组合变形构件的强度计算

1、第7章 组合变形构件的强度计算 1507.1 点的应力状态简介 1507.2 强度理论 1527.3 组合变形的概念 1557.4 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 1567.5 扭转和弯曲的组合变形 160第7章 组合变形构件的强度计算本章主要讲授一点应力状态的概念、强度理论；重点介绍弯曲和拉伸（压缩）组合作用下构件的强度计算、弯曲和扭转组合作用下构件的强度计算的方法。7.1 点的应力状态简介构件受外力作用产生变形时，其同一截面上的内力元素往往不是单一的，而且各点的应力随该点在截面上的位置也不尽相同；通过同一点的不同截面上，应力的大小和方向也随截面的方向而变化。受力构件内某一点在各个截面上的应力

2、情况称为该点处的应力状态。在研究复杂受力时必须分析构件在一点处的应力状态。实际构件的受力往往要复杂得多（如图7-1的A点），需要全面的研究危险点处各斜截面上的应力情况，从而为建立与实际情况相符的强度条件提供理论基础。研究构件内的一点的应力状态时，通常是围绕该点取出一个边长为无限小的立方体（简称单元体）作为研究对象，当边长趋于零时，单元体就趋于所研究的点。因此，单元体三对互垂侧面上的应力分量就代表了一点的应力状态。以转轴受弯曲与扭转的组合作用（图7-1）为例来说明单元体的取法。若研究A点处的应力状态，可用两个横截面、一个外表面和三个纵向截面取出一个单元体（图7-lc）。两个横截面上有正应力和切应

3、力，根据切应力互等定理可以确定A点处单元体各表面上的切应力。于是，A点的应力状态就完全确定了。 图7-1 从这个单元体出发，采用截面法求出该单元体各个斜截面上的应力，即可求出圆轴表面上A点处各不同截面上的应力。应该指出，由于单元体三个方向的尺寸为无穷小，故可认为它的每个面上的应力是均匀分布的。另外，还可认为单元体任意两个平行面上的应力其大小和性质完全相同，而且两个相平行面上的应力即代表通过所研究的点且与上述两个面相平行的面上的应力。图7-lc中所示单元体的上、下两个面上，都没有切应力。通过某点处的各截面中，切应力等于零的截面称为该点的主平面。主平面上的正应力称为该点的主应力。一般来说，在受力物

4、体内的任一点处都可截出每个面都是主平面的单元体。若单元体的三个互相垂直的面上都作用有主应力，则称这种应力状态为三向应力状态。图7-2所示的滚珠轴承中滚珠与外圈接触处的应力状态即是三向应力状态的实例。若在外圈与滚珠的接触点处取单元体（图7-2），滚珠与外圈的接触面上，有接触应力3。由于3的作用，接触点处的材料将向周围膨胀，于是引起周围材料对它的约束应力2和1，故A点处于三向应力状态。火车车轮与钢轨的接触点，也是三向应力状态。单元体上两个主应力等于零时，称为单向应力状态。图7-3所示拉杆中的任一点A即处于单向应力状态。单元体上一个主应力等于零时，称为二向应力状态。图7-4为薄壁容器圆筒部分的应力状

5、态，从圆筒部分任一点取微体，则纵向截面上的应力为1pD2t而横向截面上的应力为2=pD4t，故为二向应力状态。二向应力状态也称为平面应力状态。一般把单向应力状态称为简单应力状态。而把二向和三向应力状态称为复杂应力状态。 图7-2 图7-3 一般情况下，受力物体内一点处都可找出三个主应力，并用1、2、3表示，其顺序按代数值的大小排列即123。图7-47.2 强度理论轴向拉伸或压缩时，强度条件为其中许用应力，u为极限应力，它可由试验直接测得。当规定安全因数n以后，便可确定许用应力。 由前面分析，轴向拉伸或压缩时杆内一点为简单应力状态，此时，2=3=0因此，上述强度条件亦可写为1综上所述，简单应力状

6、态的强度条件是直接根据试验结果建立的。在工程中，当构件内的点处于复杂应力状态，即三个主应力全不为零（含两个主应力不为零）时，其强度条件的建立，理想的情况应是仿照构件的实际受力状况，通过试验测得各个主应力或其某种组合所达到的极限值，然后建立相应的强度条件。但是，因实际构件内各种应力组合的种数是无穷的，企图通过试验测得相应的应力极限值，由于装置的复杂和试验的繁多，是不可能实现的。因此只能采用判断推理的方法，提出一些假说，推测在复杂应力状态下材料破坏的原因，从而建立强度条件。这种假说认为：材料在外力作用下的破坏不外乎几种类型（脆性断裂和屈服破坏），而同一类型的破坏则由同样因素引起的。按照这种假说，不

