传递过程原理作业题解章

1、稳态： 0 ，轴向流动： ur 0 ，轴对称：0第二章21. 对于在 r 平面内的不可压缩流体的流动， r 方向的速度分量为 urAcos /r 2。试 确定速度的 分量。解：柱坐标系的连续性方程为对于不可压缩流体在 r 平面的二维流动，常数， uz 0, uz 0 ，故有 zr (rur )Acosr 2 )rAcos将上式积分，可得f （r） 都能满足连续性方程。令式中， f （r） 为积分常数，在已知条件下，任意一个f （r） 0 ，可得到 u 的最简单的表达式：2对于下述各种运动情况， 试采用适当坐标系的一般化连续性方程描述， 并结合下述具 体条件将一般化连续性方程加以简化，指出简化过

2、程的依据。（ 1）在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态一维流动；（ 2）在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动；（ 3）在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动；（ 4）不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动；（5）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动。解 ： u 01） 在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态一维流动稳态：0 ，二维流动： uz 0( uy) 0 ， 又( ux )xconst ，从而 uxuy 0xy稳态：0，一维流动： ux0 ， uy 0uzuz0 ，即 ( uz)0zzz2）在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动3）在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动在此情况下， （ 2）

3、中const（ ux ） （ uy） 0xy4）不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动0 ， u 0 （不可压缩 zzconst )（5）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动稳态 0 ，沿球心对称0 ，0 ，不可压缩const 12 （r 2ur） 0 ，即 d （r 2ur） 0 r r dr3某粘性流体的速度场为已知流体的动力粘度0.144 Pa s，在点（ 2，4， 6）处的法向应力 yy100N / m2 ，试求该点处的压力和其它法向应力和剪应力。22解： 由题设 ux 5x2y，uy 3xyz， uz8xz2ux10xy，uy3xz，uz16xzxyz因yyp2uy2( uxxu

4、yuz )y3xyz故pyy2uy2(uxuyuz)y3xyz在点（ 2 ，4， 6）处，有所以xxp2ux2( uxuyuz)x3xyz4. 某不可压缩流体在一无限长的正方形截面的水平管道中作稳态层流流动，此正方形 截面的边界分别为 x a 和 y a，有人推荐使用下式描述管道中的速度分布 试问上述速度分布是否正确，即能否满足相关的微分方程和边界条件。解： 在壁面处，即 x a和 y a时， uz 0 ，故满足壁面不滑脱条件；在管道中心， x y 0 时，可得2apuz4 z umax（ 1）将所给速度分布式代入不可压缩流体连续性方程（2-20），因 ux uy 0 可得将不可压缩流体的运动

5、方程（ 2-45c）化简，可得p(2uz222yu2z)zxy2将所给速度分布式分别对x和y 求偏导数，2uzx212p1z(y)2 a2uz21pz1(ax)2y22za将式（ 3）和（ 4）代入式（ 2）可知，仅当（3）（4）2 2 2x2 y2 2a2 时才满足运动方程。因此所给速度分布式不能完全满足运动方程。5某一流场的速度向量可以下式表述试写出该流场随体加速度向量Du 的表达式。 D解：第三章1. 如本题附图所示，两平行的水平平板间有两层互不相溶的不可压缩流体，这两层流 体的密度、动力粘度和厚度分别为 1、 1、 h1和为 2、 2 、h2 ，设两板静止，流体在常压 力梯度作用下发生

6、层流运动，试求流体的速度分布。解： 将直角坐标下的连续性方程和运动方程化简，可得积分得1 p 2 ux 2 x y C1y C2因此，两层流体的速度分布可分别表示为ux11 p 22 1 x yC1y C21）2）1 p 2 ux2 y D1 y D22 2 x由下列边界条件确定积分常数：1）yh1 ,ux1 0;2）yh2 ,ux2 0;3）y0,ux1 ux2 ;dux1dux24）y0, 1 x1 21 dy 2dy将以上 4个边界条件代入式（ 1）与（ 2），得1 p h122 1 xC1h1 C2 0 ；1ph22D1h2 D2 0 ；22xC2D2；解得C1h1 p1h22 12

7、h12 12 1 x 1 1h22h1最后得速度分布方程为2. 粘性流体沿垂直圆柱体的外表面以稳态的层流液膜向下流动，如本题附图所示。试 求该流动的速度分布。该液体的密度和粘度分别为 和 。解 ： 由题给条件，有0，ur u 0， Xz g由柱坐标系连续性方程 简化得 uz 0z简化得g1r r ( rruzr ) 0 r由于uz0，uz0 （轴对称），故 uzz积分得uzg42 rC1 lnr C2边界条件为（1）rr0,uz 0（2）rR,duz 0dr将边界条件代入式（1），得由柱坐标系 N-S 方程故速度分布为uz(r) ，即1）3. 半径为 r0 的无限长圆柱体以恒定角速度在无限流体

