八年级物理上册 1.3《活动降落伞比赛》课件 （新版）教科版 (1821)

1、2.5 2.5 夹角的计算夹角的计算一、复习引入一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”. .（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（

2、化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）二、空间二、空间“夹角夹角”问题问题1.异面直线所成角异面直线所成角设直线设直线, l m的方向向量分别为的方向向量分别为, a b lamlamb 若两直线若两直线 所成的角为所成的角为 , 则则, l m(0)2cosa ba b 1共面直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在_内的角叫作两直线的夹角2异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作ABl2，我们把直线l1与直线AB的夹角叫作异面直线l1和l2的夹角121212121212123.02_2_c

3、os_.llssssllssllll直线夹角的求法设直线 与 的方向向量分别是 ，当 ， 时，与 的夹角等于；当 ， 时，与 的夹角等于实际操作中，设 与 的夹角为 ，则s1，s2s1，s2|coss1，s2|总结：总结：例例1.090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111A BACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.AB1BC1D1A1C1Fxyz解：解：以点以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设如图所示，设 则：则： Cxyz11CC (1,0,0), (

4、0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1AB1BC1C1D1F11304.105342所以所以 与与 所成角的余弦值为所成角的余弦值为1BD1AF3010设设n为平面为平面 的法向量，直线的法向量，直线AB与平面与平面 所成的角所成的角为为 ，向量，向量 与与n所成的角为所成的角为 ，则，则1AB2ABn212. 线面角线面角n212122或平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作作该直线与此平面

5、的夹角该直线与此平面的夹角夹角的范围是夹角的范围是 02， na la .0_2_ .2sin_ .nlalnana设 平 面的 法 向 量 为 ， 直 线 的 方 向 向 量 为 ，直 线 与 平 面所 成 的 角 为当 ， 时 ，直；当 ， 时 ，线 与 平 面 夹 角的 求 法即,2n a ,2n a cos, n an例2.如图所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB求直线SC与底面ABCD的夹角的正弦值解析由题设条件知，以点由题设条件知，以点A为坐标原点，为坐标原点，分别以分别以AD、AB、AS所在直线为所在直线为x轴、轴、y轴

6、、轴、z轴，轴，建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系(如图所示如图所示) 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二），设二面角面角 的大小为的大小为 其中其中AB lCDlCDABl,CDABCDABCDAB,coscosDCLBA3、二面角、二面角方向方向向量法向量法注意法向量的方向：同进注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角二面角等于法向量夹角Lnm 将二

7、面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角.如如图，向量图，向量 ，则二面角，则二面角 的大小的大小 mn，lnm,nm, 若二面角若二面角 的大小为的大小为 , 则则l (0)cos.u vu v 法向量法法向量法3、二面角、二面角总结：总结：n1，n2n1，n2|cosn1，n2|注意平面夹角与注意平面夹角与二面角的区别二面角的区别例例2 正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的的中点，当中点，当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。111CBAABC 11BCABCBCD1CADBC1B1A1)0,21,23(aaA)0 ,0(aB)0 ,4

8、1,43(aaD), 0 , 0(1bC),0(1baB 解法一：如图，以解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设。设底面三角形的边长为底面三角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b, 则则 C(0,0,0)故),21,23(1baaAB), 0(1baBC11,ABBC2211102AB BCab 22ba则可设 =1， ，则B(0,1,0) a22b)0 ,41,43(D)22, 0 , 0(1CyxzCADBC1B1A1FE作作 于于E, 于于F，则则 即为二面角即为二面角 的大小的大小1BCCE 1BCDFFDEC,CBCD1在在 中，中， 即即E分

9、有向线段分有向线段 的比为的比为BCCRt121222211abBCCCEBECBC12112(0,)33E12(0,)33EC 由于 且 ，所以 ACBDABCCC面1DCBD1在 中，同理可求 BDCRt1)42,21,0(F)42,41,43(FDcos = FDEC ,22463341FDECFDEC即二面角 的余弦值为 CBCD122yxzCADBC1B1A1FE) 0 ,43,43(DB)22,41,43(1DC解法二解法二：同法一，以同法一，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面在坐标平面yoz中中 1CC B设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 BDC1),(zyxm 同法一，可求同法一，可求 B(0,1,0)0 ,41,43(D)22, 0 , 0(1C可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 BCC1nyxzCADBC1B1A1由由 得得mDBmDC,113120,442CD mxyz 04343yxmDB解得解得 zyx263 所以，可取所以，可取 )6, 3, 3(m二面角二面角 的大小等于的大小等于 CBCD1nm, cos = nm,22233nmnm即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 CBCD122 方向朝面外，方向朝面外， 方向朝方向朝面内，属于面内，属于“一进一出一