北师大版九年级数学上 第三章证明全章教案

1、第三章 证明（三）1平行四边形（一）开阳四中 杨昌龙一、教学目标1. 知识与技能：掌握平行四边形的概念、性质及条件，了解它们之间的关系。能够用综合法证明平行四边形性质定理及等腰梯形相关结论。2. 过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力和深化对证明必要性的理解。3. 情感态度与价值观：体会在证明过程中所运用的归纳、类比和转化的数学思想方法，体会计算和证明在解决问题中的作用。二、教学重点和难点1、重点：掌握平行四边形的性质定理。2、难点：探索证明过程，感悟归纳类比、转化的数学思想。三、教学过程三、教学过程分析第一环节：课前准备活动内容：专题总结（提前一周布置）布置课前任务：

2、以4人合作小组为单位，制作手抄报，总结有关平行四边形的知识（根据学生的能力不同，通过不同的角度）：（1）可以进行平行四边形性质结论的汇总（2）可以进行知识体系的归纳（3）可以归纳不同的思维方法、不同的探究方法（4）也可以分析不同性质结论之间的联系，形式多样。在必要的情况下，教师可以对学生的专题总结给予一定的指导，使其更合理。活动目的：在八年级，平行四边形的性质已由学生们通过一些直观的方法进行了探索，所以学生们了解这些结论，对于这些命题，教师可利用专题总结的方式使学生们联想回忆起它们，培养学生善于观察、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识；在活动中，学生通过对他们感兴趣的问题进行总结，培

3、养学生勇于探索、团结协作的精神，极大地激发了学生学习的积极性与主动性；专题总结，为学生提供了知识前后衔接的空间，引导学生将证明作为探索活动的自然延续和必要发展的过程，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用。第二环节：情景引入，提出问题活动内容：1、各个活动小组派代表展示专题总结，其他同学补充，分析不同专题总结的切入点、思维方法。（幻灯片展示）2、针对平行四边形性质结论的汇总提出问题：（1）右图是什么图形？有什么特征？（2）平行四边形的定义是什么？活动目的：通过展示各个活动小组的专题总结，先让各个小组代表发言，再互相补充，从而得到结论，充分发挥学生们的探究意识和合作交流习惯，同时也锻炼

4、学生的语言表达能力；同时这些知识也是后续要证明的内容，为后续学习做好准备。第三环节：分组验证，明确定理1 A D B 图31 C活动内容：1、如何运用公理和已有的定理证明平行四边形的有关性质？可以分小组探究验证，每一小组选择一个不同的的任务，对平行四边形的各个性质进行证明。然后，小组间交流展示证明思路、一题多解等。证明过程中注意（1）平行四边形的定义既是性质又是判定，可直接应用；（2）帮助学生进一步体验几何证明的基本要求和范式，提高其准确表达论证过程的技能。 2、明确定理如下：平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质：定理1:平行四边形的对边平行.(由定义得)

5、定理2:平行四边形的对边相等.定理3:平行四边形的对角相等.定理4:平行四边形的对角线互相平分.活动目的：利用公理和已有的定理证明平行四边形的有关性质定理并明确定理。 第四环节：活动探究活动内容：1、等腰梯形在同一底上的两个角有什么关系？结论：等腰梯形在同一底上的两个角相等2、这个命题的逆命题成立吗？如果成立，请你证明它。 学生证明。明确结论：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 3、证明：等腰梯形的两条对角线相等活动目的：展示证明思路，明白等腰梯形与所学知识之间的联系，渗透数学思想方法（把等腰梯形转化为平行四边形和三角形来处理，使本节课中转化、类比、归纳、方程等思想得到了很好的渗透）。 第

6、五环节：运用巩固活动内容：1、证明:夹在两条平行线间的平行线段相等.已知:如图,ABCD,EFGH. 求证:EF=GH2、学生独立练习。（1）已知：如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F. 求证:OE=OF.（2）已知:如图,AC,BD是ABCD的两条对角线,且AEBD,CFBD,垂足分别为E,F, 求证:AE=CF.B 图32 C 图34图35（3）已知:在ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AF=CE.线段BE与DF之间有什么关系?请证明你的结论.若掉题设中的AF=CE,请添加一个条件使有以上同样的性质.活动目的：本部分内容以逻辑证明为主，

