因式分解(人教版)

1、复习回顾复习回顾_1 xx_11xx_732xxxx 212xxx1462问题：问题：630可以被哪些整数整除？可以被哪些整数整除？630 = 23257新课引入新课引入试试看试试看(将下列多项式写成几个整式的乘积将下列多项式写成几个整式的乘积)_2 xx_12x1xx11xx回忆前面整式的乘法回忆前面整式的乘法1112xxx上面我们把一个上面我们把一个多项式多项式化成了几个化成了几个整整式式的的积积的形式，像这样的式子变形叫做把的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项这个多项式式 ，也叫做把这个多项，也叫做把这个多项式式 。分解因式分解因式因式分解因式分解12x11xx因式分解因式分解整式乘法

2、整式乘法因式分解与整式乘法是因式分解与整式乘法是逆变形逆变形 依依照定义，判断下列变形是不是照定义，判断下列变形是不是因式分解因式分解（把（把多项式多项式化成几个化成几个整式整式的的积积）4222xxx2334326xyyxyx2242232349xxxxxxyxyxyx222235m ( a + b + c ) = ma + mb + mc下面两个式子中哪个是因式分解？下面两个式子中哪个是因式分解？ 在式在式子子ma + mb + mc中，中，m是这个多项是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫式中每一个项都含有的因式，叫做做 。公因式公因式ma + mb + mc = m ( a + b +

3、 c )ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在下在下面这个式子的因式分解过程中，面这个式子的因式分解过程中，先先找到找到这个多项式的这个多项式的公因式公因式，再将，再将原式除原式除以公因式以公因式，得到一个新多项式，将这个多，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。项式与公因式相乘即可。这种方法叫做这种方法叫做提公因式法提公因式法。提公因式法一般步骤：提公因式法一般步骤： 1、找到该多项式的公因式，、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式，、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把、把它与公因式相乘。它与公因式相乘。 如何准确地找到

4、多项如何准确地找到多项式的公因式呢？式的公因式呢？ 1、系数、系数 所有项的系数的所有项的系数的最大公因数最大公因数 2、字母、字母 应提取每一项都有的字母，应提取每一项都有的字母， 且字母的且字母的指数取最低指数取最低的的 3、系数与字母相乘、系数与字母相乘cabba22159解：用提取公因式法因式分例题精讲pqqppq3197952223234812ststts最大公因数为最大公因数为3= 3a的最低指数为的最低指数为1ab的最低指数为的最低指数为1b(3a5bc)= 4st2(3s22t+1)pq(5q+7p+3)=91第第 3课时课时第第 2课时课时复习回顾复习回顾平方差公式：平方差公

5、式：完全平方公式：完全平方公式：22bababa2222bababa2222bababa2222bababa_22xx_52a_77mm42x25102aa49142mm新课引入新课引入12平方差公式平方差公式逆用逆用22 52逆用逆用bababa22bababa22 两个数的平方差等于这两个两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。数的和与这两个数的差的积。 尝试练尝试练习习( (对下列各式因式分解对下列各式因式分解) )： a2 9 = _ 49 n2 = _ 5s2 20t2 = _ 100 x2 9y2 =_(a+3)(a3)(7+n)(7n)5(s+2t)(s2t)(10 x

6、+3y)(10 x3y)y2 4x2 (x2)2 12 (x21) ( 4x2 y2 )(x+1)(x1)因式分解一定要分解彻底因式分解一定要分解彻底 !x2 (x3)2xx(1+x)(1x)x2(1+x2)(1x2)(1+x)(1x) 在我们现学过的因式分解方法中，在我们现学过的因式分解方法中，先考虑先考虑提取公因式提取公因式，再考虑用，再考虑用公式法公式法。6x(x+3y)(x3y)YXYXYX复习回顾复习回顾2222bababa2222bababa2222bababa_44xx_72b_99mm1682 xx49142bb81182mm新课引入新课引入29991= (999+1)2 =

7、106完全平方公式完全平方公式逆用逆用 就像平方差公式一样，就像平方差公式一样，完全平方完全平方公式公式也可以也可以逆用逆用，从而进行一些简便，从而进行一些简便计算与因式分解。计算与因式分解。即：即：2222bababa2222bababa 两个数的平方和加上（或减去）两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的这两个数的积的两两倍，等于这两个倍，等于这两个数的和（或差）的平方。数的和（或差）的平方。 牛刀小试牛刀小试( (对下列各式因式分解对下列各式因式分解) )： a2+6a+9 = _ n210n+25 = _ 4t28t+4 = _ 4x212xy+9y2 = _(a+3)2(n5)24

