第2章随机变量及其分布

1、1上次课：条件概率 P (B|A )=匕阻P(A)乘法定理 P (AB ) = P (B | A ) P (A)全概率公式 P(A)=P(A|Bi)P(BJ+P(A|B2)P(B2)+ +P(A|Bn)P(Bn)i BiBj = j,i,j =1,2, ,nii B,B2,Bn二S贝叶斯公式 P (Bi| A ) =nP(A |Bi)P(Bi), i=1,2，,n送P(A|BjP(Bj )相互独立 P (AB ) =P (A) P (B)例：当机器调整得良好时，产品的合格率为 98%，而当机器发生 某种故障时，其合格率为 55%。每天早上机器开动时，机器调整良好 的概率为95%。试求已知某日早

2、上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？解：设 A 为事件“产品合格”，B 为事件“机器调整良好”，由贝叶斯公式：P(B|A)=P A|B P BP A| B P B P A| B P B二0.98 9950.98 0.95 0.55 0.05= 0.97划分2例：根据以往临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：A表示事件“试验反应为阳性”，C 表示事件“被诊断者患有癌症”。P(A|C)=0.95，PA |C =0.95。现在对人群进行普查，设被试验的人 患有癌症的概率为 0.005，即P(C)=0.005，试求 P(C|A)。解：由贝叶斯公式PC|APA|CPC-P(A|C

3、p(C )+P(A|C P(C )_0.95 7.005-0.95 0.0050.05 0.995= 0.087其中：P A |C =1-PA|C =0.05。例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为 p , p 1/2 , 问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利，设各 局胜负相互独立。解：采用三局二胜制，甲最终获胜。其胜局的情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”，而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲 最终获胜的概率为：Pi=P(甲甲)+ P(乙甲甲)+ P(甲乙甲)=P2+P2(1 -P)+ P2(1-P)=P2+2P2(1-P)采用五局三胜制，甲最终获胜。3设 B

4、 =“甲胜”Bi= “前 3 局甲胜” ,B2= “前 3 局甲胜 2 局，乙胜 1 局，第 4局甲胜”Bs= “第 4 局中甲、乙各胜 2 局，第 5 局甲胜” 则 Bi, B2, B3互不相容，且B=B1UB2UB3P(BJ=P3P(B2)=3P21-P P2P(B3)=4P2I-P P2而P(B) Pi= P2( 6P315P2+12P-3)=3P2(P-1)2(2P-1 )当 P-时，P ( B) Pi;当 P=-时，P (B) = Pi= -2丿1 72丿124第一章小结随机试验，样本空间，随机事件，事件间的关系与事件的运算。事件发生的频率，稳定性，概率。古典概型，P( A)=k/n

5、。条件概率：P(B|A)=空扌，P(A)乘法公式P(AB)=P(B|A ) P(A)全概率公式，贝叶斯公式。事件的独立性。重要术语及主题：随机试验样本空间随机事件基本事件频率概率古典 概型乘法公式加法公式排列组合 A 的对立事件A及其概率 两个互不相容事件的和事件的概率概率的加法定理 条件概率 概率的乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 事件的独立性。85第二章随机变量及其分布1 随机变量普通实函数：y = f(x)随机变量：为了研究随机现象的统计规律性，将随机试验的结果数量化。随机试验的结果大部分是可以数量化的。随机变量的定义：设随机试验样本空间为 S=e，X=X(e)是定 义在样本空间 S 上

6、的实值单值函数，称 X=X(e)为随机变量。例 1 :将一枚硬币抛掷 3 次。出现 H 的总次数，而对 H,T 出现的顺序不关心。以 X 记三次投掷中出现 H 的总次数样本点HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX 的值32221110例如 X 取值为 2，记成X=2，对应于样本点的集合 A=HHT,HTH,THH，这是一个事件，当且仅当事件A 发生时有X=2，称概率 P(A)=PHHT,HTH,THH 为X=2的概率，即 PX=2=P(A)=3/8。以后，还将事件 A=HHT,HTH,THH 说成是事件X=2。类似地 有：PX 0 , k=1,2 ；QQ(2)Pk=1k生由于X=X

