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文档简介

1、临近高考再谈兵介绍5年高考及备考中几道“不小的小题”(详解)数学思想的精髓,是以最少的代价去获取最大的成果.这也就是孙子兵法中以少胜多,甚至“不战而屈人之兵”的思想. 现在离2010年的高考仅有一个月了,让考生们到那些多如牛毛的调考题,月考题,周考题,甚至天天练中去挣扎,既不现实,也不可能有多大的效果为此,笔者精选了5年高考及备考中几道“不小的小题”,试图用孙子兵法的思想加以探究,并公布出来,希望对今年参加高考的学子们有所帮助.(一)数形结合,借尸还魂【题1】(2009.辽宁卷12题)若满足2x+=5, 满足2x+2(x-1)=5, +=( )(A) (B)3 (C) (D)4【分析】本题有“

2、数”无“形”,仅靠枯燥的数字分析或推理,试图分别求出x1与x2,再求它们的和是不可能的.唯一的出路是“借尸还魂”,到图中去寻找答案.【解析】.将条件式改写为及.令 .如图,曲线关于直线对称.设直线分别与曲线及直线交于,则点A,B亦关于图1点M对称.由,故选C.(二)调虎离山 命题转换1开始依次按如下规则将某些数染成红色先染1,再染2个偶数2、4;再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9;再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16;再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25按此规则一直染下去,得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,则在这

3、个红色子数列中,由1开始的第2010个数是 高考资源网【分析】按题示规则,对全体正整数操作如下:36811131518202224272931333538如果仅就现在的排列方法,很难找出规律.于是想到:何不将那些“染红”了的数调出来,用适当的方式重新排列呢?【解析】在以上各数中,我们将所有打了圈的数称为“合格数”, 12 45 7 9 10 12 14 16 17 19 21 23 25并将所有“合格数”按奇,偶相间的原则列成三角形数表如图2:立即发现其排列规律是:1.第n行的最后1个数字是;2.前n行共有个“合格数”数.题目已经暗示:2010一定是“合格数”,设2010位于这张表的第n行,那

4、么:,即图3图2 ,故满足(1)式的最大值是63. 当n=63时,最后1个数是第个,其值为,这是个奇数.据此,这一行应全为奇数.由此倒推6数,则第2010个“合格数”是3969-2×6=3957.(三)抽丝剥茧,水落石出【题3】满足:且,则图3中第5行所有数的和是( )A.62 B.64 C.32 D.34【分析】求和的前提条件是找出这个递推数列的通项公式.可是由递推关系找到求通项的规律,不是轻而易举的事,需要作逐步精密的探究.如果不作,这道题很难.【解析】第一步:递推关系式的右式,分子的次数高于分母的次数,且分子为单项式,分母为多项式,不便于推理运算,因此考虑岸边取倒数.由第二步,

5、由以上结果及,知是首项且公差d=1的等差数列.这个“过渡数列”的通项公式是:.第三步,我们发现虽然不是等比数列,但其比值是一个简单的一次式.这种情况适合“叠乘法”求通项:已知这个数列的通项公式为(n=1也适合)于是“水落石出”,图5中第5行所有数的和是:故选A.(四)瞒天过海 暗云飞渡【题4】(武汉二月调考.15题)已知双曲线的左顶点为A,右焦点为F,设P为第一象限内曲线上的任意一点,若PFA=FAP,则的值为【分析】无论是选择题,还是填空题,都是无需讲道理的.既如此,解题人就可以省去一切繁文缛节,“不择手段”地去找出正确的答案.显然,本题的答案与非零实数a的取值范围无关,我们就可以挑选一个最

6、便于计算的特殊位置解之.xyOA(-a,0)F(2a,0)P(2a,3a)图4-1【解析】如图4,取图形的特殊位置,使PFAF.由条件知有A(-a,0),F(2a,0).在双曲线方程中令x=2a,有:.得P(2a,3a).在直角三角形AFP中,PAF=45°,而PFA=90°=2PAF.=2.【说明】(1)原题没有对点P在第一象限曲线上的位置有所限制,这意味着的取值与点P的具体位置无关,也就是是一个常数.这就是本题可以取特殊位值的根本原因.(2)本题源于如下轨迹题:已知定点A(-a,0),F(2a,0).xyOA(-a,0)F(2a,0)P(x,y)图422一动点p(x,y

7、)满足PFA=2PAF,求点P的轨迹.【解析】如图42,设PAF=,则PFA=2.由正切的二倍角公式:所求轨迹为双曲线的右支(不含右顶点).(五)他山之石 可以攻玉(3,1)的直线交x轴正半轴于A, 交y轴正半轴于B,O为坐标原点,则OAB周长的最小值为( )A.8 B.10 C.12 D.【分析1】本题是名副其实的“不小的小题”,不能用特殊值法解决,从形式上看,由于题中有坐标系为背景,是一道解析法求最值的问题.但是若真用解析几何的方法去做,却何其难也.假如思考方向不限于解析法,例如用三角法去做,却是“山穷水复疑无路,柳暗花明又一村”OABP(2,1)xyMN1122【解析1】如图1,作PMx

