8+12= 1.例题3 (求椭圆的离心率)x2 y2已知椭圆”+ 卜1(a>b>0)的左焦点为F1(-c, 0), A(

19、-a, 0), B(0, b)是两个顶点，如 a b果F1到直线AB的距离为 t，求椭圆的离心率 e.尝试解答由 A(a, 0), B(0, b),b得直线AB的斜率为kAB= 一， a故AB所在的直线方程为 yb=2x,即bxay+ab = 0. a又F1(c, 0),由点到直线的距离公式可得| bc+ab| bd=7JH7 飞.,币(a - c) = <a2+ b2.又 b2=a2c2,整理，得 8c214ac+5a2= 0,即 8 c -14c+5= 0. .8e2-14e+ 5= 0. a a, 一 1 .5 解得e=2或e= 4（舍去）.1综上可知，椭圆的离心率 e=.罢题*通

20、哄求椭圆离心率及范围的两种方法（1）直接法：若已知a, c,可直接利用e= c求解.若已知a, b或b, c,可借助于a2 =ab2+c2求出c或a,再代入公式e=c求解.a（2）方程法：若a, c的值不可求，则可根据条件建立a, b, c的关系式，借助于 a2 =b2+c2,转化为关于a, c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次哥，得到关于e的方程或不等式，即可求得 e的值或范围.案例3如图，已知Fi为椭圆的左焦点，A, B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的一点，当PFiXFiA, PO/AB（O为椭圆的中心）时，求椭圆的离心率.解：由已知可设椭圆的标准方程为.ZP

21、F1Os/boa,PF1 F1O = BO OA.b! a c.工=二即 b= c, b a. a2= 2c2, c 2. e=a= 2 .第3课时1、直线与椭圆的位置关系（重要）O2 + b2=1(a>b>0),则由题意可知 P -c, ba .直线与椭圆的位置关系（习题课）思考1判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？名师指津：（1）几何法：利用圆心到直线的距离 d与圆的半径的大小关系判断，d = r?相切；d>r?相离；d<r?相交.(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断.思考2能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系?名师指津：

22、不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系.思考3已知直线l和椭圆C的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则A>0?直线与椭圆相交；= 0?直线与椭圆相切；<0?直线与椭圆相离.例题1已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+ m.问m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相 离.尝试解答将y= x+ m代入4x2+ y2=1,消去y整理得5x2 + 2mx + m2- 1 = 0.A= 4m2-20(m2- 1) = 20 16m2.当A= 0

23、时，得m= ±25,直线与椭圆相切;当A>0时,得-坐<m普,直线与椭圆相交;当A<0时,得m<一坐或m>坐，直线与椭圆相离.奥起，通瞑判断直线与椭圆的位置关系的方法x2 y2案例1若直线y=kx+1与焦点在X轴上的椭圆g + m=1总有公共点，求m的取值范围.y= kx+ 1,解:由x25 +消去V,整理得m=1，(m+5k2)x2+ 10kx+5(1 -m) = 0,所以= 100k2 20(m + 5k2)(1 -m)= 20m(5k2 + m-1),因为直线与椭圆总有公共点，所以A>0对任意kC R都成立，因为m>0,所以5k2>

24、;1 m恒成立，所以1 mW 0,即 m> 1.又因为椭圆的焦点在 x轴上,所以0Vm<5,综上，1Wm<5,2、直线与椭圆的相交弦问题思考1若直线l与圆C相交于点A, B,如何求弦长 AB|?l 2 , 名师指津：利用r2=d2+ 2 求解；(2)利用两点间的距离公式求解；(3)利用弦长公式 |AB|=dl + k2Jxix21 求解.思考2若直线l: y= kx+m与椭圆x2+y2= 1相交于A(x1，y1)，B(x2, y2)两点，如何 a b求|AB|的值?名师指津：|AB|=yi+k2|xix21.x2 y2例题2 已知椭圆 6十g=1和点P(4, 2),直线l经过

25、点P且与椭圆交于 A、B两点.1 一当直线l的斜率为j时，求线段 AB的长度;(2)当P点恰好为线段 AB的中点时，求l的方程.1r 一1尝试解答(1)由已知可得直线l的万程为y-2=-(x-4),即y=2x.1 y=2x, 由 22 可得 x2 18 = 0,x y_一十 匚=136 9 i'若设 A(xi, yi), B(x2, y2).则 x1+x2=0, x1x2= 18.于是 |AB|= yj (xi-x2)2+ (yi-y2)2/、一/、o(xi x2)2+ 4 (xi x2)2(xi+x2)2-4xix2-25X 6 ,2=3 i0.所以线段AB的长度为3标.(2)法一：

26、设l的斜率为k,则其方程为y-2=k(x-4).x2 y2 ,十 = i联立36 9y-2= k (x 4),消去 y 得(1 + 4k2)x2 (32k2 16k)x+ (64k2 64k 20)=0.若设 A(xi, yi), B(x2, y2),32k2 i6k贝U xi + x2=,i +4k2由于AB的中点恰好为P(4, 2),=4,xi + x2 i6k28k所以：=丁:2i + 4k2-i I解得k=-2,且满足A>0.i 这时直线的方程为y2=21x4),1即 y = 2x+ 4.法二：设 A(xi, yi) , B(x2, y2),22xi yi 一十 = i36 9，

27、则有 22x2 y2 , 一+ J= i 36 9 i'x2 x2 y2 y2两式相减得 一玄一+ -Q = 0 , 369y2yi9 (x2+xi)整理得 kAB =,x2 xi36 (y2+yi)由于P(4, 2)是AB的中点,- X1 + X2= 8, yi+y2=4,.9X81于无 kAB= _36S = 2,1于是直线AB的万程为y2= 2（x4）,rr1.即 y= 2x+ 4.罢题通凑弦长公式x2 y2-y2 x2设直线万程为 y=kx+m（k却），椭圆万程为 了+左=1（a>b>0）或$ + /= 1（a>b>0）,直线与椭圆的两个交点为A(x1，

28、y1)，B(x2, y2),则|AB|=1 （x一x2）2 + （y1一y2）2,所以 |AB|=y （x1一x2）2+ （kx1一 kx2）2业+ k2 N （x1 x2）2 y1+* q（x+x2）2-4x1x2,-112o或|ab|=Y y-P2 + （y1一y2）2其中，x1 + x2, xx2或y+y2, y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到.(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程

29、，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作x2 y2差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆/十号=1(a>b>0)上的两个不同的点，M（x。，yo）是线段AB的中点,x2b2尹则 2x2尹.一 1 c o 1.由一，得 a2(x2-x2)+ b2(y2-y2)= 0,变形得yi y2X1 + X2=-a2 ,x1 x2a y1 + y2b2x°,即 kAB = ay。'b2x0 a2y0.案例2(1)直线y=x+ 1被椭圆x2 y2一，；4+-y2=1所截得线段的中点的坐标是（B.41317口一万，一万解析：选C联立方程组

30、消去 y 得 3x2+4x2 = 0.设交点 A(xi, yi), B(x2, y2),中点 M(xo, yo),4x1 x2X1 + x2= q, X0 = 322, 13，y0= xo+ 1 = 3. 2，所求中点的坐标为 一£3（2）.椭圆5+y|=1（a>b>0）的离心率为 坐，且椭圆与直线x+ 2y+8=0相交于P, Q,且|PQ|=#0,求椭圆方程.解：/e=，小'如2椭圆方程为x2+4y2=a2与 x+2y+8=0 联立消去 y,得 2x2+16x+64a2= 0,5由0得a >32,由弦长公式得10 = 4* 64 2(64 a ).a =3