第二章 可变端点横截条件

1、第二章第二章 可变端点横截条件可变端点横截条件主要内容： 一、一般性横截条件 二、特殊横截条件预备知识：对定积分的求导预备知识：对定积分的求导baxdtxtFdxdI),(badtxtFxI),()(对于函数对于函数（1 1）莱布尼兹法则莱布尼兹法则对定积分的求导对定积分的求导（2.6)2.6)（2）对积分上限函数求导对积分上限函数求导)()(xbxbF)()()(xbadttFdxdx)(xb)()()(xbadttFx（2.8)2.8)(3)(3)如果定积分具有如下形式：如果定积分具有如下形式：)(),(),(xbxxbFdtxtFdxdKbax)(),()(xbadtxtFxK根据（根据

2、（2.62.6）式和（）式和（2.82.8）式，得：式，得：（2.11)2.11)可变终结点问题：可变终结点问题：),()()()0(. .)(),(,)(0自由给定TTTyTyTyAAytsdttytytFyVl假设假设 是已知的最优终结时间，是已知的最优终结时间，在在 邻近的任何值邻近的任何值 可以表示为可以表示为*T*TTTTT*l由于由于 已知并且已知并且 是一个预选的量，所以，是一个预选的量，所以，T可可被视为被视为 的一个函数的一个函数 ，其导数为，其导数为*TT)(TTddT第一节第一节 一般性横截条件一般性横截条件lT是是 的一个函数，所以函数的一个函数，所以函数V中积分上限随

3、着中积分上限随着 的变化而变化。的变化而变化。)(0)()( ),()(,)(*TdttptytptytFV)(ty)(ty*Ty*T*)(tyl最大化或最小化最大化或最小化推导一般的横截条件：推导一般的横截条件：l步骤步骤1)(0)()( ),()(,)(*TdttptytptytFVddTTyTyTFdtFddVT)(),(,)(0（3.6）（3.6）式第二项）式第二项:TFddTTyTyTFTt)(),(,dtFdtdtptpFdtFtpdtFTyTyTyT0000)()()(根据上一章根据上一章 的推导过程的推导过程,得（得（3.6）式第一项）式第一项:dtFT0)()(0TpFdtF

4、dtdFtpTtyTyy第第40页页0)()(0TFTpFdtFdtdFtpTtTtyTyyl把这些代入把这些代入(3.6)，并令，并令 ，得：，得：0ddV（3.7）l步骤2 通过把 转化为含 和 )(TpTTyTTyTpyT)()(TTyyTpT)()(（3.8）*T*Ty*)(tyl步骤步骤3 3 把（把（3.83.8）式代入（）式代入（3.73.7），得：），得：0)()(0TFTTyFyFdtFdtdFtpTtTtyTTtyTyy0)(0TTtyTtyTyyyFTFyFdtFdtdFtp0)(0dtFdtdFtpTyy0TTtyTtyyFTFyF欧拉方程欧拉方程一般横截条件一般横截条

5、件0)()(0TFTpFdtFdtdFtpTtTtyTyy（3.7）TTyyTpT)()(（3.8）第第2 2步骤推导得到：步骤推导得到：第第1 1步骤推导得到：步骤推导得到：特殊横截条件特殊横截条件l垂直终结线（固定时间水平问题）垂直终结线（固定时间水平问题）0TTtyTtyyFTFyF以上推导得到一般横截条件：以上推导得到一般横截条件：l垂直终结线涉及一个固定的T，从而0Tl又因为 是任意的，就产生的横截条件：Ty0TTtyyF0TtyF垂直终结线的横截条件垂直终结线的横截条件0T第二节第二节 特殊横截条件特殊横截条件特殊横截条特殊横截条件件l水平终结线（固定端点问题）水平终结线（固定端点

6、问题）0TTtyTtyyFTFyF一般横截条件一般横截条件l又因为 是任意的，就产生的横截条件：T水平终结线的横截条件水平终结线的横截条件l水平终结线涉及一个固定的 ，从而0TyTy0TFyFTty0TtyFyF0Ty特殊横截条件特殊横截条件l终结曲线终结曲线0TTtyTtyyFTFyF一般横截条件一般横截条件l把该式代入一般横截条件，得：终结曲线的横截条件终结曲线的横截条件l终结曲线 ， 和 都未被赋予零值。TTy)(TyTdTdyTTyT 0TFFyFTtyyl又因为 是任意的，就产生的横截条件：T0TtyyFFyF)(TyT)(TyT特殊横截条件特殊横截条件l截断垂直终结线截断垂直终结线

7、0TTtyTtyyFTFyF一般横截条件一般横截条件min*0yyFTTty对于min0yyTT和minyl对点Z1，即 ，那么终结限制 自动被满足，可直接使用垂直终结线横截条件：min*yyTmin*yyTl对点Z2和Z3，即 。min*yyTmin*0yyFTTty对于0)(0min*min*TtyTTTtyFyyyyF最大化问题的截断垂直终结线横截条件最大化问题的截断垂直终结线横截条件(对于最大化V的问题)特殊横截条件特殊横截条件l截断垂直终结线截断垂直终结线0TTtyTtyyFTFyF一般横截条件一般横截条件min*0yyFTTty对于min0yyTT和minyl对点Z1，即 ，那么终