7、iUX=X2U是必然事件，且X=XjQX=Xk=0,QQQQOQk丰j，故 1=PX=xk八PX = xk,即Pk=1k1k 4kJ：8称（2.1 ）式为离散型随机变量 X 的分布律。分布律也可以用 表格的形式来表示。XX1X2XnPkP1P2Pn表格形式直观地表示了随机变量 X 取各个值的概率的规律。X 取各个值各占一些概率，这些概率合起来是1。可以想象成：概率 1 以一定的规律分布在各个可能值上例 1:设一汽车在开往目的地的道路上需经过 四组信号灯，每组 信号灯以1/2 的概率允许或禁止汽车通过。 以 X 表示汽车首次停下 时，它已通过的信号灯的组数 （设各组信号灯的工作是 相互独立的），

8、 求 X 的分布律。解：以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 1-p 为每盏 信号灯允许汽车通过的概率，设 Aj=在第 i 盏灯前禁止汽车通过 i=1,2,3,4,贝 VX=0 ?=P（A1）=pPX=1 ?=P（入 A2）=P（入）P（A2）=（1 -p）p9P f X=2 ?=P(A AAs)=P(A)P(A)P(As)=(仁p)2pP* X=3 P(A A人人4)=(1 - p)3pP fX=4 匸P(入A; A3A)=(i一p)4概括为下表:X01234Pkp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4或写成：PX=k=(1-p)kp, k=0,1,2,3,PX=4=(

9、1 -P)4以 P=1/2 代入得：X01234Pk0.50.250.1250.06250.0625三种重要的离散型随机变量及其分布律。(一) (0 1)分布定义：设随机变量 X 只可能取 0 与 1 两个值，它的分布律是:PX=k=pk(1-p)1-k，k=0,1(0P1)，则称 X 服从(0 1)分布或两点分布。(0 1 )分布的分布律也可写成：X0110Pk1-pp对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即S=ei,e2，贝V总能在 S 上定义一个服从（0 1 ）分布的随机变量：；、0,当e = eX=X（e）=1,当e = e2来描述这个随机试验的结果。例如，新生婴儿的性别、

10、产品是否合格、电力消耗是否超过负荷、“抛硬币”试验等都可以用（0 1 ）分布的随机变量来描述。例：设 100 件产品，其中有 95 件合格品，5 件次品。现从中任取 一件，设随机变量 X 为: 0,取得次品X=1,取得正品式求 X 的概率分布（分布律）。解：P X =050.05100P：X=1950.95100X 服从（0 1 ）分布。（二）伯努利试验、二项分布11伯努利试验定义：设试验 E 只有两个可能结果：A 及入，则称 E 为伯努利(Bernoulli )试验。设 P( A)=P(0vp1)，则 P(A)=1 -p。将 E 独立重复 地进行 n次，则称这一串重复的独立试验为n 重伯努利

11、试验。例如：E 是抛一枚硬币观察得到正面或反面，A 表示得正面，这是一个伯努利试验，如将硬币抛n 次，就是 n 重伯努利试验，又如抛一颗骰子，若 A 表示得到“ 1 点” A 表示得到“非 1 点” 将骰子抛 n 次，也是 n 重伯努利试验，再如在袋中装有 a 只白球，b 只黑球，试验 E 是在袋中任取一只球，观察其颜色，以 A 表示“取到白球”，P(A)=a/(a+b)，若连续取 球 n 次作放回抽样，这就是 n 重伯努利试验。然而，若作不放回抽样， 虽每次试验都有P(A)=a/(a+b)，但各次试验不再相互独立，因而不再 是 n 重伯努利试验了。提问：以 X 表示 n 重伯努利试验中事件

12、A 发生的次数，X 是一个 随机变量，求它的分布律。分析：X 所有可能取的值为 0,1,2,n。由于各次试验是相互独 立的，因此事件 A 在 k(0 0 , k=0,1,2,n ;n门 fn、Z PX=k=pkqn =(P+ q y =1k=gkzg(k丿注意到 flkqn刚好是二项式(p+q)n的展开式中出现 pk的那一项。&丿二项分布的定义：如果随机变量 X 取值为 0，1，2，,n 的概 率为PX=k=nPkqn-k,k=0,1,2,n(k丿则称随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布，记为 Xb(n,p)。特别，当 n = 1 时二项分布化为：PX=k=pkq1-k,k=0

