临近高考再谈兵

1、临近高考再谈兵介绍5年高考及备考中几道“不小的小题”（详解）数学思想的精髓，是以最少的代价去获取最大的成果.这也就是孙子兵法中以少胜多,甚至“不战而屈人之兵”的思想. 现在离2010年的高考仅有一个月了,让考生们到那些多如牛毛的调考题,月考题,周考题,甚至天天练中去挣扎,既不现实,也不可能有多大的效果为此，笔者精选了5年高考及备考中几道“不小的小题”，试图用孙子兵法的思想加以探究，并公布出来，希望对今年参加高考的学子们有所帮助.（一）数形结合，借尸还魂【题1】（2009.辽宁卷12题）若满足2x+=5, 满足2x+2(x-1)=5, +=（ ）（A） (B)3 (C) (D)4【分析】本题有“

2、数”无“形”，仅靠枯燥的数字分析或推理，试图分别求出x1与x2，再求它们的和是不可能的.唯一的出路是“借尸还魂”，到图中去寻找答案.【解析】.将条件式改写为及.令 .如图，曲线关于直线对称.设直线分别与曲线及直线交于，则点A,B亦关于图1点M对称.由，故选C.（二）调虎离山 命题转换1开始依次按如下规则将某些数染成红色先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，则在这

3、个红色子数列中，由1开始的第2010个数是 高考资源网【分析】按题示规则,对全体正整数操作如下：36811131518202224272931333538如果仅就现在的排列方法,很难找出规律.于是想到:何不将那些“染红”了的数调出来,用适当的方式重新排列呢?【解析】在以上各数中，我们将所有打了圈的数称为“合格数”， 12 45 7 9 10 12 14 16 17 19 21 23 25并将所有“合格数”按奇,偶相间的原则列成三角形数表如图2：立即发现其排列规律是：1.第n行的最后1个数字是；2.前n行共有个“合格数”数.题目已经暗示：2010一定是“合格数”,设2010位于这张表的第n行,那

4、么：,即图3图2 ,故满足（1）式的最大值是63. 当n=63时,最后1个数是第个,其值为,这是个奇数.据此,这一行应全为奇数.由此倒推6数,则第2010个“合格数”是3969-2×6=3957.（三）抽丝剥茧,水落石出【题3】满足：且,则图3中第5行所有数的和是（ ）A.62 B.64 C.32 D.34【分析】求和的前提条件是找出这个递推数列的通项公式.可是由递推关系找到求通项的规律,不是轻而易举的事,需要作逐步精密的探究.如果不作,这道题很难.【解析】第一步：递推关系式的右式,分子的次数高于分母的次数,且分子为单项式,分母为多项式,不便于推理运算,因此考虑岸边取倒数.由第二步,

5、由以上结果及,知是首项且公差d=1的等差数列.这个“过渡数列”的通项公式是：.第三步,我们发现虽然不是等比数列,但其比值是一个简单的一次式.这种情况适合“叠乘法”求通项：已知这个数列的通项公式为（n=1也适合）于是“水落石出”,图5中第5行所有数的和是：故选A.（四）瞒天过海 暗云飞渡【题4】（武汉二月调考.15题）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F,设P为第一象限内曲线上的任意一点，若PFA=FAP,则的值为【分析】无论是选择题,还是填空题,都是无需讲道理的.既如此,解题人就可以省去一切繁文缛节,“不择手段”地去找出正确的答案.显然,本题的答案与非零实数a的取值范围无关,我们就可以挑选一个最

6、便于计算的特殊位置解之.xyOA（-a,0）F（2a,0）P（2a,3a）图4-1【解析】如图4，取图形的特殊位置,使PFAF.由条件知有A（-a,0）,F（2a,0）.在双曲线方程中令x=2a,有：.得P（2a,3a）.在直角三角形AFP中，PAF=45°，而PFA=90°=2PAF.=2.【说明】（1）原题没有对点P在第一象限曲线上的位置有所限制，这意味着的取值与点P的具体位置无关，也就是是一个常数.这就是本题可以取特殊位值的根本原因.（2）本题源于如下轨迹题：已知定点A（-a,0）,F（2a,0）.xyOA(-a,0)F(2a,0)P(x,y)图422一动点p（x,y

7、）满足PFA=2PAF,求点P的轨迹.【解析】如图42，设PAF=，则PFA=2.由正切的二倍角公式：所求轨迹为双曲线的右支（不含右顶点）.（五）他山之石 可以攻玉（3,1）的直线交x轴正半轴于A, 交y轴正半轴于B,O为坐标原点，则OAB周长的最小值为（ ）A.8 B.10 C.12 D.【分析1】本题是名副其实的“不小的小题”，不能用特殊值法解决，从形式上看，由于题中有坐标系为背景，是一道解析法求最值的问题.但是若真用解析几何的方法去做，却何其难也.假如思考方向不限于解析法，例如用三角法去做，却是“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”OABP(2,1)xyMN1122【解析1】如图1，作PMx

