固体物理学_晶体宏观对称性

1、01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构01_05 晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性 晶体在几何外形上表现出明显的对称性晶体在几何外形上表现出明显的对称性 对称性的性质也在物理性质上得以体现对称性的性质也在物理性质上得以体现介电常数表示为二阶张量介电常数表示为二阶张量( , , )x y z ED电位移电位移01/3401_05_晶体的宏观对称性 晶体结构ED电位移电位移 对于立方对称的晶体对于立方对称的晶体00DE介电常数看作一个简单的标量介电常数看作一个简单的标量01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构000000/ 六角对称晶体六角对称晶体 将坐标轴取在六角轴和垂直于六角轴的平面内将坐标轴取

2、在六角轴和垂直于六角轴的平面内介电常数介电常数01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构/1122000000DEDEDE/E/EDEED平行轴平行轴(六角轴六角轴)分量分量垂直于六角轴分量垂直于六角轴分量 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象 立方晶体的光学性质则是各向同性的立方晶体的光学性质则是各向同性的01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构 原子的周期性排列形成晶格原子的周期性排列形成晶格 不同的晶格表现出不同的宏观对称性不同的晶格表现出不同的宏观对称性晶体宏观对称性晶体宏观对称性 考察晶体在正交变换的不变性考察晶体在正交变换的不变性 三维情况

3、下，正交变换的表示三维情况下，正交变换的表示 矩阵是正交矩阵矩阵是正交矩阵111213122223131333xaaaxyaaayzaaaz 3, 2, 1,jiaij晶体的宏观对称性的描述晶体的宏观对称性的描述05/341TAA01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构 绕绕z轴转轴转 角的正交矩阵角的正交矩阵1000cossin0sincos01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构 中心反演的正交矩阵中心反演的正交矩阵100010001 空间转动，矩阵行列式等于空间转动，矩阵行列式等于1 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于空间转动加中心反演，矩阵行列式等于101_05_晶体的宏观对称性 晶体结构

4、对称操作对称操作 一个物体在某一个正交变换下保持不变一个物体在某一个正交变换下保持不变1 立方体的对称操作立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动 9个对称操作个对称操作23,2 物体的对称操作越多，其对称性越高物体的对称操作越多，其对称性越高01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构 共有共有6个对称操作个对称操作2) 绕绕6条面对角线轴转动条面对角线轴转动01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构 8个对称操作个对称操作3) 绕绕4个立方体对角线个立方体对角线轴转动轴转动34,324) 正交变换正交变换 1个对称操作个对称操作10001000110/3401_05_晶体的宏观对称性

5、 晶体结构 立方体的对称操作共有立方体的对称操作共有48个个5) 以上以上24个对称操作个对称操作 加中心反演仍是对称操作加中心反演仍是对称操作01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构 4重轴、重轴、 3重轴、重轴、 2重轴的表示重轴的表示01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构2 正四面体的对称操作正四面体的对称操作 四个原子位于正四个原子位于正四面体的四个顶角上四面体的四个顶角上 金刚石晶格金刚石晶格 对称操作包含在对称操作包含在 立方体操作之中立方体操作之中 01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构 共有共有3个对称操作个对称操作1) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动 8个对称操作个对称操作2

6、) 绕绕4个立方体对角线轴转动个立方体对角线轴转动34,323) 正交变换正交变换 1个对称操作个对称操作10001000101_05_晶体的宏观对称性 晶体结构 6个对称操作个对称操作4) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动23,2加中心反演加中心反演 6个对称操作个对称操作5) 绕绕6条面对角线轴转动条面对角线轴转动加上中心反演加上中心反演 正四面体正四面体 对称操作共有对称操作共有24个个15/3401_05_晶体的宏观对称性 晶体结构3 正六面柱的对称操作正六面柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动绕中心轴线转动35,34,32,3 5个个 3个个3) 绕相对面中心连线转动绕相对面中心连线转

7、动 3个个4) 正交变换正交变换5) 12个对称操作加中心反演个对称操作加中心反演 正六面柱的对称操作有正六面柱的对称操作有24个个2) 绕对棱中点连线转动绕对棱中点连线转动 1个个01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构对称素对称素 简洁明了地概括一个物体的对称性简洁明了地概括一个物体的对称性对称素对称素 一个物体的旋转轴、旋转反演轴一个物体的旋转轴、旋转反演轴 物体绕某一个转轴转动物体绕某一个转轴转动 加上中心反演的联合操作加上中心反演的联合操作, 及联合操作倍数不变时及联合操作倍数不变时 该轴为该轴为n重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为2 /nn4 对称素对称素 物体绕某一个转轴转动物体

8、绕某一个转轴转动 ，以及其倍数不变时，以及其倍数不变时 该轴为该轴为n重旋转轴，计为重旋转轴，计为2 /nn01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构面对角线面对角线 为为2重轴，计为重轴，计为2( ) 立方体立方体3,22立方轴立方轴 为为4重轴，计为重轴，计为44同时也是同时也是4重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为2同时也是同时也是2重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构24,33体对角线轴体对角线轴 为为3重轴，计为重轴，计为33同时也是同时也是3重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构 正四面体正四面体体对角线轴是体对

