非特殊角的三角函数式求值的解法

1、非特殊角的三角函数式求值的解法 摘 要：三角函数的求值问题是三角变换中的一个重要内容，也是历年高考和高中数学联赛考查的重点内容，其中非特殊角的三角函数式的求值更是屡见不鲜，除了灵活运用三角函数公式进行变换外，还需要了解一些常用的解法和技巧，从而提高解题的效果。 关键词：三角函数式 非特殊角 解法 中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2014）06-0214-01 三角函数是高中数学的重要组成部分，其中三角函数的求值问题是三角变换中的一个重要内容，主要有三种类型，即非特殊角的三角函数式求值、未知角的三角函数式求值、解三角形求值，解决这类问题，需要熟练掌握三角函数的

2、公式及其变形，同时还需要运用一定的方法和技巧，才能迅速、准确的化简求值。本文主要例析几道题的解法，来体会非特殊角的三角函数式求值的常用策略。 一、消 如果三角函数式为整式，通过认真分析题设条件，利用三角函数公式进行变换，尽量减少角的种类，往往可“消”去非特殊角的三角函数。 例1.（2006江苏） _ 解析：原式 二、约 如果三角函数式为分式，或者通过“切割化弦”化为分式，通过分析题设条件，挖掘非特殊角和某特殊角的联系，向特殊角转化，然后通过三角函数公式进行变换后，分式上下可以“约”去公因式。 例2.（2013重庆理） （ ） A. B. C. D. 解析：原式 三、配 如果三角函数式的外形和三

3、角函数公式比较“相似”，则可以通过分析式子的结构，将部分非特殊角的三角函数式“配”成公式，再进行化简。对所学的三角函数公式，我们不仅要会正用，还要会逆用和变形使用。 例3.求 的值。 解析： ， 原式 四、降次 如果遇到高次的非特殊角的三角函数式的求值问题，先认真分析式子的结构，再用： ， ， ， 等降次公式进行化简。 例4.求 的值。 解析：原式 五、构造互余对偶式 在非特殊角的三角函数式的求值中，若能运用对偶的数学思想，恰当的构造出互余对偶式，并将其与原式进行和、差或积的运算，往往能巧妙地化简。这样不仅能提高解题速度，开阔学生的视野，激发学生的学习数学的兴趣，还能从中感受到数学中的对称美。

4、 例5.求 的值。 解析：设 ，构造互余对偶式 所以 又因为 ，故 ， 。 即 。 六、构造三角形 数学是研究空间形式和数量关系的科学，“数”与“形”以及它们的联系和相互转化是数学研究永恒的主题。数形结合是中学数学中重要的思想方法之一，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。著名数学大师华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休”，这句话也足以说明其绝妙之处。通过构造三角形，从“数”与“形”两方面对三角函数问题进行研究，既充分发挥形的直观性，又充分体现数的严谨性，是优化解题过程的重要途径之一。 例6.（2013重庆理） （ ） A. B. C. D. 解析：如图1，构造直角三角形ABC，使 ， ， ， ，则 。 在的延长线上取一点D，使 ，则 ， ， 。在三角形 中，由正弦定理得： 非特殊角的三角函数式的求值，需要熟悉三角函数同角的基本关系式、倍角公式、两角和、差公式、辅助角公式等基本公式的基础上，巧妙地利用转化、对偶、数形结合等常用的数学思想，加上一些适当的解题技巧