13、 , 1。这就是(0 1)分布。例 2 :按规定，某电子元件的寿命超过1500 小时的为一级品，已知某一大批产品的一级品率为0.2 ,现在从中随机地抽查 20 只，问20 只元件中恰有 k 只(k=0,1，,20 )为一级品的概率是多少？解：这是不放回抽样，但由于这批元件的总数很大，且抽查的元13件的数量相对于元件的总数来说又很小，因而可以当作放回抽样来处理，这样做会有一些误差，但误差不大。将检查一只元件看它是否为一级品看成是一次试验，检查20 只元件相当于做 20 重伯努利试验，以 X 记 20 只元件中一级品的只数， 那么，X是一个随机变量，且 Xb(20,0.2)，即得所求概率为：PX=

14、k=200.2k0.820“,k =0,1, ,20.Ik丿计算结果列表如下:PX=0=0.012PX=4=0.218PX=8=0.022PX=1=0.058PX=5=0.175PX=9=0.007PX=2=0.137PX=6=0.109PX=10=0.002PX=3=0.205PX=7=0.055PX=k 11 时本题结果如图所示。从图中看到， 当 k 增加时， 概率 PX=k先是随之增加， 直至达到 最大值(本例中当 k=4 时取到最大值)，随后单调减少。一般，对于 固定的 n 及 p，二项分布 b(n,p)都具有这一性质。例 3 :某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击40

15、0 次，试求至少击中两次的概率。解：将一次射击看成是一次试验，设击中的次数为X，则 Xb(400 , 0.02 ), X 的分布律为：14PX=k=4000.02兀0.98)400弋k = 01,，400.Ik丿于是所求概率为：PX 2=1 PX=0-PX=1=1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399=0.9972.这个概率很接近 1。讨论这一结果的实际意义，虽然每次射击的 命中率很小(为 0.02)，但如果射击 400 次，则击中目标至少两次是几 乎可以肯定。例 4 :设有 80 台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故 障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个

16、人处理，考虑两种配备维修工人的方法，其一是由 4 人维护，每人负责 20 台；其二是由 3 人共同维护 80 台，试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时 维修的概率的大小。解：按第一种方法，以 X 记“第 1 人维护的 20 台中同一时刻发 生故障的台数”，以 Ai(i=1,2,3,4 )表示事件“第 i 人维护的 20 台中 发生故障不能及时维修”，则知 80 台发生故障而不能及时维修的概率 为：P(A1UA2UA3UA4) P(A1)=PX2,15而 Xb (20,0.01 ),故有:1PX 2=1-瓦PX =kk=0d严、20/1f20k=1-送1(0.01)(0.99)=0.0169

17、kdlk丿即有： P (A1UA2UA3UA4) 0.0169。按第二种方法，以 Y 记 80 台中同一时刻发生故障的台数， 此时，Yb（ 80,0.01 ），故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为:在后一种情况尽管任务重了（每人平均维护约27 台），但工作效率反而提高了（三）泊松分布定义：设随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2,而取各个值的 概率为：.kePX=k= 一, k0,1,2 ,k!其中0是常数，则称 X 服从参数为的泊松分布，记为 X二。易知，PX=k 0, k=0,1,2,，且有:0000扎ke临-00屮 -二PX二kee e =1k=0k =0k!k=0k!3PY

18、A4=1-、k=0800.0lf(0.99严K 丿二16参数的意义以后讨论。泊松分布是描述大量随机试验中 稀有事件出现次数的概率模型。例如，印刷错误数、邮递遗失的信件数、急诊人数、发生交通事故的 次数等都服从泊松分布。定理(泊松逼近定理)：设0 是一常数，n 是任意正整数，设npn=,这对于任一固定的非负整数k，有例：设生三胞胎的概率为10，求在 10000 次生育中恰有 2 次生 三胞胎的概率。解：本例属贝努利概型，设10000 次生育中生三胞胎的次数为X,则 Xb (10000,0.0001)。故所求概率为直接计算很麻烦，故用泊松分布求近似值：因 X=np=10000*0.0001=1,故