7、在题目的选取上 图36 尽可能地增强代表性与挑战性，从而激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法的信心，同时也使学生体会到逻辑证明严密性。对于一些综合性，灵活性比较强的题，学生能够顺利解决,对培养他们学好数学的信心大有好处。第（3）小题是条件型开放题，答案不唯一。设计此题的目的是：培养学生的发散思维，力求使学生不停留在重复与模仿的阶段。第六环节：课堂小结活动内容：平行四边形的主要性质有：定理 平行四边形的对边平行.定理 平行四边形的对边相等.定理 平行四边形的对角相等.定理 平行四边形的对角线互相平分.定理 夹在两条平行线间的平行线段相等定理 等腰梯形在同一底上的两个内角相等定理 同一底上的两个角

8、相等的梯形是等腰梯形定理 等腰梯形的两条对角线相等活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想第七环节：布置作业1、课本习题2、体会本堂课你所获得成功的经验，写好数学日记，同学交流。活动目的：让学生写“数学日记”这种作业形式，能够培养学生善于归纳总结的能力，逐步养成良好的学习习惯。四、教学反思第三章 证明（三）1平行四边形（二）开阳四中 杨昌龙一、教学目标1. 知识与技能：能运用综合法证明平行四边形的判定定理。2. 过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。3. 情感态度与价值观：感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。二、教学重点和难点1、重点：

9、掌握证明平行四边形的方法。2、难点：运用综合法证明问题的思路。三、教学过程环节：回顾、导入新内容内容：师：前面我们已经学习过平行四边形的判定，现在我们来回顾一下判定的具体内容。生：平行四边形的判定有4条 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形师：很好。那有没有同学能够从命题的角度指出到这四条判定的相同和不同之处？生：这4个命题是平行四边形性质的逆命题。生：他们都是真命题。生：我们特别关注第一条，它是平行四边形的定义，既是平行四边形的判定，又包含着平行四边形的性质，这是它与其它3条

10、不同的地方。师：大家刚才的发言都非常好，但是大家注意到没有它们都不是我们现在知识体系中的公理？它们的正确性是需要我们证明的。生：原来数学这么严密、只会用是不行的，还必须知道为什么。师：很好的体会，今天我们就来解决这个问题。师：下面请同学们充分发挥你自己的聪明才智和团队的力量，去寻找解决问题的策略，或者找到解决问题路上的“坎儿”。目的：充分调动学生的积极性，使他们能够在自己已经构建的知识结构基础上，提出符合其个人认知层次的问题，从而为“教-学”找到良好的切入点。环节：探究、质疑找方法内容：学生自由组合，探索有关平行四边形判定的问题，自由交流、质疑、寻求帮助。目的：尽可能以学生“生成的问题”和寻求

11、解决问题策略的过程作为课堂重要的支撑点。充分调动每个学生的原认知、和已有的知识构建去解决新问题。下面是一个教学片断：生：老师我们发现这种命题没法证明。师：为什么？生：比如说下面这个题：它有已知条件（AD/BC, CDBDBA）吧？师：对。生：它有让我们解决的问题（四边形 ABCD是平行四边形吗）吧？师：对。生：那你说在上面的命题中，哪一个有这些？找不到已知条件还怎么证明阿？师：这一组同学找到了解决问题途中的一个坎儿，看看其他同学又没有好的建议或方法？生：我们认为任何一个命题都由“条件”“结论”两部分构成，比如下面这个命题： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形中，“一组对边平行且相等”是它的

