第09讲各向同性弹性体

1、4.4各向同性弹性体学习思路：各向同性弹性体，就物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相 同，即物理性质的完全对称。该物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间 的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。对于各向同性材料，材料性质不仅与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任 意变换方位也无关。根据这一原则，可以确定具有2个独立弹性常数的本构关系。各向同性材料的本构关系可以通过拉梅（Lam）弹性常数 4 表示；也可以通过工程弹性常数E, n, G表示。各弹性常数可由实验的方法测定。学习要点：1.各向同性弹性体；2.各向同性弹性体的应力和应变关系；3.应变表示的本构关系；4.弹性常数与应力表示的本

2、构关系。各向同性弹性体，就其物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同。 这一物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐 标系中都一样。本节将从正交各向异性材料的应力应变公式出发，建立各向同性弹性体 的应力和应变关系。对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关, 任意一个平面都是弹性对称面。因此Cl1=C22=C33,Cl2=C23=C31,C44=C55=C66于是其应力应变关系简化为其独立的弹性常数仅为Cl1，C12和C44但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标 轴的任意其中,总=耳十勺十寻变换方位也无关。为了简化分析，将坐

3、标系沿z轴旋转任一角度。新 旧坐标系之间的关系如下所示：Xy1zX|1=COSmi= sin ni= 0yb=-sin m2= cos n2=0zl3=0m3=0n3=1根据应力分量转轴公式，可得=（r?-cyjsin2 + cos2根据应变分量转轴公式5* 二（亏耳）晶2卩 +cos2将以上两式代入 应力应变关系公式的第四式L11 ,则cos2p = q斗（為-）sin2+ cos2因为住厂G馮，所以=孔）。根据应力应变表达式，可得J- H-1一丄： 1O比较上述两个公式，可得，2C44= Cl1-Cl2o所以各向同性弹性体的弹性 常数只有两个。其应力和应变关系为二込+ q店二c詔4-気比

4、二c吃+Ci?码=G卫 +（ctl-=気耳+ q迅+ Cn% =CJ+ （Cn-各专-务）打弓G】-尙）八为了使得各向同性材料的本构关系公式表达简洁，令匕12=兄， 13=2产则同性材料的本构关系公式可以简化为二久召+2“弓， %或写作张量表达式上述公式即为各向同性弹性材料的广义胡克（Hooke）定理，人，4 称为 拉梅（Lame）弹性常数。如果将坐标轴选取的与弹性体内某点的应力主方向重合，则对应的切应 力分量均应为零。根据各向同性材料的本构关系的后三式可见， 此时所有的切应 变分量也为零。根据上述分析，对于各向同性弹性体内的任一点，应力主方向和应变主方向是一致的。 因此这三个坐标轴，即应力主

5、轴同时又是应变主轴方向，对于 各向同性弹性体，应力主方向和应变主方向二者是重合的。设体积应力为;”J1,将拉梅公式的前三式相加，可得 = （3Z + 2上式称为体积应变的胡克定理。如果各向同性材料的本构关系用应力表示，一般用工程弹性常数 有S二*込,-心 + 耳）二*（1 +卩）碍-v&iL1L碍-心+碍）二秒Q +叽-呵也也E，-, G表示胡克定律,心J込）VlQ+叽一嗣其中,总=耳十勺十寻这里E为弹性模量，又称为 杨氏模量；G为切变弹性模量；v为横向变 形系数，简称泊松比。工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为，/z(32 + 2/1)2E = -fv- -, G-uA + /J2

6、(Z +门)由于各向同性弹性体仅有两个独立的弹性常数，因此2(1 + v)各个弹性常数可由实验的方法测定，通常应用材料的单向拉伸实验可以测出弹性模量E，利用薄壁管的扭转实验可以测定剪切弹性模量G。其余的弹性常数可以通过上述公式计算得到。4.5各向同性弹性体的应变能学习思路：本节介绍各向同性材料的应变能函数表达形式。如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，则应变能函数可以 通过应力分量或者应变分量表示。将本构关系表达式代入应变能函数公式，则可以写出应变分量或者应力分量表达的应变能函数。由于泊松比恒小于1所以应变能函数是恒大于零的。这就是说，单位体积的 应变能总是正的。学习要点：1.各向同性

7、弹性体应变能。弹性体单位体积的应变能的表达式已经作过讨论。如果材料为各向同性材料，本 构关系满足线性条件，则应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。G根据应变能函数表达式，% =扌 9 店2 启+ 咲十办 + 口入)对于各向同性弹性体，可以使用应力分量或应变分量表达单位体积的应变能6=屈+2卩耳,紳=“打bj二兄0 + 2弓，%将本构关系表达式代入上式，则可以写作应变分量表达的应变能函数5 =亍（2 + 2#）（左/ + 弓2 4-）+#（”+氐卉+ 玉占）+ 彳&: + 厂；+卩7）乙二音耳-“（弓十碍）二2心3）6-v&碍=云巧一也 十碍）】=云【Q *讨）弓v&s 二 m 耳-二+（13）碍-v&a