19、PX=2 一 =0.18392! 2PX=2=10000(0.0001)2(1 -0.0001)9998Pnk(1-Pn)n-k=k!i73 随机变量的分布函数随机变量 X 的引入是为了 更好地研究随机事件的概率 ，可随机变 量的 定义域为一般样本空间 ，这对应用数学工具来分析会有 很大困难 ， 故此在引入一个与随机变量紧密相关的函数概念。分布函数 的定义：设 X 是一个随机变量， x 是任意实数，函数：F(x)= PXwx称为 X 的 分布函数 。可见：分布函数 F(x) 的值域为实数集定义域也为实数空间(O,+O), 即 F(x) 为一普通实函数这样，就能用数学分析的工具来研究随机变量，使

20、概率论的研 究从此迈上了新台阶。由定义知，对于任意实数 Xi, X2(XiVX2),有：Px1 0。2 0wF(x)w1，且：F(I=LimF(x)=0,x-F ( +TO) =LimF(x)=1 ,x_,上面两个式子，可以从几何上说明。在图中，将区间端点x 沿数轴无限向左移动(即 xfI),贝V“随机点 X 落在点 x 左边”这 一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于 0，即有 F(I)=0 ;又 若将点 x 无限右移(即 xf+TO)，贝V“随机点 X 落在点 x 左边”这 一事件趋于必然事件，从而其概率趋于 1，即有 F ( + ) =1。3 F(x+0)=F(x)，即 F(x)是右连续的

21、。例 1 :设随机变量 X 的分布律为:X-123111Pk424求 X 的分布函数，并求 PXwj, P|vXw5： P2wXw3。解：X 仅在 x= -1,2,3 三点处其概率工 0，而 F (x)的值是 Xwx 的累积概率值，由概率的有限可加性，知它即为 小于或等于 x 的那些 Xk处的概率Pk之和，有：19般，设离散型随机变量 X 的分布律为PX =x= pk,k =1,2,由概率的可列可加性得X 的分布函数为xV-1,F (x) = PX= - 1PX= -1+PX=21 ,即：r0,xV-1,F(x)=1,-1wxV2,434,2wxV3,I41 , x 3。F(x)的图形如图所示

22、。-1wxV2,2wxV3,x 3。3 14 4P2 _ X _3；=F 3 - F 2PX y13丄42320F x二P汶空x；=為PX二xxk -X即F x八Pk(3, 2)Xk x这里和式是对于所有满足Xkx的k求和的，分布函数F(x)在 x=xk(k=1,2,)处有跳跃，其跳跃值为Pk=PX=Xk。例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X 表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量 X 的分布函数。解 若x0 ,则X 2，由题意Xwx是必然事件，于是:F(x)=PXwx=1综合上述，即得 X 的分布函数为:F(x)

23、21它的图形是一条连续曲线如图所示。另外，容易看到本例中的分布函数F(x)，对于任意 x 可以写成形式：xF(x)=：f(tdt,其中：-,0vtv2严2f(t)= Y0 , 其它这就是说，F(x)恰是非负函数 f(t)在区间(一 , x )上的积分，则称X 为连续型随机变量。4 连续型随机变量及其概率密度定义：如果对于随机变量 X 的分布函数 F(x),存在非负函数 f(x),使对于任意实数 x 有：xF(x)=. J(t)dt,(4.1)则称为 X 的连续型随机变变量，其中函数 f (x)称为 X 概率密度函数，简称概率密度。由定义知道，概率密度 f (x)具有以下性质：1 f (x) 0