8、轴于M,PNy轴于N,则ON=2,ON=1.设OAB=NPB=,则NB=2ton,MA=cot,AP=csc,PB=2sec.于是OAB的周长图511于是,故选B.【说明】进一步研究:当且仅当,即时等式成立.此时.于是,满足OA+AB+OB=10.【分析2】在华中师大数学通讯网站上,一位朋友利用几何思想给出了本题的绝妙解法,现介绍如下:xyOP(2,1)ABMNQ(a,a)H图52【解析2】首先证明:直角三角形的周长等于其斜边上旁切圆的直径.如图2,设直角OAB斜边上旁切圆的圆心为Q(a,a)作QHAB于H, QMx轴于M,QNy轴于N那么QM=QN=QH=a.由QAMQAP知QM=QH,且A

9、M=AH.同理QN=QH且BN=BH.于是L=QM+QN=2QH=2a.连PQ,则.令即(舍),或.于是所求OAB的最小值为L=2a=10.本题还可以用导数法求解,这里从略.(六)避实击虚 反客为主【题6】(2007.北京海淀区高三数学期中试题8):已知函数.若实数使得有实根,则的最小值为()(A) (B) (C)1 (D)2【分析题目给定的是关于变量x的分式方程,就提论题地去做,无异于打一场耗时费力的攻坚战,希望渺茫.但若将方程中的辅助变量a,b“反客为主”,则在我们面前很快展现出一方可以自由驰骋的新天地.【解解析】将改写为:.令在直角坐标系aOb中,设为直线(1)上一点,则.又设原点到直线

10、(1)的距离为,那么再令上增,故.也就是的最小值为,选(A)(七)擒贼擒王 解题寻根【题7】():在这四个函数中,当恒成立的函数的个数是( )A,0 B,1 C,2 D,3【分析】虽然是一道小题,可就是这一道不起眼的小题,那一届却难倒了一大批考生.即使是考后,有些教师为了解这道题也费了九牛二虎之力.为什么因为题中的四个函数,如果逐一探究,哪都不是省油的灯.为此人们不得不反思:擒贼擒王,解题寻根.这道题的根究竟在哪里呢?原来除直线函数外,无论什么函数的图像都是曲线,而曲线只有“上凸”和“下凹”两种简单形式,这就是本题的“根”.【解析】解本题应先掌握凸,凹函数的性质,如图61,曲线在弦AB的上方,

11、我们称它是上凸的函 数,在曲线上任取两点A,B,作有 图62图61交于C,AB于M,那么 ,如图 62,曲线在弦AB的下方,我们称它是下凹的函 数,同理,由,又说明下凹函数有性质:以上结论与曲线所在象限无关,这是因为曲线经过平移后,不影响它们的数量关系. 题中的四个函数, 所以在(0,1)内,式子不是恒成立。又是下凹的,只有是上凸的,这就是说,在(0,1)内,使式子恒成立的函数只有一个。选B。(参看图7,14)。图74图73图72图71后记:无独有偶,今年的北京卷也有类似的试题:对于函数,有如下结论: 当时,上述结论中正确结论的序号是本题的正确答案是,它与湖北卷第6题有异曲同工之妙. (八)惜

12、墨如金 小题小作将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为( )A B C D 【说明】对于这一题,笔者从某参考资料上看到的答案十分繁杂,原文如下:【解析】正四面体的高最小时,即四个小钢球与正四面体的各个面相切。首先求出一个小球的球心O1到另三个小球球心所在平面O2O3O4的距离(如图7-1)。O1O2=O2O3=O3O4=O4O1=2 O2E= O2O= OO1=然后再求出最上面的小球的球心O1到正四面体的顶点A的距离AO1,(如图7-2)设AB=x 则BO,= OA= O1A=-1=O1BAO,O,B O1B2=O,O12+O,B2 (-1)2=12+

13、-+1=1+ -=0 xO x=O,A=×=4 O1A=3由题意可知三个球面到正四面体底面的距离为1 ,正四面体的高的最小值为 3+1+=4+以上是正文。原文还有点评,这里从略。就本题而言,以上的解法确实太繁了.在高考的有限时间里,花这么大的代价是不值的.以下提出两种简略些的方法.【解1】为求正四面体的高的最小值,只须解决三个问题:其一,这4个钢球两两外切,其球心也连成一个正四面体,因为其棱长为2,所以它的高为2·=;其二,这个球心四面体与原正四面体的两底面距离为1(等于球的半径);其三,这个球心四面体与原正四面体的两顶距离为3(等于球的半径的3倍),因此 ,这个正四面体的高的最小值为,选C。【解2】我们不妨称原四面体为 “容器正四面体”,四个球心连成的四面体为“球

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