五年级下册数学专项训练小学奥数不定方程的整数解通用习题无答案

1、第七讲 从不定方程1/n = 1/x + 1/y的整数解谈起要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。 显见x=y=12是一个整数解.还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二

2、通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。孟子中的“先生何为出此言也？”；论语中的“有酒食，先生馔”；国策中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实国策中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当

3、今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于礼记?曲礼，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。必须是整数，这样我们推知：t是62的因数（约数）。个未知数x、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了.一个完全平方数的因子必然是奇数个，如62有因子6、1和36，2和18，3和12，4和9.6称为自补的因子.后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记为：t0=6，t11，t1=36；t2=2，t2=18；t3=3，t3=12；t4=4， 这里t和t是6

4、2=36的互补因子（当tt6时自补因子也包括在内），所以成一种了。 以上情况推广到一般情况：求不定方程的整数解，只要找出n2的全部成组互补因子t和t，则就可得到全部解。例如，求不定方程：（即n12）的整数解，首先分解122（22·3）224·32，它的因子根据分解式的结构特点可以排成一个表。按照互补或自补因子配对有：（1，144），（2，72），（3，48），（4，36），（6，24），（8，18），（16，9），（12，12）。“单位分数”（分子为1分母为整数）的和，那么我们相当于求：的整数解，例如求解在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之和。（1

5、，4），（2，2）.可有并且可断言只有这三种形式.为证明这一论断，先介绍“推广的抽屉原理”（称之为平均值原理更确切）：一个（正）数，分放于几个抽屉中，必有一个抽屉内存放的数大于或等于平均值.（注意，这里的数不局限于整数）故推断正确。在某些问题研究中，并不要求马上找出全部解，只要能将一个单位分数分拆为两个单位分数之和即可，这里我们介绍另一种技巧，先看（我们这里是在讨论单位分数问题时用到（5）式.其实（5）式又可以改变形式写成：它在计算中也有巧妙应用，为保持原问题讨论的连续性，它的具体应用请看习题）。公式（5）在将整数1分裂成若干个单位分数和的求解中，用起来很方便.例如可将1分裂为3个分母不等的单

6、位分数之和。而且，只要不计较分母太大看起来不直观，我们可以把1分裂成任意多个单位分数之和，如分解。上述基本分解还有一种简便一些的算法，它不必分解n2的因子，而只要）的所有因子由小到大排列：1、2、3、4、6、12，6个因子任取2个配成一个组合，共有15种：（1，2），(1，3），（1，4），（1，6），（1，12）（2，3），（2，4），（2，6），（2，12）（3，4），（3，6），（3，12）（4，6），（4，12）（6，12）种情况即可.子不是1的，例如那么请问是否只有两种方式？答：是.理由呢？因为由推广的抽屉原理，求整数解呢？约分后分母为15，所以x，y为15，2×15，3&

7、#215;15，以下分情况讨论。y=15）的情况应排除。析，如y大于15，y是x与y可能的最小公倍数30，45，60，中某一个数的约数；单位分数，排除y=9.同样，也可排除y=11，12，13，14.只有y=10一种可能。从上例看出分数形式不定方程求整数解不是很容易的.一些国际一流的数学家也致力于这类问题的研究.如1950年，厄尔丢斯猜想：科学家柯召、孙琦等证明了n4×105=400000时，猜想成立.1965年有人把n推进到n<107，1978年又将n推进到了n108。另有谢平斯基（Sierpinski）猜想：来证明.对于大多数小学生来讲，现在功力有限，只能在最简单的情况下一试身手。分情况讨论：对于方程（7），再用推广的抽屉原理，有又3=xy，这样，y=3或y=4，代入（8）后知