24、.2Jxdx223 对于任意实数 Xi, X2, (XiwX2),X2P X1XwX2=F(X2)-F(X J=Xf(x”x.4。若 f (X)在点X处连续，则有 F (x)=f (X)由性质 2。知道介于曲线 y=f (x)与 Ox 轴之间的面积等于 1由 3。知道 X 落在区间(xX2)的概率 P XiXwX2等于区间(x1,x2上曲线 y=f (x)之下的曲边梯形的面积由性质 4 在 f (x)的连续点 x 处有：从这里可以看到，概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相 类似，这就是为什么称 f (x)为概率密度的缘故。由(4.2)式知道，若不计高阶无穷小，有：Px X乞xf x x(4

25、.3 )这表示 X 落在小区间x,xx 1上的概率近似地等于 f (X) X。例 1 :设随机变量 X 具有概率密度：” kx,OEx/3xf(x)2,3兰x兰42、O,其它f(x)=(4.2 )F x：x - F xPx X乞x：x23(1)确定常数 k;(2)求 X 的分布函数 F(x);(3)求 P10，则由X=a a- xvXwa得 0wPX=awPa- xvXwa=F(a)-F(a- x)。 在上述不等式中令 x f 0， 并注意到 X 为连续型 随机变量，其分布函数 F(x)是连续的，即得：PX=a=0( 4.4 )据此，在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必 区分该区

26、间是开区间或闭区间或半闭区间，例如有：PavXb=PaX 0，且f x dx =1在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量X，具有下述意义的等可能性。对于任一长度I的子区间(c,c+i), a cvc+i 0，且：f xdx=1图中画出*1/3，二=1，二=2 时 f(x)的图形。由(4.7)式容易得到随机变量 X 的分布函数为：FhH1。xM( 4，8)0,其它服从指数分布的随机变量 X 具有以下的性质:对于任意s，t0,有px s t|x s px r(4，9)事实上P：X s t|X s，P(X s.t)X“px A s_ Px s + t_1 _F(s+t) _ es岀丸二P：X =

27、1-F(s)二e* ”二PX t?性质(4 ,9)称为无记忆性。如果 X 是某一元件的寿命，那么(4， 9)式表明，已知元件已使用了s 小时，它总共能使用至少 s+t 小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能使用t 小时的概率相等，这就是说，元件对它已使用过 s 小时没有记忆，具有这一性质是指数 分布有广泛应用的重要原因。指数分布在可靠性理论与排队论中有广 泛的应用。其它29(三) 正态分布定义：设连续型随机变量 X 的概率密度为30f(x)=2e导e#/2dt =1f（x ）的图形如图所示，它具有以下的性质。1 曲线关于 x=卩对称。这表明对于任意 h0 有（图）PyhXwP卩w卩+h其中

28、，0为常数，则称X 服从参数为 J 二的正态分布或高斯分(4.10 )31布，记为X N d；3。显然3 当 x=卩时取到最大值f (T=1V2JIO_x离、1越远，f（x）的值越小，这表明对于同样长度的区间，当区间离越远，X落在这个区间上的概率越小：=f(x)dx=1.令 x-5 =t，得到1e汗dx=10，故有I即有：e*/2dt-(4.11)32于是33在 x=I 土二处曲线有拐点 曲线以 Ox 轴为渐近线。如果固定二，改变的值，则图形沿着 Qx 轴平移，而不改变形 状，可见正态分布的概率密度曲线y=f（x）的位置完全由参数丿 所确定，J称为位置参数。如果固定，改变二，由于最大值 f （

29、）=1_，当匚越小时图 形变得越尖，因而 X 落在，附近的概率越大。图由（4.10 ）式得 X 的分布函数为（图）：F（X）1占dt.&2兀石、皿特别，当0,二=1时称 X 服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别用，x：-（x）表示，即有易知(图)1e2/2吋2兀(4.15)(4.13)(4.14)人们已编制了门x的函数表（见书附表2 )。般，若XN，二2，我们只要通过一个线性变换就能将它化成标34对于任意区间（X，有X -X2CTCT并八2I爪D=6 - i-ICT )CF )例如，设XN（1，4 ），查表得I 2丿I 2丿：0.3 却0.5= 0.6179-1-门0.5= 0.