8、(t1)2(2x3y)2完全平方式的特点：完全平方式的特点： 1、必须是、必须是三项式三项式（或可以看成三项的）（或可以看成三项的） 2、有两个、有两个同号同号的平方项的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的、有一个乘积项（等于平方项底数的2倍倍） 简记口诀：简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。首平方，尾平方，首尾两倍在中央。222baba= (4x+3)2= (4x24xy+y2) = (2xy)2= 4 (x22xy+y2)= 4 (xy)2= (a21)2= (a+1)2 (a1)2= (a+1) (a1)2= (p+q6)2XXX知识结构知识结构因式分解因式分解常用方法常用

9、方法提公因式法提公因式法公式法公式法十字相乘法十字相乘法分组分解法分组分解法拆项添项法拆项添项法配方法配方法待定系数法待定系数法求根法求根法一、提公因式法一、提公因式法 只需只需找到找到多项式中的多项式中的公因式公因式，然后用然后用原多项式除以公因式原多项式除以公因式，把所，把所得的商与公因式相乘即可。往往与得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。其他方法结合起来用。提公因式法提公因式法随堂练习：随堂练习：二、公式法二、公式法 只需发现多项式的只需发现多项式的特点特点，再，再将符合其形式的公式套进去即可将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方完成因式分解，有时需和别的

10、方法法结合结合或多种公式或多种公式结合结合。 接下来是一些常用的乘法公接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。式，可以逆用进行因式分解。常用公式常用公式1、(a+b)(ab)=a2b2（平方差公式）平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2（完全平方公式）（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)及及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+

11、pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导公式推导 222222222222222212222122222221zyzxyxzyzyzxzxyxyxyzxzxyzyxyzxzxyzyx222公式法公式法随堂练习：随堂练习：二、公式法二、公式法 只需发现多项式的只需发现多项式的特点特点，再，再将符合其形式的公式套进去即可将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方完成因式分解，有时需和别的方法法结合结合或多种公式或多种公式结合结合。三、十字相乘法三、十字相乘法(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq例例1：因式分解：因式分解x2+4x+31313+1+3p、q型因式分解

12、型因式分解例例2：因式分解：因式分解x27x+10(2)(5)(2) + (5)25十字相乘法十字相乘法随堂练习：随堂练习：三、十字相乘法三、十字相乘法试因式分解试因式分解6x2+7x+2。十字相乘法十字相乘法（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）ac(ad+bc)bd二次项系数二次项系数常数项常数项= 173 x2 + 11 x + 106 x2 + 7 x + 223124 + 3 = 721 3213522 + 15= 1113255 + 62 35= 65 x2 6 xy 8 y2试因式分解试因式分解5x26xy8y2。十字相乘法十字相乘法15244 10254简记口诀：简记口诀：首

13、尾分解，首尾分解，交叉相乘，交叉相乘，求和凑中。求和凑中。十字相乘法十字相乘法随堂练习：随堂练习：四、分组分解法四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等过交换项的位置，添、去括号等一些一些变换变换达到因式分解的目的。达到因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd 。(ab ac) (bd cd)(b c)(b c)(a + d) 还有别还有别的解法的解法吗？吗？四、分组分解法四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等过交换项的位置，添、去括号等一些一些变换变换达到因式分解的

14、目的。达到因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd 。(ab + bd) (ac + cd)(a + d)(a + d) (b c)例例2：因式分解：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。(x2+x+1) (x+1)(x2x+1)立方和公式立方和公式分组分解法分组分解法随堂练习：随堂练习：回顾例题：回顾例题：因式分解因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。+2x2x2(x2+1)2 (x2+x+1)(x2x+1)五五*、拆项添项法、拆项添项法怎么结果怎么结果与刚才不与刚才不一样呢？一样呢？因为它还因为它还可以继续可以继续因式分解因式分解 拆项添项法对数学能力有着

15、更拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的分解，要对结果有一定的预见性预见性，尝试较多，做题较繁琐。尝试较多，做题较繁琐。 最好能根据现有多项式内的项最好能根据现有多项式内的项猜测猜测可能需要使用的公式，有时要可能需要使用的公式，有时要根据形式根据形式猜测猜测可能的系数。可能的系数。五五*、拆项添项法、拆项添项法+ 4x2 4x2都是平方项都是平方项猜测使用完全平方公式猜测使用完全平方公式完全平方公式完全平方公式平方差公式平方差公式拆项添项法拆项添项法随堂练习：随堂练