8、轴于M，PNy轴于N，则ON=2,ON=1.设OAB=NPB=，则NB=2ton,MA=cot,AP=csc,PB=2sec.于是OAB的周长图511于是，故选B.【说明】进一步研究：当且仅当，即时等式成立.此时.于是，满足OA+AB+OB=10.【分析2】在华中师大数学通讯网站上，一位朋友利用几何思想给出了本题的绝妙解法，现介绍如下：xyOP(2,1)ABMNQ(a,a)H图52【解析2】首先证明：直角三角形的周长等于其斜边上旁切圆的直径.如图2，设直角OAB斜边上旁切圆的圆心为Q（a,a）作QHAB于H, QMx轴于M，QNy轴于N那么QM=QN=QH=a.由QAMQAP知QM=QH,且A

9、M=AH.同理QN=QH且BN=BH.于是L=QM+QN=2QH=2a.连PQ,则.令即（舍），或.于是所求OAB的最小值为L=2a=10.本题还可以用导数法求解,这里从略.（六）避实击虚 反客为主【题6】(2007.北京海淀区高三数学期中试题8)：已知函数.若实数使得有实根，则的最小值为（）(A) （B） （C）1 （D）2【分析题目给定的是关于变量x的分式方程,就提论题地去做,无异于打一场耗时费力的攻坚战,希望渺茫.但若将方程中的辅助变量a,b“反客为主”,则在我们面前很快展现出一方可以自由驰骋的新天地.【解解析】将改写为：.令在直角坐标系aOb中，设为直线（1）上一点，则.又设原点到直线

10、（1）的距离为，那么再令上增，故.也就是的最小值为，选（A）（七）擒贼擒王 解题寻根【题7】（）：在这四个函数中，当恒成立的函数的个数是（ ）A，0 B，1 C，2 D，3【分析】虽然是一道小题，可就是这一道不起眼的小题，那一届却难倒了一大批考生.即使是考后，有些教师为了解这道题也费了九牛二虎之力.为什么因为题中的四个函数，如果逐一探究，哪都不是省油的灯.为此人们不得不反思：擒贼擒王，解题寻根.这道题的根究竟在哪里呢？原来除直线函数外，无论什么函数的图像都是曲线，而曲线只有“上凸”和“下凹”两种简单形式，这就是本题的“根”.【解析】解本题应先掌握凸，凹函数的性质，如图61，曲线在弦AB的上方，

11、我们称它是上凸的函 数，在曲线上任取两点A，B，作有 图62图61交于C，AB于M，那么 ，如图 62，曲线在弦AB的下方，我们称它是下凹的函 数，同理，由，又说明下凹函数有性质：以上结论与曲线所在象限无关，这是因为曲线经过平移后，不影响它们的数量关系. 题中的四个函数， 所以在（0，1）内，式子不是恒成立。又是下凹的，只有是上凸的，这就是说，在（0，1）内，使式子恒成立的函数只有一个。选B。（参看图7，14）。图74图73图72图71后记：无独有偶，今年的北京卷也有类似的试题：对于函数，有如下结论： 当时，上述结论中正确结论的序号是本题的正确答案是，它与湖北卷第6题有异曲同工之妙. （八）惜

12、墨如金 小题小作将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）A B C D 【说明】对于这一题，笔者从某参考资料上看到的答案十分繁杂，原文如下：【解析】正四面体的高最小时，即四个小钢球与正四面体的各个面相切。首先求出一个小球的球心O1到另三个小球球心所在平面O2O3O4的距离（如图7-1）。O1O2=O2O3=O3O4=O4O1=2 O2E= O2O= OO1=然后再求出最上面的小球的球心O1到正四面体的顶点A的距离AO1，（如图7-2）设AB=x 则BO，= OA= O1A=-1=O1BAO，O，B O1B2=O，O12+O，B2 （-1）2=12+

13、-+1=1+ -=0 xO x=O，A=×=4 O1A=3由题意可知三个球面到正四面体底面的距离为1 ，正四面体的高的最小值为 3+1+=4+以上是正文。原文还有点评，这里从略。就本题而言，以上的解法确实太繁了.在高考的有限时间里，花这么大的代价是不值的.以下提出两种简略些的方法.【解1】为求正四面体的高的最小值，只须解决三个问题：其一，这4个钢球两两外切，其球心也连成一个正四面体，因为其棱长为2，所以它的高为2·=；其二，这个球心四面体与原正四面体的两底面距离为1（等于球的半径）；其三，这个球心四面体与原正四面体的两顶距离为3（等于球的半径的3倍），因此 ，这个正四面体的高的最小值为，选C。【解2】我们不妨称原四面体为 “容器正四面体”,四个球心连成的四面体为“球