7、论是简单应力状态，还是复杂应力状态，只要破坏的类型相同，则都是由同一个特定因素引起的，于是就可以利用轴向拉伸试验所获得的s或b值建立复杂应力状态下的强度条件。这种假说就称为强度理论。1、最大拉应力理论（第一强度理论）这一理论认为：材料发生断裂破坏的主要因素是最大拉应力1。即无论构件上一点处在复杂应力状态还是简单应力状态，只要最大拉应力1达到材料在轴向拉伸时发生断裂破坏的极限应力值b，材料就发生断裂破坏。断裂破坏的条件是1=b 将极限应力b 除以安全因数，得到许用应力，于是按最大拉应力理论建立的强度条件为r1=1 （7-1）式中，r1表示第一强度理论的相当应力，是单向拉伸时材料的许用应力。试验表

8、明：脆性材料在二向或三向拉伸断裂时，此理论与试验结果相当吻合，而当存在压应力时，只要最大压应力值不超过最大拉应力值或接近最大拉应力值时，此理论与实验结果也基本接近。但对于单向压缩、三向压缩等没有拉应力的应力状态，此理论不适用。2、最大拉应变理论（第二强度理论）这一理论认为：材料发生断裂破坏的主要因素是最大拉应变1。即无论构件上一点处在复杂应力状态还是简单应力状态，只要最大拉应变1达到材料在轴向拉伸时发生断裂破坏的极限应变值u，材料就发生断裂破坏。断裂破坏的条件是1=u在复杂应力状态下的1=1（2+3）/E，简单应力状态下的极限应变u =b/E，所以有1（2+3）=b按最大拉应变理论建立的强度条

9、件为r2=1（2+3） （7-2）式中，r2表示第二强度理论的相当应力。试验表明，脆性材料在受二向拉伸-压缩且压应力的绝对值大于拉应力时，该理论与结果比较吻合。3、最大切应力理论（第三强度理论）这一理论认为：材料塑性屈服破坏的主要因素是最大切应力max。即无论构件上一点处在复杂应力状态还是简单应力状态，只要最大切应力max达到材料在轴向拉伸时发生塑性屈服破坏的极限切应力值u ，材料就发生塑性屈服破坏。塑性屈服破坏的条件为 max=u在复杂应力状态下的max=（13）/2，简单应力状态下的极限切应力u =s/2，所以有13=s按最大切应力理论建立的强度条件为r3=1-3 （7-3）式中，r3表示

10、第三强度理论的相当应力。 4、畸变能理论（第四强度理论）这一理论认为：材料塑性屈服破坏的主要因素是畸变能密度vd。既无论构件上的一点处在复杂应力状态还是简单应力状态，只要畸变能密度vd达到材料轴向拉伸时发生塑性屈服的畸变能密度vu，构件就发生塑性屈服破坏。塑性屈服破坏的条件是vd= vu复杂应力状态下，畸变能密度为 简单应力状态下，畸变能密度为 按畸变能理论建立的强度条件为 （7-4）式中，r4表示第四强度理论的相当应力。试验表明：塑性材料三个主应力同时存在时，第四强度理论由于比较综合地反映了主应力值对构件的强度影响，因而比第三强度理论更接近实际。但是第三强度理论在表述上比较简明又很好地解释了

11、低碳钢沿与轴线成45°方向破坏的现象，所以第三、第四强度理论都在机械制造业中被广泛应用。经工程实践和实验结果表明，四种强度理论的有效性取决于材料的类别以及应力状态的类型。（1）三向拉伸应力状态下，无论塑性材料或脆性材料，宜采用最大拉应力理论；（2）三向压应力状态下，无论塑性材料或脆性材料，皆宜采用最大切应力理论或畸变能理论；（3）一般情况下，对脆性材料宜用最大拉应力理论或最大拉应变理论，对塑性材料宜用最大切应力理论或畸变能理论。7.3 组合变形的概念大多数机器或结构中的构件，在工作中受外力作用产生的变形比较复杂，经分析后均可看成若干种基本变形的组合。例如图7-5所示车刀工作时产生弯曲

12、和压缩变形；图7-6所示钻机中的钻杆工作时产生压缩和扭转变形；图7-7所示为齿轮轴工作时产生弯曲和扭转变形。构件受力后产生的变形是由两种以上基本变形的组合，称为组合变形。 图7-5 图7-6 图7-7 在小变形且材料服从胡克定律的条件下，每一种基本变形所产生的应力和变形将不受其它变形的影响。于是可以应用叠加原理求得组合变形时杆的应力和变形。组合变形时杆的强度计算问题通常按下列基本步骤计算：1、外力分析 将作用于杆件的外力沿由杆的轴线及横截面的两对称轴所组成的直角坐标系作等效分解，使杆件在每组外力作用下， 只产生一种基本变形。 2、内力分析 用截面法计算杆件横截面上各个基本变形的内力，并画出内力