12、条件，而“四边形是平行四边形”就是我们要解决的问题。我们小组的坎儿是：虽然能够找到“条件和要解决的问题”但是它不象我们以前解决过的问题有图形。师：没有图形对我们解决问题有影响吗？生：当然有。那一组平行且相等的边没有标记，会导致我们没有办法写过程 ，就算我们根据题意自己构造了下面这个四边形，哪一组对边是命题里说的那一组？你知道吗？难道能随便选择一组对边就可以？师：看来上一组同学的问题（找不到已知条件）已经解决了。对于这一同学的问题那些同学可以发表一下自己的见解？ 小组生：我们也不确定师：那好，每一组同学分成两部分，一部分选择，为“平行且相等的对边”另一组同学选择，为“平行且相等的对边”看看我们能

13、不能完成对 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形这个命题的证明。生：我们选择“，为“平行且相等的对边”这样命题 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形就变成了“四边形中，/且，求证四边形是平行四边形” 证明：连接/CD ABD=CDB又，/四边形是平行四边形。生：老师他们的这个题目连接也可以用同样的方法证明。师：很好，我们不仅解决了这个问题，同学们的思路也很开阔，能从不同的角度对这个问题加以验证。那选择“选择，为“平行且相等的对边”的同学得到结论了吗？生：我们选择“，为“平行且相等的对边” 这样命题 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形就变成了“四边形中，/且，求证是平行四边形”证明：连接

14、/ BDDB又，/四边形是平行四边形。我们也可以连接再证明。环节：中途小结、强化思路内容:师：大家看我们构造了两种符合题意的图像，并且用不同的方式进行了验证，我们却最终同样验证了结论四边形的正确性。其实也就是说生：只要我们构造的图像符合命题的原本意思就可以。师：非常好。通过我们共同的交流合作已经比较好地解决了自己提出的问题，现在我们来试着总结一下我们的探索过程遇到新问题：（命题的证明）同学们根据自己已有的知识建构探索求解策略或提出解决问题时遇到的难以解决的问题（寻找已知求证、如何构造图象）我们合作交流各个击破每一个小问题使新问题得到解决师：哪位同学试着总结一下对于命题的证明其主要的过程应该是怎

15、样的？生：我们要根据命题构造出符合其真实意思的图像，写出明确的已知、求证然后再去寻求解决问题的具体方法。师：既然大家已经通过自己的探索找到了证明一个命题的基本思路，下面我们来证明 两组对边分别相等的四边形是平行四边形生：由前面的证明我们可以很简单的得到证明的过程：首先画出符合题意的图像，写出已知求证。已知：四边形中，求证：四边形是平行四边形证明：连接，又/，/四边形是平行四边形。同理我们也可以连接来证明。师：这位同学对于基本的证明命题的思路已经掌握得比较好。那还有没有不同的思路？生：老师既然刚才我们已经证明了 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形所以只要将刚才的思路稍加改动就可以得到另外一种

16、思路证明：连接，又/四边形是平行四边形。师：很好，这种思路同时透露出一个重要的信息。这里有必要再次回顾一下我们的公理体系：这些都可以作为我们证明的依据，但当一个命题的正确性一旦被验证我们称之为定理。可以直接成为我们证明一个新命题的依据。（如上一同学的方法）目的：使学生养成良好的从思考中掌握方法、提出猜想、大胆突破的好的数学品质。环节：应用、深化认识 内容：师：下面我们来处理一些具体问题 已知:如图求证:四边形MNOP是平行四边形 生展示其证明过程： 证明:222(x-3）（x5）=4x=8 MN=5=PO PM=3=ON四边形MNOP是平行四边形. 师：还有不同的思路吗？ 生展示其证明过程：

17、证明：(x-3）2（x5）2=42 x=8PM=11-8=3 PM+MO=PO PMO=90 PM/ON且ON=8-5=3四边形MNOP是平行四边形.生分析证明过程：我们还可以在得知以后，证明，从而得到内错角相等，利用两组对边分别平行得证。目的：巩固本节课的基本知识点、在探索过程中所渗透的基本的数学方法、数学品质，期待其思维能受到一定的冲击、有所突破。 环节5：课堂总结 内容：师：刚才大家的分析都非常好。下面我们总结一下本节课 生：学习了命题证明的方法。生：解决新问题可以把它分解为几个简单的小问题 生：互相合作可以解决个人解决不了的问题生：老师还有几个问题我希望课后我们能有时间我们再交换一下意