8、结限制 自动被满足，可直接使用垂直终结线横截条件：min*yyTmin*yyTl对点Z2和Z3，即 。min*yyTmin*0yyFTTty对于0)(0min*min*TtyTTTtyFyyyyF最大化问题的截断垂直终结线横截条件最大化问题的截断垂直终结线横截条件(对于最小化V的问题), 0)(TP假设minyyT已知)(*TpyyTTmin*)(yyyyTpTTT0即在约束即在约束 的情况下求的情况下求 的的最大化最大化。0dttytytFyVT)(),(, )(00)(00ddVyFTFyFddVTTtyTty根据求最大值的库恩塔克条件，得：时当即min*, 0,yyFTTtymin*,

9、0yyFTTty对于证明(对于最大化V的问题)0)(030)(020)(01*xf，xxf，xxf，x且情形且情形且情形0)(3020)(1*xfxxxf条件条件条件库恩塔克条件：库恩塔克条件：特殊横截条特殊横截条件件l截断水平终结线截断水平终结线0TTtyTtyyFTFyF一般横截条件一般横截条件maxTT Tmax1M2M3Ml对点M1，即 ，那么终结限制 自动被满足，可直接使用水平终结线横截条件：l对点M2和M3，即 ，那么终结限制 才被满足。0)(0max*max*TtyTtyFyFTTTTFyFmaxTT maxTT maxTT maxTT max*0TTFyFTty对于max*0T

10、TFyFTty对于最大化问题截断水平终结线的横截条件最大化问题截断水平终结线的横截条件(对于V的最大化)特殊横截条特殊横截条件件l截断水平终结线截断水平终结线0TTtyTtyyFTFyF一般横截条件一般横截条件maxTT Tmax1M2M3Ml对点M1，即 ，那么终结限制 自动被满足，可直接使用水平终结线横截条件：l对点M2和M3，即 ，那么终结限制 才被满足。0)(0max*max*TtyTtyFyFTTTTFyFmaxTT maxTT maxTT maxTT max0TTTFyFddVTty对于max0TTFyFTty对于最大化问题截断水平终结线的横截条件最大化问题截断水平终结线的横截条件

11、(对于V的最小化)TTTTTmax*max*TTTTT0在约束 的情况下求 的最大化。0dttytytFyVT)(),(, )(00)(000ddVyFTFyFddVddVTTtyTty根据求最大值的库恩塔克条件，得：0 ,max*TtyFyFTT时当因此Tmax1M2M3M, 0T假设max*已知TT:, 那么假设0, 00TtyTtyTFyFTFyFy即又,max*TT 对于即点M2和M3：max*0TTFyFTty对于证明dtyy tyVT)()(20具有边界条件：具有边界条件：是自由的并且TyyT,10, 1)0(例例2 求下列泛函的极值曲线。求下列泛函的极值曲线。2yy tF0yFy

12、tFy2yyFdtdF根据欧拉方程根据欧拉方程 ，可得：，可得： 0yFdtd常数 yF常数yt2121cty212*41ctcty根据直接积分，得根据直接积分，得, 1)0(y由于, 12c所以10yt01122*41)(ctctty根据水平终结线的横根据水平终结线的横截条件：截条件：0TtyFyF2yy tF ytFy20)2(2ytyyy t代入水平终结线横截条件。代入水平终结线横截条件。和和（在（在t=T处）处）02 y0 y14112*tcty通解为通解为1*21cty021)(1*cTTyTc211,10Ty水平终结线1014112TcTyT?361cT第三节第三节 横截条件的推广

13、横截条件的推广（一）一个可变初始点（一）一个可变初始点如果初始点是可变的，那么边界条件如果初始点是可变的，那么边界条件 不再成立。不再成立。Ay)0(需要一个初始横截条件来填补这个空白。需要一个初始横截条件来填补这个空白。（二）多个状态变量情形（二）多个状态变量情形当目标函数出现多个状态变量时当目标函数出现多个状态变量时，被积函数表示为：，被积函数表示为：),(11nnyyyytF 0TTtyTtyyFTFyF一般横截条件为：一般横截条件为：当目标函数只有一个状态变量时当目标函数只有一个状态变量时，被积函数为：，被积函数为：),(yytF0)(1111nTTtnyTTtyTtnynyyFyFT

14、FyFyF一般横截条件为：一般横截条件为：（二）高阶导数的情况（二）高阶导数的情况0) TTtyTTtyyTtyyyyFyFdtdFTFdtdyFyFyF泛函泛函 具有被积函数具有被积函数 ，经济学中，经济学中很少出现高阶导数的情况。很少出现高阶导数的情况。),()(nyyytFyV以被积函数以被积函数 为例，一般横截条件为：为例，一般横截条件为：),(yyytF 2222:,11000,10160 8100 ,( ,)41614.4260100032003560CQQPPP PPQ CPPPPPP 例 垄断企业的埃文斯模型 考虑生产一种商品的一家垄断企业成本函数为需求函数为则企业利润为0:max(,)44(1) . . (0)11,()15,2994(2) . . (0)11,()109TP P dts tPP TTs tPP T此 垄 断 目 标 为*0.120.1212*0.120.12:(1):4( )14944(0)11,( )15,2994( )6.9339.933149ttttEulerP tAeA ePP TTP tee解根据方程得出又根据边界条件11*1*10.240.2412(2):( )10( ),( ,( ),( )|0,( )( ,( ),( )|0;|0|260 ( )2000( )32000( )0.1