诱导公式及其运用

1、诱导公式及其运用 学习目标 了解诱导公式的推导；熟记诱导公式；熟练运用诱导公式解决问题。 重点难点 诱导公式的熟练运用。 知识结构 一、诱导公式的推导 当角的概念作了进一步的推广之后，求任意角三角函数值的问题，主要运用诱导公式将之转化为锐角三角函数的求值。 由任意角三角函数的概念，可知终边相同的角的同名三角函数值相等。而终边相同的角的大小一定相差2的整数倍，故有第一组诱导公式:（诱导公式一） 通过诱导公式一，可将任意角的三角函数值转化成一个周内角(0, 2)的三角函数值。 我们还需要将任意一个周内角的三角函数值转化成锐角三角函数值。对于满足的，可令=-()或；对于满足的角，可令=+()或；对于

2、满足的角，可令=2-()或；当为0，这些轴上角时，可特殊情况特殊处理，直接由定义得出它们的三角函数值。综上，就可以将任意一个周内角三角函数的求值问题解决了。 1. +与 如图，在同一坐标系中做出角与角+。 易知:角终边OP1与角+终边OP2在同一条直线上，且点P1与P2关于原点对称。分别作与+的正弦线与余弦线，显然有 M1P1=-M2P2, OM1=-OM2, 故有 我们将以上四个公式并为一组，称为诱导公式二。 2下面我们先来观察-与角三角函数关系。 若终边为OP1，P1为终边与单位圆交点，-角终边OP2，P2为-终边与单位圆交点，显然，P1与P2两点关于x轴对称。 分别作与-的正弦线与余弦线

3、（如图），易知MP1=-MP2，OM=OM， 故有 sin(-)=-sin cos(-)=cos 由， 有 tan(-)=-tan 从而有 cot(-)=-cot 我们将上面四式称为诱导公式三。 3-与 类似地，通过作图，可以发现-终边与终边关于y轴对称，故易有诱导公式四: 4. 与。 学习了两角和与差三角函数公式后，易得诱导公式五、六、七、八:sin(/2+)=cos, cos(/2+)=-sintan(/2+)=-cot,cot(/2+)=-tan（公式五） 二、公式的记忆 有记忆口诀如下:“奇变偶不变，符号看象限”。所谓“奇”，指括号内前角为的奇数倍，如诱导公式五、六、七、八；所谓“变”

4、，指当括号内前的角为的奇数倍时，右面的三角函数名称要变为与符号左边三角函数名互余的名称，如左正弦右余弦，左余切右正切；所谓“偶不变”，指当括号内前角为的偶数倍时，如诱导公式一、二、三、四，三角函数名称不变，左右应一致；所谓“符号看象限”，指诱导公式中等号左边角看成锐角，角所在象限的其三角函数值的符号，即为等号右边所加的符号。如cos(-), 将看成锐角，则-是第二象限角，余弦值为负，故cos(-)=-cos。 三、诱导公式的运用 求任意角三角函数值的问题，都可通过诱导公式，化归为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”“正角化周内角”“周内角化锐角”求值。 典型例题分析 例1计算。 解

5、:原式= 例2已知，求的值。 分析:观察题目中各角关系，注意到。 解: 例3已知 求(1) sin-cos的值；(2) sin3(2-)+cos3(2-)的值。 分析:由最简化原则，应对已知等式进行化简。由已知有 。 (1) 欲求sin-cos, 考虑到(sin+cos)2+(sin-cos)2=2 , sin>0, cos<0。 sin-cos>0, 。 (2) 而 例4(1)已知，求sin(-9)的值。 (2)已知，求的值。 解:(1)由， 得， 若是第一象限角，则sin(-9)=-sin(9-)=-sin(-)； 若是第四象限角，则sin(-9)=。 (2)注意到 例5化简 解:原式 (1) 当n为奇数时，设n=2k+1, kZ。 则原式 注意到 上式 当n为偶数时，证n=2k, (kZ)。 则原式 例6设, 求。 解:先化简f()。 例7ABC中，若,求ABC的三个内角。 解:由已知:.(1) .(2) (1),(2)两式左右两边同时平方相加得:sin2A+3cos2A=2sin2B+2cos2B=2 1+2cos2A=2, , 。 当时，由(2)式， 。 当时，由