18、见。 目的：培养学生及时总结、回顾的品质，以及从回顾中找到自己学习中还存在的不足、问题的求实的作风。 四、教学反思222第三章 证明（三）1平行四边形（三）开阳四中 杨昌龙一、教学目标1. 知识与技能：能运用综合法证明有关定理的结论。2. 过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。3. 情感态度与价值观：理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。二、教学重点和难点1、重点：掌握和运用三角形中位线定理。2、难点：三角形中位线定理的证明。三、教学过程第一环节：创设情境活动内容：提出问题：如图：A、B两地被池塘隔开，现要测量出AB两地的距离，给你的工具只有皮尺，你能

19、想办法测量出来吗？小明是这样做的：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，再测出MN的长，由此他就知道了AB间的距离。你知道他是怎么算的吗？你能设法验证吗活动目的：根据我校学生的学习基础和实际学习水平，我认为教材中 B 创设的问题情境难度较大，学生不容易突破，可能会在此耽误时间，影响了后面定理的探索。因此我设置了这个问题情境，一方面贴近学生的生活，帮助学生复习串连了旧知识，另一方面通过对所提问题的思考和解决，自然而然地引出三角形中位线的概念，过渡到本节课的学习内容上。通过活动，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。由于学生在前面已经学习过利用三角形全等测距离，所以这道题学生不难解

20、决，这样既复习了旧知识，同时也给学生提供了不同的解决问题方案。活动，通过对所提问题的思考和解决，引出三角形中位线的概念，指向本节课的学习内容。第二环节：提出问题活动内容：教师指出上题中的线段MN叫做ABC的中位线，请同学们尝试定义什么叫做三角形的中位线？并在练习本上画出ABC的一条中位线DE；学生思考：三角形有几条中位线？三角形的中位线与中线有什么区别？猜想三角形的中位线与第三边有怎样的关系？。活动目的：活动承接上面的问题自然引出，通过学生尝试定义，动手画图促使学生理解掌握三角形的中位线概念。活动的目的既为后面的练习埋下伏笔，又对学生进行学法指导，引导学生通过抓住概念间的区别和联系来掌握概念。

21、活动将问题直接指向本节课的研究重点三角形中位线定理的探索与证明。第三环节：猜想结论活动内容：学生基于个人不同的学习水平和学习能力，通过不同的方法给出猜想活动目的：问题的提出激发了学生的探索热情，由于学生的学习水平和学习能力不同，教师放手给学生后，学生的方法各异，教师通过巡视，掌握信息，给予指导。第四环节：验证明确结论活动内容：引导学生把刚才的猜想转化成数学符号语言，写出已知、求证。学生小组合作尝试证明，教师巡视指导，给予适当引导、启发（教师可以通过这些问题启发学生：问题1证明直线平行的方法有哪些？启发学生联想由角的相等或互补得出平行、由平行四边形得出平行等。问题2证明线段的倍分的方法有那些？启

22、发学生将较长的线段分割，或将较短的线段补长）。学习小组间互相交流不同的证明方法，彼此开拓思路，同时选取最优方法，个人独立写出证明过程。 明确结论，教师板书三角形中位线定理活动目的：这一环节采用小组合作学习方式，由于这个结论的证明思路和方法对学生来说有一定的难度，学生通过合作学习，彼此互相启发，共同研究，能够自己解决这一问题。对于学生思考未果的小组，教师可以通过上面的问题引导启发学生找到证明思路。通过小组间的交流，能让学生了解不同的证明方法，开阔思路，在听取他人意见的同时，优化自己的证明方法。这些方法充分发挥了学生主动学习、合作学习和探究性学习的功能，培养了学生探究问题的能力。在教师的适当点播下

