(整理)定积分笔记

1、第三节定积分、定积分的定义设函数了（克）在明川上有界，在。金中任意插入若干个分点建=/1工1 口2Jr*匕/二,把区间/句分成忽个小区间，各小区间的长度依次为四百二%-&1 ,（1=1,2,），在各小区间上任取一点点（4叵八三），作乘积/人不=12，,）并作为 己 ，记丸,如果不论对值句怎样的分法，也不论在小区间区土片上点端怎样的取 法，只要当为T 0时，和君总趋于确定的极限我们称这个极限 工为函数/ 在区间口»上的定积记为:.T诺和表，区式OinlQ -SI二、定积分的性质性质1 ：山土虱切瓜口d用式跖性质2:初小叫：，“为常数）1 月广性质3:假设”匚行，（工）L 

2、9;" J, /（工）"工性质 性质5:在区间“上,"，则卜口冲加（超 性质6:设汹及播分别是函数/在区间1%加上的最大值及最小值，则出一口W f于叵冰WN也-g性质7（定积分中值定理）如果函数在闭区间凡如上连续，则在积分区间凡句上至少存在一个点三,使9*扮积分中值公式积分中值公式的几何解释：在区间凡切上至少存在一个点 自，使得以区间,句为底边，以曲线=/（工）为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积。三、微积分的基本公式1,原函数存在定理：如果丁在必上连续，则变上限积分的函数以元）二她小冽可导,还是八负在%句上的一个原函数。2.微积分基本公式（牛

3、顿莱布尼茨公式）如果是连续函数/（X）在区间凡句上的一个原函数，则场L= 50) - F(哈伍0江微积分基本公式表明：一个连续函数在区间1讯封上的定积分等于它的任意一个原函数在区间1%切上的增量。求定积分问题转化为求原函数的问题。第四节定积分的积分方法与无穷区间上的广义积分解一解二定积分的积分方法1、定积分的换元积分法4 dx求01 xdx 令vx tx2诉 In 1_dx_2 2tdtLx01 t2tdt1 tTXt2(t0)22 0(1般地，定积分换元法可叙述如下，设(1)(2)2 (1(x)在 ,上有连续导数;)a,()ln2 e 1dx0解设Jex 1 t,即b，且当t在ln(t2换积

4、分限：当 x 0时,2(t ln 1041dxx 2工0时,t 0;当x2(t In 1 t) 2t) C4时,2(2f(x)在a,b上连续，而xln(1In 3)4 2ln3(x)满足下列条件:，上变化时，x 的值在a,b上变化，则有换元公ba f(x)dx f (t) (t)dt a1),dx -t2 dtt2 1当x ln2时，t 1,于ln2、ex1 2t1dx t dt0 t2 1c i 1 、，、2 o(1 pdt 2(t arctant)2a22x a4dxx解设xdxasecttantdt.换积分限：当x a时，t0； x 2a 时,解一所以,解二2a . x2 a2.2 si

5、ndxatant-4- a sect tantdta sec t1. 2 . sin t costdt atd(sin t)sin3138a2dx1 sint（换元法）令x 0时，t1201 2t（凑微分法）兀2 0 x(sin 一2t2dtan-2x 2(tan 2 1),x .tan 一，sin2x0;当dtdx2t t2,dx2dt t22时,dt(1 t)2x、2 cos-)2dxx 22 x(tan 1) cos 一tanx 12注意:求定积分一定要注意定积分的存在性2、定积分的分部积分法设u(x) ,v(x)在a,b上有连续导数,则有budv uvabvdu a a,b该公式称为定

6、积分分部积分公式，使用该公式时要注意，把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分.这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些兀2 x2 cosxdx0兀2x02 cosxdx兀02x2d(sinx)sinx兀21兀22xsin xdx02 7t42 02 xd(cosx)2 7t42xcosx兀2cosxdx02 7t42sin xln x dxIn x dxIn xIn x dxIn xIn x dxdx.因为1时,In x0,这时In1nx；x>1 时，1nx11 ln xdxeeln xdx分别用分部积分求右端两个积分得111n xdxexln xixdx e x11n

7、1e eeln xdx1xln xln x dx，最后得无穷区间上的广义积分b、lim f(x)dx设函数f (x)在区间a ,)上连续，取b >a,如果极限b a 存在，则称此 极限为函数f (x)在无穷区间a,)上的广义积分，记作a f(X)dXb即 a f(X)dX=blim a f(X)dx这时也称广义积分a收敛。如果上述极限不存在，此时称广义积分a "Md'发散。例题1计算广义积分11 X2dX.解 dX=ac tan x|1 Xlim arctanx lim arctan xXX一(一)22第五节 定积分的应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割

8、、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分 的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U (总量)表示为定积分的方法一一微元法，这个方法的主要步骤如下：(1)由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如x为积分变量，并确定它的变化区间a,b,任取a,b的一个区间微元x,x dx,求出相应于这个区间微元上部分量U的近似值，即求出所求总量U的微元dU f(x)dx；(2)由微元写出积分根据dUf (x)dx写出表示总量U的定积分bbU dU f (x)dxaa二、平面区域的面积1、直角坐标的情形由曲线y f(x)(f(x) 0)及直线x a与x b( a b)与x轴所围成的曲边梯形