9、角线轴是3重轴重轴 不是不是3重旋转反演轴重旋转反演轴 立方轴是立方轴是4重旋转反演轴重旋转反演轴 不是不是4重轴重轴面对角线是面对角线是2重旋转反演轴重旋转反演轴 不是不是2重轴重轴20/3401_05_晶体的宏观对称性 晶体结构 对称素对称素 的含义的含义2 先绕轴转动角度先绕轴转动角度 ，再作中心反演，再作中心反演 A点是点是A点在通过中心垂直于转轴的平面点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像的镜像 对称素对称素 存在一个对称面存在一个对称面M2 用用 表示表示m or一个物体的全部对称操一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群作构成一个对称操作群 对称素为镜面对称素为镜面01_05_晶体

10、的宏观对称性 晶体结构5 群的概念群的概念 群代表一组群代表一组“元素元素”的集合，的集合，G E, A ,B, C, D 这些这些“元素元素”被赋予一定的被赋予一定的“乘法法则乘法法则”，满足下列，满足下列性质性质1) 集合集合G中任意两个元素的中任意两个元素的“乘积乘积”仍为集合内的元素仍为集合内的元素 若若 A, B G, 则则AB=C G. 叫作群的封闭性叫作群的封闭性2) 存在单位元素存在单位元素E, 使得所有元素满足：使得所有元素满足：AE = A3) 对于任意元素对于任意元素A, 存在逆元素存在逆元素A-1, 有：有：AA-1=E4) 元素间的元素间的“乘法运算乘法运算”满足结合

11、律：满足结合律：A(BC)=(AB)C01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构正实数群正实数群 所有正实数所有正实数(0 除外除外)的集合的集合 以普通乘法为运算法则以普通乘法为运算法则整数群整数群 所有整数的集合，以加法为运算法则所有整数的集合，以加法为运算法则 一个物体一个物体全部对称操作全部对称操作的集合满足上述群的定义的集合满足上述群的定义 运算法则运算法则 连续操作连续操作01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构单位元素单位元素 不动操作不动操作任意元素的任意元素的逆元素逆元素 绕转轴角度绕转轴角度 ，其逆操作为绕转轴，其逆操作为绕转轴角度角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演；中心反演的

12、逆操作仍是中心反演；连续进行连续进行A和和B操作操作 相当于相当于C操作操作A 操作操作 绕绕OA轴转动轴转动 /2 S点转到点转到T点点B 操作操作 绕绕OC轴转动轴转动 /2 T点转到点转到S点点S01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构上述操作中上述操作中S和和O没动，而没动，而T点转动到点转动到T点点 相当于一个操作相当于一个操作C：绕：绕OS轴转动轴转动2 /3CABBCA)()(BAC 表示为表示为 群的封闭性群的封闭性可以证明可以证明 满足结合律满足结合律S25/3401_05_晶体的宏观对称性 晶体结构6 立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明立方对称晶体的介电系数为一个标量

13、常数的证明 1 ED, X，Y，Z轴分量轴分量 X，Y，Z轴为立方体的三个立方轴方向轴为立方体的三个立方轴方向假设电场沿假设电场沿Y轴方向轴方向EDxyxEDyyyEDzyz00 xxxxyxzyyxyyyzzzxzyzzDDED0,zxyEEEE01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构将晶体和电场同时绕将晶体和电场同时绕Y轴转动轴转动 /2ZXYYXZ,xzzyDDE yyyyDDE zxxyDDE 转动的实施转动的实施 电场没变电场没变 同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别应有应有xyzyxyzy 0zyxyDDZXY01_05_晶体的宏观

14、对称性 晶体结构将晶体和电场同时绕将晶体和电场同时绕Z轴转动轴转动 /2假设电场沿假设电场沿Z轴方向轴方向0 xzyzED zyx,所以所以 33221100000001_05_晶体的宏观对称性 晶体结构 再取电场方向沿再取电场方向沿111方向方向000000 xxxxyyyyzzzzDEDEDE13xxxEEEE3xxxDE3yyyDE3zzzDE01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构,ZXXY YZ3xxxDE3yyyDE3zzzDE 绕绕111轴转动轴转动2 /33yxxxDDE 3xzzzDDE 3zyyyDDE 晶体经历的一个对称操作晶体经历的一个对称操作 DD0zzyyxxZXY3

15、0/3401_05_晶体的宏观对称性 晶体结构0zzyyxx0000000000 正四面体晶体上述结论亦然成立正四面体晶体上述结论亦然成立 介电常数的论证和推导也适合于一切具有介电常数的论证和推导也适合于一切具有 二阶张量形式的宏观性质：如导电率、热导率二阶张量形式的宏观性质：如导电率、热导率等等0DE01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 2 对称操作对应的正交变换对称操作对应的正交变换且有且有介电常数介电常数 在坐标变换下在坐标变换下111213212223313133aaaAaaaaaa1* AA1112132122233132331A A*A A ijijija a 01_05_晶体的宏观对称性 晶体结构ijijija a A为对称变换为对称变换ijijjiaa 对于立方晶体，选取对称操作对于立方晶体，选取对称操作A为绕为绕Z轴旋转轴旋转 /210002cos2sin02sin2co