23、，学生思维活跃，得到多种证明方法。大致总结出2种方法。 附：学生的证明方法已知：如图，DE是ABC的 中位线求证：DEBC，DE12 BCB 证法一：延长DE至F，使EFDE，连接CFAECE，AEDCEF，ADECFEADCF，ADEFBDCFADBDBDCF四边形BCFD是平行四边形DFBC，DFBCDEBC，DE12 B BC证法二：过C点作CFAB交DE的延长线于F CFABADEFAEDCEF，AEECADECFEADCFADBDBDCF四边形BCFD是平行四边形DFBC，DFBCDEBC，DE12 B BC第五环节：运用巩固活动内容：已知三角形三边长分别为6，8，10，顺次连结各边

24、中点所得的三角形周长是多少？如果ABC的三边的长分别为a、b、c，那么DGE的周长是多少？你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?任意做一个四边形,并将其四边的中点依次连接起来,得到一个新的四边形.这个新四边形的形状有什么特征?请证明你的结论 9问题变式：四边形ABCD是平行四边形时, 四边形EFGH是什么特殊图形四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是什么特殊图形四边形ABCD是菱形时，四边形EFGH是什么特殊图形活动目的：对三角形中位线定理进行巩固，同时灵活应用三角形中位线定理解决其他问题。第六环节：课堂小结活动内容：师生互相交流总结本节课学习的知识。活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方

25、面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。第七环节：布置作业四、教学反思第三章 证明（三）特殊平行四边形（一）开阳四中 杨昌龙一、教学目标1. 知识与技能：能运用综合法证明矩形性质定理和判定定理。2. 过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。3. 情感态度与价值观：体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。二、教学重点和难点1、重点：掌握矩形的性质和判定以及证明方法。2、难点：运用综合法证明矩形性质和判定。三、教学过程第一环节：课前准备活动内容：办一期数学手抄报（本章开始时布置）可以以分组或者独立

26、完成的形式，以平行四边形和特殊平行四边形的相关知识为主要内容办一期数学手抄报。（1） 手抄报中必须要包含平行四边形与矩形、菱形、正方形的关系图，对相关的性质和判定定理的总结。（2） 对平行四边形的题目中经常用到的数学思想方法进行简单的归纳。（3） 要有典型例题的讲解归纳。活动目的：通过这个活动，首先是学生能够主动地对平行四边形的相关知识有一个系统的认知，让学生以一种比较有趣的形式对这部分知识进行自主的复习和预习，激发学生对本节知识的学习兴趣。同时，对平行四边形进行归纳，可以使学生清楚地认识到平行四边形与特殊平行四边形之间的关系，为后面连续几节研究特殊的平行四边形提供有力的支持。此外，这个活动，

27、也可以激发学生的积极性和主动性。 第二环节：课题引入，对比思考活动内容：将选出的比较好的手抄报进行实物投影，请学生对自己设计的关系图进行说明并把自己选 10的典型例题进行简单讲解。再请学生对比前面所学的平行四边形的性质和判定定理的证明过程，来思考如何证明矩形的性质和判定定理。然后通过小组合作，将定理的证明严格的完成，最后通过实物投影的形式，各小组之间进行交流。对比前一节学习的平行四边形性质定理，引导学生对矩形独有的性质定理进行证明：定理1 矩形的四个角都是直角；定理2 矩形的对角线相等；定理3 有三个角是直角的四边形是矩形；定理4 两条对角线相等的平行四边形是矩形。（1） 学生独立画出图形，在

28、教师引导下写出已知、求证；（2） 对比平行四边形性质定理的证明，对已知、求证进行分析；（3） 请学生交流大体思路；（4） 用规范的数学语言写出证明过程；（5） 同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。活动目的：矩形的性质学生已经非常熟悉，但还未经过严格的证明，这里的证明首先可以让学生对这两条矩形的性质和判定有更深刻的认知，同时，通过教师引导和独立思考，培养遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。第三环节：教师引导，独立证明活动内容：1通过学生对