13、图，由此判断危险截面的位置。 3、应力分析 根据各基本变形在杆件横截面上的应力分布规律，运用叠加原理确定危险截面上危险点的位置及其应力值。 4、强度计算 分析危险点的应力状态，结合杆件材料的性质，选择适当的强度理论进行强度计算。研究组合变形问题的关键在于：如何将组合变形分解为若干基本变形，并将基本变形下的应力和变形进行叠加。组合变形的种类较多，本章主要讨论工程中最常见的拉伸（压缩）与弯曲、扭转与弯曲的组合变形。其它形式的组合变形，可用同样的分析方法加以解决。7.4 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形在下述两类载荷作用下，杆件将产生拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。 1、轴向力与横向力同时作用于直杆（如图

14、7-8所示简易吊车的横梁AB）。2、平行于杆轴线的偏心载荷（如图7-9示厂房建筑中的立柱）。 现以矩形截面等直杆为例，说明拉伸（压缩）与弯曲组合变形杆件的强度计算方法。图7-10a所示为矩形截面悬臂梁，在自由端A作用一力F。F位于梁的纵向对称面内,其作用线通过截面形心并与轴线成a角。 （1） 外力分析将力F沿梁轴线和横截面的纵对称轴方向作等效分解（图7-10b）， 图7-8 图7-9有 F1Fcosa，F2=Fsina 前者引起梁的轴向拉伸；后者使梁发生对称弯曲，因此梁受拉伸与弯曲的组合变形。 （2） 内力分析 F1引起梁各横截面上的轴力（图7-10c）为FNF1 F2引起梁各横截面上的弯矩为

15、M（x）=F2（l-x） 应说明一般情况下，在拉（压）弯曲组合变形中，因弯曲变形产生的挠度远小于截面的尺寸，因此由轴向力因弯曲变形而产生的弯矩可略而不计。x为该截面至固定端B的距离，弯矩图如图7-6d所示。固定端处弯矩最大，为MmaxFlsina因此，固定端截面是危险截面。（3） 应力分析在危险截面上与轴力对应的正应力分布见图7-10f，其值为与弯矩对应的弯曲正应力见图7-10g，且由叠加原理可得该截面上各点的应力分布（图7-10h），可见危险点在固定端截面的下侧，其应力值为（4）强度计算取下侧一点K进行分析，K点属于单向应力状态（图7-10i），其强度条件为对于抗拉、抗压性能不同的材料，要分

16、别考虑其抗拉强度和抗压强度。图7-10 例7-1 图7-11a所示为简易起重机,其最大起重量G=15.5 kN,横梁AB为工字钢，许用应力s=170 MPa，。若梁的自重不计，试按正应力强度条件选择横梁工字钢型号。 解： （1）横梁的外力分析横梁可简化为简支梁，由分析可知，当电葫芦移动到梁跨中点时，梁处于最危险的状态。将拉杆BC的作用力FB分解为FBx和FBy，如图7-11b所示，列静力平衡方程可求得 力G、FAy、FBy沿AB梁横向作用使梁发生弯曲变形；力FAx 图7-11与FBx沿AB梁的轴向作用使梁发生轴向压缩变形，所以梁AB发生弯曲与压缩的组合变形。（2）横梁的内力分析当载荷作用于梁跨

17、中点时，简支梁AB中点截面的弯矩值最大，其值为横梁各截面的轴向压力为FN=FAx=17.57 kN（3）初选工字钢型号按抗弯强度条件初选工字钢的型号由 得 查型钢表，初选工字钢型号为14号工字钢，其横截面面积和抗弯截面系数分别为：A21.5 cm2Wz102 cm3（4）校核横梁抗组合变形强度横梁最大压应力出现在中点截面的上边缘各点处。由压弯组合变形的强度条件选用14号工字钢作为横梁强度足够。倘若强度不满足，可以将所选的工字钢型号放大一号再进行校核，直到满足条件为止。图7-12a为承受偏心压缩的杆件，力F的作用线与杆轴线之间的距离，即偏心距为e。由截面法，杆任一横截面上的内力为 轴力 FNF弯

18、矩 M =Fe即偏心拉伸（压缩）问题可以归结为前面所讨论的拉伸（压缩）与弯曲的组合变形问题。 例7-2 图7-12所示钻床，钻孔时受到压力P15 kN。己知偏心距e0.4 m，铸铁立柱的直径d125 mm，许用拉应力为35 MPa，许用压应力为120 MPa。试校核铸铁立柱的强度。图7-12 解： （1） 外力分析 钻床立柱在偏心载荷P的作用下，产生拉伸与弯曲组合变形。 （2） 内力分折 将立柱假想地截开，取上端为研究对象（图7-12b），由平衡条件求得约束反力，即可求出立柱的轴力和弯矩分别为：FNP15000 NM =Pe =15000×0.4 =6000 N·m （3）