16、习：配方法配方法配成完全平方式配成完全平方式因式分解因式分解 a2b2+4a+2b+3 。(b1)2配方法配方法 ( (拆项添项法拆项添项法) )分组分解法分组分解法完全平方公式完全平方公式平方差公式平方差公式二、新课二、新课1. 我们把我们把)0(2acbxax叫做叫做x的二次三项式。的二次三项式。这个式子的这个式子的x的最高次项是的最高次项是2，并有一次项和常数项，并有一次项和常数项，共有三项。共有三项。2. 请同学说出请同学说出x的二次三项式的二次三项式)0(2acbxax和和x的一元二次方程的一元二次方程)0(02acbxax形式上有什么不同？形式上有什么不同？答案：二次三项式是代数式

17、，没有等号，方程有等号。答案：二次三项式是代数式，没有等号，方程有等号。3. 用配方法把用配方法把222xx分解因式。分解因式。分析：对分析：对xx22再添一次项系数的一半的平方再添一次项系数的一半的平方（注意：因为因式分解是恒等变形，所以必须同时（注意：因为因式分解是恒等变形，所以必须同时 减去一次项系数一半的平方）减去一次项系数一半的平方）解：解：) 31)(31() 3() 1(3) 1(21122222222xxxxxxxx这是配方的关键4. 分解因式分解因式6822xx分析：把二次项系数化为分析：把二次项系数化为1，便于配方，但不能各项，便于配方，但不能各项 除以除以2 ，而是各项提

18、取公因数，而是各项提取公因数2我们知道在解一元二次方程时，配方法的步骤是固定我们知道在解一元二次方程时，配方法的步骤是固定模式的，即模式的，即“千篇一律千篇一律”，它的一般模式就是解一元二，它的一般模式就是解一元二次方程的求根公式法。由此推想，用配方法因式分解次方程的求根公式法。由此推想，用配方法因式分解必定与方程的根有关系，这个关系是什么必定与方程的根有关系，这个关系是什么7272 2)7() 2(2 7) 2(2 34) 44(2) 34( 2682222222xxxxxxxxxx解：解：从以上例从以上例2的因式分解来研究。的因式分解来研究。与二次三项式与二次三项式6822xx对应的一元二

19、次方程是对应的一元二次方程是 6822xx=0 这个方程的两根是这个方程的两根是7222)6(24)8(82x72,7221xx由此可以看出例由此可以看出例2的因式分解的结果与两根的关系是什么？的因式分解的结果与两根的关系是什么？)(2)72()72( 2682212xxxxxxxx这个关系是：二次三项式系数乘以这个关系是：二次三项式系数乘以x 减去一个根的差，减去一个根的差，再乘以再乘以x减去另一个根所得的差。减去另一个根所得的差。以上的结论怎样证明？以上的结论怎样证明？证明：设一元二次方程证明：设一元二次方程aacbbxaacbbxxxacbxax24,24)0(02221212则，的两根

20、是)(),(,2221212121acxabxacbxaxxxacxxabacxxabxx就是)()(2121212xxxxaxxxxxxa结论：在分解二次三项式结论：在分解二次三项式例如，已知一元二次方程例如，已知一元二次方程2, 10462212xxxx的两根是就可以把二次三项式分解因式，得就可以把二次三项式分解因式，得)2)(1(24622xxxx然后写成的两根公式求出方程的因式分解时，可先用2122,0)0(xxcbxaxacbxax)(212xxxxacbxax三、例题讲解三、例题讲解例例1 把把8652 xx分解因式分解因式1014610196652)8(5466086522xxx的根是解：方程2,5421xx即：)2)(54(58652xxxx)2)(45(xx此步的目的是去掉括号内的分母例例2分解因式把22582yxyx22)5(24)8(805822222yyyxyxyxx的根是的方程解：关于yyy2644628)264)(264(258222yxyxyxyx本题是关于本题是关于x的二次三项式，所以应把的二次三项式，所以应把y看作常数看作常数注意：注意：1.因式分解是恒等变形，所以公式因式分解是恒等变形，所以公式)(212xxxxacbxax中的因式中的