29、议一议的讨论，在教师的引导下，得到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个结论，并证明；2 教师给出书中例一，学生进行分析，并解决这个问题，然后互相交流解法。活动目的：运用刚刚证明的两个性质解决问题，进一步发展学生的推理能力，同时，通过对“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明，让学生体会转化的数学思想。在活动2的证明中，通过让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力。第四环节：实际应用，练习提高活动内容：在本环节中，教师给出一个实际问题：一位工人师傅在检查一个

30、矩形门框时，手上只有一把刻度尺，他怎样才能判断一个四边形是个矩形？请说明如何操作，并画图写出证明过程。如果允许换工具，你还有其他方法吗？活动目的：通过这个实际问题，首先考查了学生对矩形判定定理的运用，也是对本节课效果的一个考察，题目最后允许学生更换工具，可以让学生进行发散思维，使学生可以更加灵活地运用本节课的知识，满足学生个性化学习的需要，使学生的知识得到巩固和运用。同时，还可以让学生再次了解到数学在现实生活中的重要作用。第五环节：课堂小节，回顾思考活动内容：学生互相交流矩形的性质与判定定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理，矩形与平行四边形的关系，遇到矩形实际题目时如何分析思路，以及遇到

31、困难时如何克服等。活动目的：鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力，并且对于研究科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识。第六环节：作业布置作业布置不能一概而论，对于不同层次的学生，要注意提出不同的要求。课后习题3.4的要求较低，要求学生都能独立完成，对于有能力的同学，可以提出更高的要求，如：试用多种方法证明“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”等。同时，对于数学学习存在困难的学生，应该要求他们在课后，把课堂上讲过的题目进行再整理，加深印象。四、教学反思第三章 证明（三）特殊平行四边形（二）开阳四中杨昌龙一、教

32、学目标1. 知识与技能：能运用综合法证明菱形的性质定理和判定定理。2. 过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。3. 情感态度与价值观：体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。二、教学重点和难点1、重点：掌握菱形的性质和判定以及证明方法。2、难点：运用综合法证明菱形性质和判定。三、教学过程（一）设置问题情境，引入新课我们曾在前面探讨过另一种特殊的平行四边形-菱形，大家还记得它吗？我们来共同回忆一下。1、菱形的定义2、菱形的性质3、菱形的判别方法师：菱形的这些性质和判别方法我们是怎样得到的?那么你能用几何推理过程来证明它们吗？这节课我们就来证明菱形的性质和

33、判别方法。设计意图：（1）以问题串的形式引入新课，让学生明确本节课所要解决的问题。（2）让学生回忆菱形性质和判定的探索过程及其得出的结论，目的是启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辨证关系。（二）探究新知师：同学们自己推证菱形性质，行吗？说明：小组内交流，中心发言人回答，及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。 学生A：平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分而菱形是特殊的平行四边形，所以菱形也具有平行四边形具有的一切性质。学生B：菱形是一组邻边相等的平行四边形，所以根据平行四边形对边相等可以获得菱形的四条边都相等。学生

34、C：因为菱形的两条对角线将菱形分割成了四个全等的三角形，所以我们可以得到菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。师：谁能说出B、C两个同学所说的菱形性质的已知，求证呢？学生D：已知：如图，四边形ABCD是菱形，AB=BC求证：AB=BC=CD=AD证明：四边形ABCD是菱形AD=BC，AB=CD又AB=BC B D AB=BC=CD=AD学生E：已知：如图，菱形ABCD的对角线相交于O点求证：ACBD，AC平分BAD和BCD，BD平分ABC和ADC证明：四边形ABCD是菱形AB=AD，OB=ODACBD，AC平分BADB A D（等腰三角形的三线合一）同理得：AC平分BCDBD平分

35、ABC和ADC设计意图：首先引导学生类比平行四边形的性质感知菱形性质的特殊性，符合学生的认知规律。其次整个过程重新回顾了命题证明需经历的步骤，为进一步发展学生的推理论证能力奠定了基础。再次整个过程采用合作学习的策略，鼓励学生多层面、多角度地思考菱形性质的论证过程，目的在于加深学生对性质本身的理解和掌握，同时也丰富了交流的内容，激发了交流的气氛，使新旧知识融会贯通，达到同学间的沟通、互补、共同提高的目的。（三）归纳应用1、菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的一切性质（1）菱形的四条边都相等。（2）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角师：接下来我们来看一个例题以熟悉巩固菱形的性质。2