8、中绕自身轴作旋转运动。设流体不可压缩， 试从一般柱坐标系的运动方程出发， 导出本流动问题的运动方程， 并求速度分 布与压力分布的表达式。解：柱坐标系的运动方程为r 方向 :2 ururu ur uurr urr ruz rr r r z221 p 1 1 ur2 uurXr(rur )22r22r( 2-47a)r r r r r r z2方向：uuurruuuruuuzzz 方向：X11p1(ru rr2 ur2-47b)uz ur uz ru uzuzuzz1(r rruz)r22uz2z2-47c)20， uruz由于该流动具有稳态、对称及一维特性，故有z利用上述特点，运动方程（ 2-4

9、7）简化为由于流动为一维，上式可写成常微分方程1）ddrpd2udr21 du r dru20 r2）式（ 2）的通解为 利用边界条件可得C10,C2因此2 r0r如果令压力分布为,pp0可得C p0因此p0 8122r试求与速度势 压力梯度（忽略质量力） 解：（ 1）流函数4.2x 5xy 3y 4 相对应的流函数，并求流场中点（ 2， 5）的2y5y2）流场中点（2，52x 3x C25）的压力梯度忽略质量力，平面稳态流动的 Euler 方程为写成向量形式为点（ 2， 5）的压力梯度为5. 粘性流体在两块无限大平板之间作稳态层流流动，上板移动速度为U1，下板移动速度为 U 2，设两板距离为

10、 2h，试求流体速度分布式。提示：在建立坐标系时，将坐标原点取 在两平行板的中心。解：流体作稳态流动，速度与时间无关。建立坐标系时，将坐标原点取在两平行板的中 心，并设两板距离为 2h。运动方程可化简为x 方向01pxd2uxdy2（1）y 方向01 gp（2）y将式（ 2）对 y 积分得3）4）p gy f （x）将式（ 3）对 x 求偏导数，得 由上式可知， p 对 x的偏导数与 y 无关。x 方向的运动方程（ 1 ）可改为d 2ux 1 p dy2 x容易看出，上式右边仅与 x 有关，左边仅与 y 有关。因此上式两边应等于同一个常数，即ux1 p y2 x2C1yC2边界条件为（1）yh

11、,uxU1;（2）yh,uxU2将边界条件代入式（5）得C1U1U2 ，C2U1 U 22h ，2积分上式得于是速度分布式为1 ph22x5）第四章1. 某粘性流体以速度 u0 稳态流过平板壁面形成层流边界层，在边界层内流体的剪应力不 随 y 方向变化。1）试从适当边界条件出发，确定边界层内速度分布的表达式ux ux （y）；（2）试从卡门边界层积分动量方程 出发，确定 x 的表达式。解 ：（ 1 ）由于边界层内duxx 不随 dyy 变化，dux 为常数，速度分布为直线。设dyuxaby 。边界条件为(1) y 0 ,ux 0；( 2) y, ux u0由此可得边界层内速度分布为（2）将边界

12、层积分动量方程写成duxuxd11 d s则0 x (1 x )dy 0 (1)ds2dx 0 u0u0dx 06 dxu0故有1d6 dxu0即d 6 dx u0边界条件为x 0, 0 ，积分上式得2. 不可压缩流体稳态流过平板壁面形成层流边界层，在边界层内速度分布为式中， 为边界层厚度，4.64xRex 。试求边界层内 y 方向速度分布的表达式 uy 。解：二维稳态层流的连续性方程为uxxuyy13u0x y4133u0x y3u0 y4x01）2）将式（ 2）代入式（ 1）积分，得3. 20的水以 0.1 m/s 的流速流过一长为3m 、宽为 1m 的平板壁面。试求（1）距平板前缘 0.

