例谈几何型综合题的解题策略

1、例谈几何型综合题的解题策略几何型综合题常以动态几何知识为背景，以考察数学知识、数学思想的综合运用能力为目标，所涉及的数学思想主要有方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等等。近年来，它 常作为中考的压轴题出现。例题：（年上海中考题）已知：/=60，点是射线上的一点，=（如图）. .为直线上一动点，以为边作等边三角 形（点、按顺时针排列） ，是的外心. .（1 1）当点在射线上运动时，求证：点在/的平分线上;（2 2）当点在射线上运动（点与不重合）时，与交于，设=,AC AO=y,求关于的函数解读式， 并写出函数的定义域;（3 3） 若点是射线上，=时，0是的内切圆，当的边或与O相切时，请直接写出

2、点到点的距离 分析：这类试卷一般有三个小题，第一小题研究几何背景，为论证或计算；第二小题研究运动中图形的数量关系，建立函数关系；第三小题研究图形不确定性带来的分类讨论。我们一 般可以采用化整为零、建立方程、分类讨论三个步骤，从复杂的背景中提取解题所需信息,使问题逐步解决。要证平分/，只要证明到、的距离相等，故作丄于，丄于，故Z= 。因此只要连结、证z= ,把问题转化为研究等边三角形外心的性质。这样，一个复杂的问题经过分拆，转 化成我们熟悉的基本问题，从而寻找到解题的途经。解：连、，：是等边的外心.，/ = 作丄于，丄于，故z= ./= /可证也，二=在/的平分线上二、建立方程建立几何图形间的数

3、量关系，特别是动态几何图形间的数量关系，是这类试卷的考察重点，函数关系式的建立实际上是探求两个变量与之间未知函数类型的函数问题，如果我们把函数理解为关于、的二元方程，不管是何种类型函数，都可以通过寻找与之间的等量关系，化整为零M MJ JN建立方程来解决。而建立等量关系常见的途经有：比例线段、勾股定理、等积原理、线段和本题要建立y（AC AO）与（）之间的函数关系，就是建立与之间的方程，所涉及 的线段有、三条，因此常要寻找第四条线段，根据题意只有=是已知线段，故可以优先考虑，因此只要证. .解：T/。，/ZZZZZZ又/AB AO斗 故=（）AC AP三、分类讨论分类讨论是这类试卷的重点内容之

4、一，不仅考察数学知识的把握能力， 还考察动态图形的认知能力，对同学来说，是难点之一。不过，分类讨论也是有规律可循，比如这类试卷所涉及的分类讨论知识主要是等腰三角形的底边不确定、直角三角形的直角不确定、 图形的位置不确定（最常见是直线、射线与线段变化引起的）、相似三角形的对应边不确定等等。在 分类讨论时首先要注意分类标准统一，其次要做到不重不漏。本题的第一小题、第二小题考察点在射线上的运动，而第三小题则考察在直线上的运动, 由此带来分类讨论。解：，/ = ,可得/、当与O相切时，（）当与重合时（如图），2 34塔3（）当与重合时（如图），），- -3、当与O相切时（如图），MMN探究：设、两点间

5、的距离为.()当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；()当点在边上时，设四边形的面积为， 求与之间的函数解读式， 并写出函数的定义域;()当点在线段上滑动时， 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使成 为等腰三角形的点的位置，并求出相应的的值；如果不可能，试说明理由.、(年上海中考)在中，/ = ,=,=，是边上的一个动点，以点为圆心作半圆，与边相切于点，交线段 于点，作丄，交射线于点，交射线于点。(1)如图，求证：几何型综合题不管试卷如何变化，都是以日常学习中的基本知识为背景，或让几个背景叠加，或让静态的几何关系运动 起来，在运动中探求图形不变的位置或数

6、量关系。因此，这类 问题的解决是以具有扎实的基本功为前提的，因此只要平时注重基本知识、基本图形的积累与总结，再合理运用解题策略，就可以达到事半功倍的效果。附习题:( (年上海中考) )操作：将一把三角尺放在边长为的正方形上，并使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点.(2)设，求关于的函数解读式，并写出它的定义域；(3)当=时，求线段的长. .F图8E O AC图9(备用图)（备用图）、（年上海中考）在中，/ = ,2.2,O的半径为，如图所示.若点在上运动（与点、不重合），设=x,的面积为y（）求关于的函数解读式，并写出函数的定义域；（）以点为圆心，长为半径作

7、O,求当O与O相切时，的面积.、（年黄浦中考模拟卷）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在原点， 边在轴的正半轴，=,/ = ,=,O分别与 边、相切于、（切点、不在边、的端点），的延 长线与的延长线相交于点（1 1）求边的长和的面积；（2 2）设，写出与的函数解读式，并写出自变量的取值范围;（3 3） 探索与能否相似？若能相似，请求出 的值，同时判断此时O与边的位置关系， 并证明之；若不能相似，请说明理由；（4 4） 当O与内切时，O与边相切于点，请写 出切点、的坐标（不必写出计算过程）. .、（年上海中考）已知在梯形中，/,且=,=.（）如图，为上的一点，满足z=z.1求证；2求的长.（）如果

8、点在边上移动（点与点、不重合） 于点，那么当点在线段的延长线上时，设，求关于的函数解读式，并写出函数的定义域;当=时，写出的长（不必写出解题过程）、（年浦东中考模拟卷）已知：如图，点在/的边上，以点为顶点的/与/的边分别相交于点和点（点在点的左 边），zz，设点与点的距离为，（1 1）求证：线段是线段与的比例中项；（2 2）求关于的函数解读式，并写出它的定义域；，且满足z=z，交直线于点，同时交直线（3 3）如果以线段为直径的圆与直线相切，求线段的长.、(年奉贤中考模拟卷)如图，在中，/ = ,=,=，动点从点出发沿边向点以每秒个单位长的速度运动， 动点从点出发沿边向点以每秒个单位长的速度运动

9、，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动. 在运动过程中，关于直线对称的图形是设运动时间为(秒)()设四边形的面积为，求与的函数关系式及自变量的取值范围；()是否存在时刻，使得/?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；()通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻，使得丄？若存在，请估计的值 在括号中的哪个时间段内( ;);若不存在，请简要说明理由.()求证：.BCFsCDE;()求 t t 的取值范围；()连结BE，当 t t 为何值时，.BEC二.BFC?答案：图图图()解：=证明如下：过点作/,分别交于点，交于点，那么四边形和四边形都是矩形，和都 是等腰直角三角形(如图)/ Z = ，A/ + / = .而Z + Z = ，A z = z.又Z = Z =