36、、利用性质解决问题例2 如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.通过以上已知条件你能获得哪些结论？若将菱形ABCD的边长改为10cm.你又能获得那些结论？并说明你的理由。 D C3、方法总结：学生F：菱形的每一条对角线可以把菱形分成两个全等的三角形，菱形的两条对角线可以把菱形分成四个全等的直角三角形，因此关于菱形问题往往可以转化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决。学生G：如果菱形的两条对角线长分别为a、b则菱形面积为ab4、试一试：（1）已知：菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点且BE=DF。求证：(1)ABEADF（2）连接AC你能确定AC与EF的关系

37、吗？（）已知菱形的对角线长分别为6、8，则周长为20 面积为245样定义的？正方形具有哪些性质？你能证明他们吗？师：同学们归纳、论述的很好，但不知在具体的问题情景中大家是否会用，不妨试一试！ 6、例3如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE=AC，连结AE，交CD于F，你能求出AFC的度数吗？解：正方形ABCDBAD=90°1BAD= ×90°=45° 1D=90°， AD2ADBCDAE=ECE=ACCAE=E1×45°=22.5° DAE=2AFC=DAE+D=22.5°+90°

38、=112.5° D 2C E练一练：若AC=4正方形面积 8 22（四）探究新知内容：问题引入：请大家将课前准备的菱形拿出，以小组为单位用自己手中的工具：直尺、三角板或圆规迅速检查一下你们小组成员所做的四边形是不是菱形，你是怎样检查的？你为什么要这样做？用你的检查方法判断你们小组有几个人做得不标准？ 13你还记得怎样判别一个平行四边形是菱形吗?那么满足什么条件的四边形是菱形?你能证明吗？归纳要点：菱形的判别方法：1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3、四条边都相等的四边形是菱形。说明：利用课件将学生能想到的判别方法作了总结，除定义外，

39、其他的判别方法要求学生：选择其中一个画图，写已知、求证，并思考证明过程，老师巡视指导，然后小组间交流，中心发言人回答，通过引导学生反思本题是否还有其他解法，比较哪种解法较为简捷，进一步拓宽学生的解题思路，培养思维的灵活性。学生H: ABCD中,对角线AC BD于O点。A 求证是菱形 证明： AO=CO 又AC BDAB=BC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等） ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）学生I：已知: 在四边形 ABCD中,AB=BC=CD=AD A 求证: 四边形 ABCD是菱形 证明：AB=CD，BC=AD ABCD是平行四边形 又AB=BC （五）应用

40、BDCD1、求证：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 2、已知两条对角线，怎样用尺规作一个菱形3、拓展延伸：已知ABC中ABAC，M为底边BC上任意一点，过M点做AC，AB的平行线交AC于P，交AB于点Q。则M位于BC什么位置时，四边形AQMP为菱形，并说明理由。4、想一想：师：你手中的正方形是怎样制作的？除了利用定义我们可以判断正方形外，你还有哪些方法？你能证明它们吗？说明：小组内交流，教师关注各小组中每个学生参与的积极性及小组内的合作交流情况，对于正方形的判别，大多数学生习惯于合情推理的论述方式，教师要重视学生语言表述的条理性及严谨性。另外教师利用课件及时总结，让学生学以致用。（六

41、）感悟与收获：师：通过本节课你学习到了哪些知识？对你有什么帮助？（师可以从以下几个方面进行提示：整节课的感悟；探索总结的规律；某个知识点的困惑；你的新发现；学到的数学思想方法。） （七）布置作业必做题：书P96第6、7题；选做题：P90第3题，P94第2题。 五、教学反思第三章 证明（三）特殊平行四边形（三）开阳四中 杨昌龙一、教学目标1. 知识与技能：再次经历“探索发现猜想证明”的过程，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用学过的各种特殊四边形的识别及性质对中点四边形进行识别，并能对自己的猜测进行证明，进一步发展学生推理论证的能力。使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用