30、6179-1 0.6915 = 0.3094.准正态分布。引理 若X N二2，则Z = N 0,1 oa证的分布函数为PZ Ex；=X -1xff. z24：x-刁尹e2adt,apiz x -寸2兀X2/2edu二：由此知，Z =X N 0, oT于是，若XN，二2，则它的分布函数 F （x ）可写成:F(x) = px ExhpX 4 ,x 卩-兰-CJCJ仅-叮-II CT丿(4.16)XicrX2-叮(4.17)35设X N，-2，由门x的函数表还能得到（图）：36P -；X=G 行珂1=21 -1 =68.26%PW -2- X2Y- G 2 却2 =95.44%PW -3匚X3C-

31、G 3-门-31=99.74%我们看到，尽管正态变量的取值范围是（-渋，）,但它的值落在 ：心-3；丁，二内几乎是肯定的事，这就是人们所说的 “3”法则。例 3 :将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在 dC，液体的温度 X （以C计）是一个随机变量，且XN（d,0.52）。（1 ）若 d=90，求 X 小于 89 的概率。（2）若要求保持液 体的温度至少为 80 的概率不低于 0.99，问 d 至少为多少？解：（1 ）所求概率为：=1 -：2 =1 -0.9772 = 0.0228（2）按题意需求 d 满足89 - 90 I 0.5丿23780 d、- J-0.99 = 1

32、-(2.327)I 0.5丿丿=：-2.327 ,亦即：80d81.1635为了便于今后在数理统计中的应用，对于标准正态随机变量，引 入上a分位点的定义。定义：设 XN (0,1 ),若 Za满足条件：PXZa=a,0VaVl,(4.18)则称点 Za为标准正态分布的 上a分位点(如图)，下面列出了几个常 用的乙的值。a0.0010.050.0050.100.010.025即0.99岂PX _80 X -d 80 - d0.5一0.5X -d 80 -d0.50.580 -d- f0.538Za3.0901.6452.5761.2822.3271.960另外，由x图形的对称性知道 Z1-a=-

33、Za。在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。例如：一个地区的男性成年人的身高 测量某零件长度的误差海洋波浪的高度半导体器件中的热噪声电流或电压等。在概率论和数理统计理论研究和实际应用中正态随机变量起着特 别重要的作用。5 随机变量的函数的分布比如我们能测量圆轴截面的直径d，而关心的却是截面面积Ad2。这里，随机变量 A 是随机变量 d 的函数。在实际中，我们4常对某些随机变量的函数更感兴趣。在这一节中，将讨论如何由已知的随机变量 X 的概率分布去求得它的函数 Y=g(X) (g ( )是已知的连续函数)的概率分布。例 1 :设随机变量 X 具有以下的分布律，试求 Y=(

34、X-1)2的分布律。39X-1012Pk0.20.30.10.4解：Y 有所可能取的值为0,1,4 ,由p2-1 f =0= PX = = 0.1,P”Y =1；= PX =0? PX =0；=0.7,40py =4= plx二 一1二0.2,Y014Pk0.10.70.2例 2 :设随机变量 X 具有概率密度:-,0vxV48fx(x)=0, 其它。求随机变量 Y=2X+8 的概率密度。解：分别记 X,Y 的分布函数为 Fx(x),Fy(y)，下面先求Fy(y)=PV 0，当 y0 时有：FY(y)=PYwy=PX2wy=P y X y=Fxy-Fx _ .y将 FY(y)关于 y 求导数，

35、即得 Y 的概率密度为：fY(y)=0,yw0.例如，设 XN (0,1 ),其概率密度为:(x )= e2/2, _ox o 由(5.1 )得 Y=X2概率密度为:y 0,fF(y)=0,yw0此时称 Y 服从自由度为 1 的2分布。y 0,43上述两个例子解法的关键一步是在“ Ywy ”中，即在 中解出 X，从而得到一个与“ g (X) y”等价的 X 的不等式，并以后 者代替“ g (X) y”。例如，在例 2 中以“X誇8”代替“2X+8 0 时以“-yXjy”代替“ X20 (或恒有 g (x)0 )，则 Y=g (X)是连续型随 机变量，其概率密度为：fxh(y)h(y)|,avyP,fY(y)=(5.2)0,其它，其中a=min (g,g), I二max(g八，g二)，h