13、1m 位置处沿法向距壁面 2mm 点的流速 ux、uy；（2）局部曳力系数 CDx 及平均曳力 5系数 CD ；（3）流体对平板壁面施加的总曳力。设Rexc 5 105 。已知水的动力粘度为 100.5 10 5 Pa s，密度为998.2 kg/m 3 。解 ：距平板前缘 0.1m处的雷诺数为：流动在层流边界层范围之内。1）求 y 方向上距壁面 2mm 处的ux,uy已知 x 0.1m， y 0.002m ,由式（ 4-15）得 查表 4-1，当1.993 时f =0.6457, f =0.625, f =0.260由式（ 4-25）得由式（ 4-26）得（ 2）局部曳力系数 CDx 及平均

14、曳力系数 CD （3）流体对平板壁面施加的总曳力4. 某粘性流体以速度 u0 稳态流过平板壁面时形成层流边界层，已知在边界层内流体的 速度分布可用下式描述1）采用适当边界条件，确定上式中的待定系数a,b 和c ，并求速度分布的表达式；2）试用边界层积分动量方程推导边界层厚度和平板阻力系数的计算式。解： （ 1） 选择如下边界条件求解得a 0 ； b u0 ； c02故ux u0 sin( y)2代入得2）d0 (u0 ux )uxdy dx 0duxdyy0先将速度分布代入，求积分号内的项代入得移项得CDx1/2 0.656Rex1/ 2u04.79 u0xRex 1/25. 已知不可压缩流体

15、在一很长的平板壁面上形成的层流边界层中，壁面上的速度梯度为 k ux 。设流动为稳态，试从普兰德边界层方程出发，证明壁面附近的速度分布可用 y y 0下式表示式中， p/ x为沿板长方向的压力梯度， y 为由壁面算起的距离坐标。 证：对于二维平板边界层，普兰德边界层方程为1）y0 ,ux0；2）y, uxu0 ；3）y, ux0yux ux uy ux 1 p x y x2ux1）由于板很长，可以认为 由连续性方程uyy在平板壁面上， uy y 0 0 ，因此由上式可知，在边界层内 uy 0 。由此可将式（ 1）简 化为上式左端是 y 的函数，右端是 x 的函数，二者要相等，必须使得ux1 p

16、 常数x上式积分求解，得由题意，当 y 0时， ux k ，故 y又当 y 0 时，由壁面不滑脱条件， ux 0，故因此，速度分布为证毕。6. 不可压缩流体以 u0的速度流入宽为 b、高为 2 h的矩形通道（ b ? a ），从进口开始形成速度边界层。已知边界层的厚度可近似按 5.48 x/u0 估算，式中 x 为沿流动方向 的距离。试根据上述条件，导出计算流动进口段长度Le的表达式。解：当h（矩形高度的一半）时，边界层在通道的中心汇合，此时的流动距离x 即为流动进口段长度 Le ，故 解得或Le 0.033Reh式中 Re u0h第五章1. 20的水在内径为 2m 的直管内作湍流流动。测得其

17、速度分布为ux 10 0.8ln y ，在离管内壁 1/3 m 处的剪应力为 103Pa，试求该处的涡流运动粘度及混合长。已知 20水的密度为 998.2 kg/m3，动力粘度为 1.005 ×10-3 Pa s。解：（ 1）涡流运动粘度t yx() dduyx1）duxdyd(10 0.8ln dyy) 0.8 0.8-12.4 s-1式（ 2）代入式1）并整理得已知1.005 10 3 / 998.2散系数与涡流扩散系数相比，可以忽略不计。（2）混合长忽略粘性应力，则其值约为管半径的 13.4。2. 温度为 20的水流过内径为 50mm 证明此情况下流体的流动为湍流，并求y 0.

18、3331.007 10 62）2m2/s 。可见，离管内壁 1/3 处的粘性扩的圆管。 测得每米管长流体的压降为 1500N/m 2，试（1）层流底层外缘处水的流速、该处的y 向距离及涡流粘度；（2）过渡区与湍流主体交界处流体的流速、该处的y 向距离及涡流粘度。解：由物性表查得 20水的物性： 998.2kg/m 3，3100.5 10 Pa sReddub0.25 3.02 998.2 1.55100.5 10 55105104 ，故为湍流。1）层流内层外缘处uy5u u y 5u5 0.137 0.685 m/s0（层流内层只有粘性力）2）过渡区与湍流主体交界处13.956ys (1) 1

19、8.7522 10 4(1 ) 18.58N/m0.025dudydu 1 )dy将 u 5.0lny 3.05 写成u 5.0u ln yu 3.05u3. 试应用习题 7 中的己知数据，求 r ri / 2处流体的流速、涡流粘度和混合长的值。解： y y uri u20.025 0.137 998.22 100.5 101.7 104 30 为湍流主体区同上题方法推导 du 2.5u ，故 dy y4. 利用流体阻力实验可估测某种流体的粘度，其方法是根据实验测得稳态湍流下的平均速度 ub及管长为 L 时的压降 （ p） 而求得。试导出以管内径 d、流体密度 、平均流速2L ub p 4f