19、 应力分析 立柱横截面积Ad2/4，对中性轴的弯曲截面系数Wz=d3/32 立柱横截面上的轴向拉力使截面产生均匀拉应力 弯矩M使横截面产生弯曲应力，其最大值为 （4） 强度校核由于立柱材料为铸铁，其抗压性能优于抗拉性能，故只需对立柱截面右侧边缘点处的拉应力进行强度校核，代入已知数据得计算结果表明立柱强度足够。7.5 扭转和弯曲的组合变形扭转和弯曲的组合变形是机械工程中常见的情况，以下讨论轴类零件在弯扭组合变形时的强度计算。以带传动轴为例： 图7-13 （1）外力分析如图7-13a所示，已知带轮紧边拉力为F1，松边拉力为F2（F1F2），轴的跨距为l，轴的直径为d，带轮的直径为D。按力系简化原则

20、，将带的拉力F1和F2分别向轴心C点简化（将力平移至C点），得一个水平力Fc=（F2+F1）和附加力偶Mc（F1-F2）D2（图7-13b）。根据力的可叠加性原理，轴的受力可视作只受集中力Fc作用的c图和只受转矩MA、MC（平衡时有MAMC）作用的e图两种受力情况的叠加。 （2） 内力分析作出弯矩图和转矩图分别如图7-13d、f所示。由弯矩图和转矩图可知，跨度中点C处为危险截面。（3）应力分析在水平力Fc作用下，轴在水平面内弯曲，其最大弯曲正应力s在轴中间截面直径的两端（如图7-14所示的Cl、C2处）；在MA、MC 作用下，AC段各截面圆周边的切应力均达最大值且相同。、由下式确定：，式中 M

21、危险截面弯矩，N·mm Wz危险截面的弯曲截面系数，mm3 T危险截面扭矩，N·mm WP危险截面扭转截面系数，mm3 图7-14如图7-14所示，在危险点C1、C2处同时作用最大弯曲正应力和最大扭转切应力，处于既有正应力又有切应力的复杂应力状态。根据第三强度理论, 其强度条件可用下式表示 （7-5a）对于圆轴wp=2wz，经简化可表达为 (7-5b)根据第四强度理论, 其强度条件可用下式表示 (7-6a)对圆轴经简化可表达为 (7-6b) 例7-3 如图7-13所示的带传动，已知带轮直径D500 mm，轴的直径d90 mm，跨度l1000 mm，带的紧边拉力F18000

22、N，松边拉力F24000 N，轴的材料为35钢，其许用应力s60 MPa，试用第四强度理论校核此轴的强度。 解： 由前面分析，我们已经知道截面C为危险截面，该截面上的弯矩与转矩值分别为M（F2+F1）（l/4）（8000十4000）×1000/43000 N·mT（F1-F2）（D2）（8000-4000）×500/21000 N·m将上面计算的数值代人强度计算公式故此轴的强度足够。 应当指出，上例因只在水平平面内有力（F2+F1）作用，故只在水平平面内产生弯矩。但在一般情况下，在水平平面内和垂直平面内都有力作用。如图7-15a所示为装有斜齿轮的轴AB，

23、此时齿轮节圆周上作用着径向力Fr、圆周力Ft和轴向力Fa，如图7-15b所示。经简化，径向力Fr在垂直平面（V面）内，轴向力Fa向轴线平移后得力Fa和弯矩Mc也在垂直平面内（图7-15c）；圆周力Ft向轴心简化后得到力Ft和转矩Tc，力Ft作用在水平平面（H面）内（图7-15e），故AB轴在水平平面和垂直平面内都产生弯矩（MH、MV）（图7-15d、f）。这时只需将两个互相垂直平面内的弯矩几何相加得合成弯矩M。M由式求得, 轴向力Fa引起轴截面上的正应力可与合成弯矩引起的正应力代数叠加，其余计算同上。 图7-15本 章 小 结1应力状态的概念 受力构件内某一点在各个截面上的应力情况称为该点处的应力状态。2应力状态分类应力状态可分为单向、二向和三向应力状态。3强度理论 在复杂应力状态下，关于材料破坏原因的假说称为强度理论。常用的有四种强度理论，相应的强度条件可以统一写成r式中，r称为相当应力，见表7-1。表7-1强 度 理 论 名 称相 当 应 力 表 达 式断裂破坏理论第一强度理论最大拉应力理论r1=1第二强度理论最大拉应变理论r2=1（2+3）屈服破坏理论第三强度理论最大切应力理论r3=1-3第四强度理论畸变能理论4杆件在载荷作用下同时发生两种或两种以上的基本变形，称为组合变形。5在小变形和应力应变满足线形关系的条件下，解决