9、面积A。0 X K -占 bbA f (x)dx其中：f(x)dx为面积元素。 a由曲线 y f (x)与y g(x)及直线 x a , x b( a b )且f (x) g(x)所围成的图形面积Ao w a -PR 。bA f(x)dxabg(x)dxabf(x) g(x) dxa其中：f(x)g(x)dx为面积元素。例1计算抛物线2y 2x与直线y x4所围成的图形面积。解：1、先画所围的图形简图解方程 y 2x ,得交点：(2, 2) 和(8,4)。y x 42.选择积分变量并定区间选取x为积分变量，则3.给出面积元素2上,dA2x ( 2x)dx2 2xdx4.列定积分表达式8上,dA

10、2x (x 4)dx(4 2xx)dx4x dx04 ,22x3182x23另解:若选取y为积分变量，则dA(y4)12-y dy24(y22y212、-y )dy2418显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。2、极坐标情形设平面图形是由曲线()及射线所围成的曲边扇形。取极角为积分变量，则,在平面图形中任意截取一典型的面积元素A ,它是极角变化区间为, d 的窄曲边扇形。A的面积可近似地用半径为中心角为d的窄圆边扇形的面积来代替,从而得到了曲边梯形的面积微元为)2d1 dA 1r(2从而面积为1 2 z2r ( )d例2计算心脏线r a(1 cos )(a0)所围成的图形面

11、积。解：由于心脏线关于极轴对称,2 1a2(102、cos2)2d a22 cos2- do2,24,4 a cos do 28a23! - 4!T24 ,令-t8acos tdt0三、求体积1、旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴。计算由曲线y f(x)直线x a, x b及x轴所围成的曲边梯形，绕 x轴旋转一周而生成的立体的体积。取x为积分变量，则x a,b,对于区间a,b上的任一区间x,x dx,它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以f(x)为底半径，dx为高的圆柱体体积。 即：体积微元为dV f(x)

12、2dx所求的旋转体的体积为bV f (x) 2dxr例3求由曲线y 一 x及直线x h0, xh(h 0)和x轴所围成的三角形绕X轴旋转而生成的立体的体积。解：取x为积分变量，则X 0,hh rx o hdxhx2dx r2ho32、平行截面面积为已知的立体的体积(截面法)由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这 个立体的体积也可以用定积分来计算。取定轴为x轴，且设该立体在过点 x a , x b且垂直于x轴的两个平面之内，以A(x)表示过 点x且垂直于x轴的截面面积。取x为积分变量，它的变化区间为a,b。立体中相应于a,b上任一小区间x,x dx的

13、一薄片的体积近似于底面积为 A(x),高为dx的扁圆柱体的体积。即：体积微元为dV A(x)dxb于是，该立体的体积为V A(x)dxa2例4计算椭圆一ab21所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积。解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆y一”及x轴所围成的图形绕x轴旋转所生成的立体。a在x处(a x a),用垂直于x轴的平面去截立体所得截面积为bA(x) ( a aa2 ab 2242V A(x)dx2- (a x )dx - abaa a3四、平面曲线的弧长f(x)的长度s。1、直角坐标情形设函数f(x)在区间a,b上具有一阶连续的导数，计算曲线y0 a工工+欧占取x为积分变量，则 x a, b

14、,在a,b上任取一小区间x,x dx,段的长度 s可以用它的弧微分 ds来近似。于是，弧长元素为ds 1 f (x) 2dx弧长为b s 1f (x) 2dxa2 3,、例5计算曲线y -x2(a x b)的弧长。3那么这一小区间所对应的曲线弧解：ds 1 ( x)2dx 1 xdx2(1 b:2 (1 a)32 32.1 xdx (1 33x)22、参数方程的情形若曲线由参数方程x (t)y (t)给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成ds(dx)2(dy)2.(t) 2(t) 2dt的形式，从而有s :(t) 2(t) 2dt例6计算半径为r的圆周长度。解：圆的参数方程为x r cost

15、y rsint(0 tds ( rsint)2 (rcost)2dt rdt2s rdt 2 r03、极坐标情形若曲线由极坐标方程r r()(只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公给出，要导出它的弧长计算公式, 式即可。曲线的参数方程为r( )cos( r( )sin此时变成了参数，且弧长元素为ds.,(dx)(dy)2.(r cos r sin )2(d )2 (r sin r cos )2(d )2 r2 r 2d从而有例7计算心脏线r a(1 cos ) ( 02 )的弧长。解：ds . a2(l cos )2 ( a sin )2d4a 2 gs.22sin cos d222acos 一 22s2 a cos do224a cos d04a |cos | d0cos d 28a五、变力作功例8 半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为 1 ,现将这球从水中取出，需作多少功？解：建立如图所示的坐标系将高为r的球缺取出水面，所需的力F