42、。2. 过程与方法：通过平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、任意四边形等凸四边形的中点四边形的探求过程，以及引申至凹四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法等，培养积极探索、勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力。3. 情感态度与价值观：通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力，并使学生发现数学中蕴涵的美，激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣。二、教学重点和难点1、重点：掌握正方形的性质和判定以及证明方法。2、难点：运用综合法证明。三、教学过程第一环

43、节：问题引入活动内容： F F C C 图3-6-1D D 问题：1.如图，在ABC中，EF为ABC的中位线，若BEF=30，则A= .若EF=8cm, 则AC= .2.在AC的下方找一点D,做CD和AD的中点G、H,问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？3.四边形EFGH的形状有什么特征？活动目的：通过问题串，复习三角形中位线性质定理，探索新命题“依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形”。第二环节：猜想结论活动内容：问题：如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？活动目的：在一个开放的情景中，引导学生体会由一般到特殊的归纳思想方法、类比的思想方法、

44、转化的思想方法，同时培养学生的积极探索、勇于创新的精神。思考：四边形ABCD可以为哪些特殊的四边形？”学生的回答多种多样，原四边形可以为平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，甚至还有学生回答为梯形和直角梯形。于是老师请学生选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，从而顺利进入下一环节。此环节的设置引发了学生对特殊四边形的中点四边形的思考，学生们畅所欲言，互相补充完善，气氛 15 °热烈，进一步发展了学生合作交流的能力和数学表达能力，同时也是对之前所学的特殊四边形进行回顾。老师在这一环节中，对学生的回答给予充分的肯定和鼓励，再一次增强了学生学习数学的自信心。 第三环节：分组探究

45、，验证结论活动内容1：学生以数学小组的形式，在众多的特殊四边形（平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形和直角梯形）中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性。 活动目的：由学生非常熟悉的、常见的特殊四边形得到结论，为后面的知识形成作好铺垫，并把学习的主动权让给学生，目的在于激发学生的学习兴趣，使学生真正成为学习的主人；同时让学生再一次体会由一般到特殊的归纳思想、类比、转化的思想方法，进一步提高学生的合作交流和数学表达能力。图3-6-4 图3-6-5 图3-6-6 图3-6-7 H A A D D GG E EB C B F F得出结论：平行四边形的中点四边形是平

46、行四边形；C矩形的中点四边形是菱形； 菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形是正方形； 等腰梯形的中点四边形是菱形；直角梯形的中点四边形是平行四边形；梯形的中点四边形是平行四边形。在这一环节中，老师走入学生中适时地进行指导，引导学生进行归纳总结，提高学生的概括能力。对学习能力较弱的学生进行个别指导，对学习能力较强的学生鼓励他们研究第2个甚至更多个图形，使以上7个图形的结论能够顺利得出，并对学生的回答给予充分的肯定和鼓励。学生们展示完自己的结论后，老师利用几何画板进行演示，让学生们观察中点四边形的边和角的变化情况，体会图形运动变化的过程，验证同学们归纳的结论的正确性，给予学生直观的感受。 活

47、动内容2：问题：1.矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形？2.平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？3.你是从什么角度考虑的？ 4.你从哪儿得到的启发？5.你能用你的发现解释其它的图形变化吗？例如：原四边形为菱形，其中点四边形为矩形？活动目的：以问题串的形式引导学生逐步深入思考，前2个问题的设置帮助学生回忆特殊四边形的性质与判定定理，第3、4个问题帮助学生揭示变化的原因：矩形和等腰梯形的对角线有相同的性质“对角线相等”，而且其它中点四边形的变换也和原四边形的对角线有关系。有了前4问的铺设，第5个问题可以通过类比的思想解决；同时让学生体会由一般到特殊再到一般的归纳思想方法，进一步提高学生的数学表达能力。概括出规律：决定中点四边形EFGH的