20、bd20.046 () 0.2 L2 ub 2ub和单位管长压降p/ L表示的流体粘度的计算式。解：设流体在管内湍流且流动充分发展，则移项并整理得5. 假定平板湍流边界层内的速度分布可用两层模型描述，即在层流底层中，速度为线 性分布；在湍流核心，速度按 1/7 规律分布，试求层流底层厚度的表达式。解 ： 层流底层很薄，故有sduxuxdyy（1）平板湍流壁面剪应力又可由式（5-56）表示，即1/ 4s2 u0u00.023 0（2）以上两式联立得到2u0u0 1/ 4ux0.023 0 (0 ) y（3）ul 0.0232u0u0 1/ 4 ( ) b（4）或写为b1ul3/ 4(l)( )3

21、/ 4（5）0.023u0u0令层流底层厚度为b ，其外缘与湍流核心接壤处的速度为ul ，则上式可写成另一方面，湍流核心的速度可用 1/7 次方定律描述，即 在两层交界处，有6）或写成b （uul ）7 u0式（ 5）与式（ 6）联立得将0.376（ xu0 ） 1/5 代入上式，可得x7）ul 1/10 1/10 l 2.12（ ）1/10 2.12Rex 1/10u0u0x将式（ 7）代入式（ 6）中，得再将0.376（ xu0 ） 1/5 代入上式，可得x6. 20的水在内径为 2m 的直管内作湍流流动。测得其速度分布为 ux 10 0.8ln y ， 在离管内壁 1/3 m 处的剪应力

22、为 103Pa，试求该处的涡流运动粘度及混合长。已知 20水的密度为 998.2 kg/m3，动力粘度为 1.005 ×10-3 Pa s。解：（ 1）涡流运动粘度t yx() dduyx（1）duxd0.80.8 -1x(10 0.8ln y)2.4 s-1（2）dydyy0.333式（ 2）代入式（1）并整理得已知/1.005 10 3 / 998.2621.007 10 6 m2/s 。可见，离管内壁1/3 处的粘性扩散系数与涡流扩散系数相比，可以忽略不计。（2）混合长 忽略粘性应力，则 其值约为管半径的 13.4。7. 试从光滑圆管中湍流核心的对数速度分布式（5-43）和剪应

23、力 与 y的关系式 s（1 y） 出发，推导涡流粘度的表达式，并讨论涡流粘度或参数 与雷诺数 Re和riu ri位置 y 的关系。解：在湍流核心，可忽略粘性力的影响，则 移项得s y dux 1s (1 )( x ) 1 ridy湍流核心的速度分布为1）yuu 2.5ln y 5.5 ， ux 2.5u ln 5.5u将式duxdy2.5uy2)代入式并将 us / 代入，得2u (1y) y ri 2.5u0.4u (1 y)y3)或写成第七章1m 时， t1 200 ，为温度系数，其值为1)1. 在一无内热源的固体热圆筒壁中进行径向稳态导热。当r1r2 2m时， t2 100，其导热系数为

24、温度的线性函数，即 式中 k0为基准温度下的导热系数，其值为k0 0.138 W/(m K) ，1.95 10 4 1K ，试推导出导热速率的表达式并求单位长度的导热速率。解 ：导热速率的表达式为q k tAr对于本问题， k k0(1 t)， A 2 rL ，其中 L为圆筒壁的长度。稳态热传导情况下，q const ，将上述情况代入式( 1)，并分离变量，可得(1t)dtq dr2 Lk0 r(2)边界条件为 r11， t1200 r22，t2100积分得将边界条件代入式 (2)，可得1 2 qC t1t12ln r11 2 1 2 Lk0 1(200 273.2) 1 (1.95 10 4

25、) (200 273.2)2 495 K 于是导热速率方程为1 2 1q 2 Lk0(tt 2 495)(3)2 ln r将边界条件代入式 (3)，可得单位长度的导热速率为2. 有一具有均匀发热速率 q 的球形固体，其半径为 R 。球体沿径向向外对称导热。球解：球坐标系的热传导方程为式(7-3)，即表面的散热速率等于球内部的发热速率，球表面上维持恒定温度tS 不变。试从一般化球坐标系热传导方程出发，导出球心处的温度表达式。 球表面的散热速率等于球内部的发热速率，球表面上维持恒定温度ts 不变，故为稳 一维径向对称导热，0，0，2t0，2t态导热，于是式( 7-3 )变为12 d (r2 dt)q k0r 边界条件为drdrrR，t tSrR，43R3q4R2